Анализ ошибок (математика)

В математике анализ ошибок — это изучение вида и количества ошибок или неопределенности, которые могут присутствовать в решении проблемы. Эта проблема особенно заметна в прикладных областях, таких как численный анализ и статистика .

Анализ ошибок в численном моделировании

При численном моделировании или моделировании реальных систем анализ ошибок связан с изменениями выходных данных модели, поскольку параметры модели изменяются около среднего значения .

Например, в системе, смоделированной как функция двух переменных, анализ ошибок имеет дело с распространением числовых ошибок в и (вокруг средних значений и ) на ошибку в (вокруг среднего ). ^[1] ${\displaystyle z\,=\,f(x,y).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

В численном анализе анализ ошибок включает в себя как прямой анализ ошибок, так и обратный анализ ошибок .

Прямой анализ ошибок

Анализ прямой ошибки включает в себя анализ функции , которая является приближением (обычно конечным полиномом) к функции , чтобы определить границы ошибки в приближении; т. е. найти такое, что Оценка прямой ошибки желательна в проверенных числах . ^[2] ${\displaystyle z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$ ${\displaystyle z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle 0\,\leq \,|z-z'|\,\leq \,\epsilon .}$

Анализ обратных ошибок

Обратный анализ ошибок включает анализ функции аппроксимации для определения границ параметров таким образом, чтобы результат ^[3] ${\displaystyle z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),}$ ${\displaystyle a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}}$ ${\displaystyle z'\,=\,z.}$

Анализ обратных ошибок, теория которого была разработана и популяризирована Джеймсом Х. Уилкинсоном , может быть использован для установления того, что алгоритм, реализующий числовую функцию, численно устойчив. ^[4] Основной подход заключается в том, чтобы показать, что хотя вычисленный результат из-за ошибок округления не будет точно правильным, он является точным решением близкой проблемы со слегка возмущенными входными данными. Если требуемое возмущение мало, порядка неопределенности входных данных, то результаты в некотором смысле настолько точны, насколько «заслуживают» данные. Тогда алгоритм определяется как обратно устойчивый . Устойчивость является мерой чувствительности к ошибкам округления данной числовой процедуры; напротив, число обусловленности функции для данной задачи указывает на присущую функции чувствительность к малым возмущениям на ее входе и не зависит от реализации, используемой для решения проблемы. ^{[5] [6]}

Приложения

Глобальная система позиционирования

Анализ ошибок, вычисленных с помощью глобальной системы позиционирования, важен для понимания того, как работает GPS, и для того, чтобы знать, какие величины ошибок следует ожидать. Глобальная система позиционирования вносит поправки на ошибки часов приемника и другие эффекты, но все еще есть остаточные ошибки, которые не исправляются. Глобальная система позиционирования (GPS) была создана Министерством обороны США (DOD) в 1970-х годах. Она стала широко использоваться для навигации как американскими военными, так и широкой общественностью.

Моделирование молекулярной динамики

При моделировании методом молекулярной динамики (МД) возникают ошибки из-за неадекватной выборки фазового пространства или редко происходящих событий. Это приводит к статистической ошибке из-за случайных колебаний в измерениях.

Для серии из M измерений флуктуирующего свойства A среднее значение равно:

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.}$$

Когда эти M измерений независимы, дисперсия среднего значения ⟨ A ⟩ равна:

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),}$$

но в большинстве симуляций МД существует корреляция между величиной A в разное время, поэтому дисперсия среднего ⟨ A ⟩ будет занижена, поскольку эффективное число независимых измерений на самом деле меньше M. В таких ситуациях мы переписываем дисперсию как:

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],}$$

где автокорреляционная функция определяется как ${\displaystyle \phi _{\mu }}$

$${\displaystyle \phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.}$$

Затем мы можем использовать функцию автокорреляции для оценки погрешности . К счастью, у нас есть гораздо более простой метод, основанный на блочном усреднении. ^[7]

Проверка научных данных

Измерения обычно имеют небольшую погрешность, и повторные измерения одного и того же элемента обычно приводят к небольшим различиям в показаниях. Эти различия можно проанализировать, и они следуют определенным известным математическим и статистическим свойствам. Если набор данных кажется слишком точным для гипотезы, т. е. количество ошибок, которое обычно присутствует в таких измерениях, не проявляется, можно сделать вывод, что данные могли быть подделаны. Анализ ошибок сам по себе обычно недостаточен для доказательства того, что данные были фальсифицированы или сфабрикованы, но он может предоставить подтверждающие доказательства, необходимые для подтверждения подозрений в неправомерном поведении.

Смотрите также

• Анализ ошибок (лингвистика)
• Панель ошибок
• Ошибки и остатки в статистике
• Распространение неопределенности
• Проверенные числовые данные

Ссылки

1. Джеймс В. Хефнер (1996). Моделирование биологических систем: принципы и приложения . Springer. стр. 186–189. ISBN 0412042010.
2. Такер, У. (2011). Проверенные числовые данные: краткое введение в строгие вычисления. Princeton University Press.
3. Фрэнсис Дж. Шейд (1988). Очерк теории и проблем численного анализа Шаума . McGraw-Hill Professional. стр. 11. ISBN 0070552215.
4. Джеймс Х. Уилкинсон (8 сентября 2003 г.). Энтони Ралстон; Эдвин Д. Рейли; Дэвид Хеммендингер (ред.). «Анализ ошибок» в Энциклопедии компьютерных наук. стр. 669–674. Wiley. ISBN 978-0-470-86412-8. Получено 14 мая 2013 г.
5. Бо Эйнарссон (2005). Точность и надежность в научных вычислениях. SIAM. стр. 50–. ISBN 978-0-89871-815-7. Получено 14 мая 2013 г.
6. Корлесс М. Роберт; Филлион Николас (2013). Введение в численные методы для выпускников: с точки зрения обратного анализа ошибок . Springer. ISBN 978-1-4614-8452-3.
7. DC Rapaport, Искусство моделирования молекулярной динамики , Cambridge University Press.

Внешние ссылки

• [1] Все об анализе ошибок.