В математике расслоение обратного образа или индуцированное расслоение [1] [2] [3] — это расслоение , индуцированное отображением его базового пространства. Учитывая расслоение π : E → B и непрерывное отображение f : B ′ → B , можно определить «обратный образ» E с помощью f как расслоение f * E над B ′ . Слой f * E над точкой b ′ в B ′ — это просто слой E над f ( b ′) . Таким образом, f * E — непересекающееся объединение всех этих слоев, снабженных подходящей топологией .
Пусть π : E → B — расслоение с абстрактным слоем F , и пусть f : B ′ → B — непрерывное отображение . Определите пакет откатов с помощью
и снабдим его топологией подпространства и отображением проекции π ′ : f * E → B ′, заданным проекцией на первый множитель, т. е.
Проекция на второй фактор дает карту
такая, что следующая диаграмма коммутирует :
Если ( U , φ ) — локальная тривиализация E , то ( f −1 U , ψ ) — локальная тривиализация f * E , где
Отсюда следует, что f * E — расслоение над B ′ со слоем F . Расслоение f * E называется обратным образом E с помощью f или расслоением, индуцированным f . Тогда отображение h является морфизмом расслоения , покрывающим f .
Любая секция s E над B порождает секцию f * E , называемую секцией обратного пути f * s , просто путем определения
Если расслоение E → B имеет структурную группу G с функциями перехода t ij (относительно семейства локальных тривиализаций {( U i , φ i )} ), то расслоение обратного образа f * E также имеет структурную группу G . Функции перехода в f * E имеют вид
Если E → B является векторным расслоением или главным расслоением , то и обратный образ f * E тоже . В случае главного расслоения правое действие группы G на f * E определяется выражением
Отсюда следует, что отображение h , накрывающее f, эквивариантно и , следовательно, определяет морфизм главных расслоений.
На языке теории категорий конструкция пучка обратных связей является примером более общего категориального обратных связей . Как таковой он удовлетворяет соответствующему универсальному свойству .
Построение расслоения обратного образа можно провести в подкатегориях категории топологических пространств , например в категории гладких многообразий . Последняя конструкция полезна в дифференциальной геометрии и топологии .
Связки также могут быть описаны с помощью их пучков секций . Обратный образ расслоений тогда соответствует обратному образу пучков , который является контравариантным функтором. Однако пучок является более естественным ковариантным объектом, поскольку у него есть выталкивание вперед , называемое прямым образом пучка . Натяжение и взаимодействие между пучками и пучками, или обратное и прямое изображение, могут быть полезны во многих областях геометрии. Однако прямой образ пучка секций пучка, вообще говоря, не является пучком секций некоторого прямого образа пучка, так что, хотя понятие «продвижение пучка» определяется в некоторых контекстах (например, продвигается вперед с помощью диффеоморфизма), вообще его лучше понимать в категории пучков, поскольку создаваемые им объекты вообще не могут быть пучками.
