Многомерная интерполяция

Интерполяция функций более чем одной переменной

В численном анализе многомерная интерполяция — это интерполяция функций более чем одной переменной ( многомерные функции ); когда переменные являются пространственными координатами , это также известно как пространственная интерполяция .

Функция, подлежащая интерполяции, известна в заданных точках, и задача интерполяции состоит в получении значений в произвольных точках . ${\displaystyle (x_{i},y_{i},z_{i},\dots )}$ ${\displaystyle (x,y,z,\dots )}$

Многомерная интерполяция особенно важна в геостатистике , где она используется для создания цифровой модели рельефа из набора точек на поверхности Земли (например, высоты точек в топографической съемке или глубины в гидрографической съемке ).

Регулярная сетка

Сравнение некоторых 1- и 2-мерных интерполяций.
Черные и красные / желтые / зеленые / синие точки соответствуют интерполируемой точке и соседним выборкам соответственно.
Их высота над землей соответствует их значениям.

Для значений функции, известных в регулярной сетке (с заранее определенным, не обязательно равномерным интервалом), доступны следующие методы.

Любой размер

• Интерполяция ближайшего соседа
• n-линейная интерполяция (см. би- и трилинейная интерполяция и полилинейный полином )
• n-кубическая интерполяция (см. би- и трикубическая интерполяция )
• Кригинг
• Обратное взвешивание расстояния
• Интерполяция естественных соседей
• Сплайн-интерполяция
• Интерполяция радиальной базисной функции

2 измерения

• Интерполяция Барнса
• Билинейная интерполяция
• Бикубическая интерполяция
• Поверхность Безье
• Передискретизация Ланцоша
• Триангуляция Делоне

Передискретизация растрового изображения — это применение двумерной многомерной интерполяции при обработке изображений .

Три метода применены к одному и тому же набору данных из 25 значений, расположенных в черных точках. Цвета представляют интерполированные значения.

• 
  Ближайший сосед
• 
  Билинейный
• 
  Бикубический

См. также точки Падуи для полиномиальной интерполяции от двух переменных.

3 измерения

• Трилинейная интерполяция
• Трикубическая интерполяция

См. также передискретизацию растрового изображения .

Тензорные сплайны произведения дляНразмеры

Сплайны Катмулла-Рома можно легко обобщить на любое количество измерений. Статья о кубическом сплайне Эрмита напомнит вам, что для некоторого 4-вектора , который является функцией только x , где - значение at функции, подлежащей интерполяции. Перепишем это приближение как ${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(f_{-1},f_{0},f_{1},f_{2})=\mathbf {b} (x)\cdot \left(f_{-1}f_{0}f_{1}f_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {b} (x)}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathrm {CR} (x)=\sum _{i=-1}^{2}f_{i}b_{i}(x)}$

Эту формулу можно напрямую обобщить на N измерений: ^[1]

${\displaystyle \mathrm {CR} (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{i_{1},\dots ,i_{N}=-1}^{2}f_{i_{1}\dots i_{N}}\prod _{j=1}^{N}b_{i_{j}}(x_{j})}$

Обратите внимание, что аналогичные обобщения можно сделать и для других типов сплайн-интерполяции, включая сплайны Эрмита. Что касается эффективности, общая формула фактически может быть вычислена как композиция последовательных операций -типа для любого типа сплайнов тензорного произведения, как объяснено в статье о трикубической интерполяции . Однако факт остается фактом: если в одномерном -мерном суммировании есть члены , то будут и члены в -мерном суммировании. ${\displaystyle \mathrm {CINT} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {CR} }$ ${\displaystyle n^{N}}$ ${\displaystyle N}$

Нерегулярная сетка (разрозненные данные)

Схемы, определенные для разбросанных данных по нерегулярной сетке , являются более общими. Все они должны работать на регулярной сетке, обычно сводясь к другому известному методу.

• Интерполяция ближайшего соседа
• Естественный сосед на основе триангулированной нерегулярной сети
• Линейная интерполяция на основе триангулированной нерегулярной сети (разновидность кусочно-линейной функции )
  • n- симплексная (например, тетраэдр) интерполяция (см. барицентрическую систему координат )
• Обратное взвешивание расстояния
• ABOS – аппроксимация на основе сглаживания
• Кригинг
• Градиентный кригинг (GEK)
• Тонкая пластина шлица
• Полигармонический сплайн (тонкий пластинчатый сплайн — частный случай полигармонического сплайна)
• Радиальная базисная функция ( Полигармонические сплайны - это частный случай радиальных базисных функций с полиномиальными членами низкой степени)
• Сплайн наименьших квадратов
• Интерполяция естественных соседей

Gridding — это процесс преобразования неравномерно расположенных данных в регулярную сетку ( данные с сеткой ).

Смотрите также

• Сглаживание
• Поверхностный монтаж

Примечания

1. Две иерархии сплайн-интерполяций. Практические алгоритмы для многомерных сплайнов высшего порядка

Внешние ссылки

• Пример кода C++ для нескольких 1D, 2D и 3D сплайн-интерполяций (включая сплайны Catmull-Rom).
• Многомерная интерполяция и аппроксимация Эрмита, профессор Чандраджит Баджаджа, Университет Пердью
• Библиотека Python, содержащая методы 3D- и 4D-сплайн-интерполяции.