Групповой объект

В теории категорий , разделе математики , групповые объекты представляют собой определенные обобщения групп , построенные на более сложных структурах, чем множества . Типичным примером группового объекта является топологическая группа , группа, базовым множеством которой является топологическое пространство , в котором групповые операции непрерывны .

Определение

Формально мы начинаем с категории C с конечными произведениями (т. е. C имеет терминальный объект 1, а любые два объекта C имеют произведение ). Групповой объект в C — это объект G из C вместе с морфизмами

• m  : G × G → G (называемое «групповым умножением»)
• e  : 1 → G (считается «включением единичного элемента»)
• inv  : G → G (называемая «операцией инверсии»)

такие, что выполняются следующие свойства (по образцу аксиом группы, точнее, по определению группы, используемому в универсальной алгебре )

• m ассоциативен, т.е. m ( m × id _G ) = m (id _G × m ) как морфизмы G × G × G → G , и где, например, m × id _G  : G × G × G → G × G ; здесь мы отождествляем G ×( G × G ) каноническим образом с ( G × G )× G .
• e — двусторонняя единица m , т.е. m (id _G × e ) = p ₁ , где p ₁  : G × 1 → G — каноническая проекция, и m ( e × id _G ) = p ₂ , где p ₂  : 1 × G → G — каноническая проекция
• inv является двусторонним обратным для m , т.е. если d  : G → G × G — диагональное отображение, а _eG :  G → G — композиция уникального морфизма G → 1 (также называемого коединицей) с e , тогда м (id _G × inv ) d знак равно е _G и м ( inv × id _G ) d знак равно е _G .

Обратите внимание, что это указано в терминах карт – произведение и инверсия должны быть картами в категории – и без какой-либо ссылки на базовые «элементы» группового объекта – категории, как правило, не имеют элементов своих объектов.

Другой способ сформулировать вышесказанное — сказать, что G является групповым объектом в категории C , если для каждого объекта X в C существует групповая структура морфизмов Hom( X , G ) из X в G такая, что ассоциация X в Hom( X , G ) — (контравариантный) функтор из C в категорию групп .

Примеры

• Каждое множество G , для которого может быть определена групповая структура ( G , m , u , ⁻¹ ), может рассматриваться как групповой объект в категории множеств . Карта m является групповой операцией, карта e (область определения которой является одноэлементной ) выбирает единичный элемент u из G , а карта inv присваивает каждому элементу группы его обратный элемент. e _G  : G → G — это отображение, которое отправляет каждый элемент G в единичный элемент.
• Топологическая группа — групповой объект в категории топологических пространств с непрерывными функциями .
• Группа Ли — групповой объект в категории гладких многообразий с гладкими отображениями .
• Супергруппа Ли — групповой объект в категории супермногообразий .
• Алгебраическая группа — групповой объект в категории алгебраических многообразий . В современной алгебраической геометрии к категории схем относят более общие групповые схемы , групповые объекты .
• Локальная группа — это групповой объект в категории локалей .
• Групповые объекты в категории групп (или моноидов ) — абелевы группы . Причина этого в том, что если считать inv гомоморфизмом, то G должна быть абелевой. Точнее: если A — абелева группа и мы обозначаем через m групповое умножение A , через e — включение единичного элемента, а через inv — операцию обращения над A , то ( A , m , e , inv ) является групповой объект в категории групп (или моноидов). И наоборот, если ( A , m , e , inv ) — групповой объект в одной из этих категорий, то m обязательно совпадает с данной операцией над A , e — включение данного единичного элемента в A , inv — операция инверсии. и A с данной операцией является абелевой группой. См. также аргумент Экмана-Хилтона .
• Строгая 2-группа — это групповой объект из категории малых категорий .
• Для данной категории C с конечными копроизведениями объект когруппы представляет собой объект G из C вместе с «коумножением» m : G → G G, «коидентичностью» e : G → 0 и «коинверсией» inv : G → G. которые удовлетворяют двойственным версиям аксиом для групповых объектов. Здесь 0 — начальный объект C. Объекты когруппы естественным образом встречаются в алгебраической топологии . ${\displaystyle \oplus }$

Смотрите также

• Алгебры Хопфа можно рассматривать как обобщение групповых объектов до моноидальных категорий .
• Группоидный объект

Рекомендации

• Аводи, Стив (2010), Теория категорий , Oxford University Press, ISBN 9780199587360
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556, Збл  0984.00001