Супермногообразие

Суперсимметричное обобщение многообразий

В физике и математике супермногообразия являются обобщениями концепции многообразия , основанными на идеях, исходящих из суперсимметрии . Используется несколько определений, некоторые из которых описаны ниже.

Неформальное определение

Неформальное определение обычно используется в учебниках физики и вводных лекциях. Оно определяет супермногообразие как многообразие с бозонными и фермионными координатами. Локально оно состоит из координатных карт , которые делают его похожим на «плоское», «евклидово» суперпространство . Эти локальные координаты часто обозначаются как

${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

где x — пространственно-временная координата (значимая в виде вещественного числа ) , а и — пространственные «направления» со значениями Грассмана . ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

Физическая интерпретация грассмановозначных координат является предметом дебатов; явные экспериментальные поиски суперсимметрии не дали никаких положительных результатов. Однако использование грассмановых переменных позволяет значительно упростить ряд важных математических результатов. Это включает, среди прочего, компактное определение функциональных интегралов , надлежащую обработку духов в BRST-квантовании , отмену бесконечностей в квантовой теории поля , работу Виттена над теоремой об индексе Атьи-Зингера и более поздние приложения к зеркальной симметрии .

Использование грассмановозначных координат породило область суперматематики , в которой большие части геометрии могут быть обобщены до суперэквивалентов, включая большую часть римановой геометрии и большую часть теории групп Ли и алгебр Ли (таких как супералгебры Ли и т. д. ). Однако остаются нерешенные вопросы, включая правильное расширение когомологий де Рама на супермногообразия.

Определение

Используются три различных определения супермногообразий. Одно определение — как пучок над окольцованным пространством ; это иногда называют « алгебро-геометрическим подходом». ^[1] Этот подход имеет математическую элегантность, но может быть проблематичным в различных вычислениях и интуитивном понимании. Второй подход можно назвать «конкретным подходом», ^[1] , поскольку он способен просто и естественно обобщить широкий класс понятий из обычной математики. Он требует использования бесконечного числа суперсимметричных генераторов в своем определении; однако все, кроме конечного числа этих генераторов, не несут никакого содержания, поскольку конкретный подход требует использования грубой топологии , которая делает почти все из них эквивалентными. Удивительно, но эти два определения, одно с конечным числом суперсимметричных генераторов, а другое с бесконечным числом генераторов, эквивалентны. ^{[1] [2]}

Третий подход описывает супермногообразие как базовый топос суперточки. Этот подход остается предметом активных исследований. ^[3]

Алгебро-геометрический: как пучок

Хотя супермногообразия являются частными случаями некоммутативных многообразий , их локальная структура делает их более подходящими для изучения с помощью инструментов стандартной дифференциальной геометрии и локально окольцованных пространств .

Супермногообразие M размерности ( p , q ) — это топологическое пространство M с пучком супералгебр , обычно обозначаемым O M или C ^∞ ( M ), которое локально изоморфно , где последнее _{является} грассмановой (внешней) алгеброй на q образующих. ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

Супермногообразие M размерности (1,1) иногда называют суперримановой поверхностью.

Исторически этот подход связан с именами Феликса Березина , Дмитрия Лейтеса и Бертрама Костанта .

Бетон: как гладкий коллектор

Другое определение описывает супермногообразие способом, аналогичным определению гладкого многообразия , за исключением того, что модельное пространство заменено модельным суперпространством . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$

Чтобы правильно определить это, необходимо объяснить, что такое и . Они заданы как четные и нечетные действительные подпространства одномерного пространства чисел Грассмана , которые, по соглашению, порождаются счетным бесконечным числом антикоммутирующих переменных: т.е. одномерное пространство задается как , где V бесконечномерно. Элемент z называется действительным , если ; действительные элементы, состоящие только из четного числа образующих Грассмана, образуют пространство c -чисел , в то время как действительные элементы, состоящие только из нечетного числа образующих Грассмана, образуют пространство a -чисел . Обратите внимание, что c -числа коммутируют, в то время как a -числа антикоммутируют. Пространства и тогда определяются как p -кратные и q -кратные декартовы произведения и . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \Lambda (V),}$ ${\displaystyle z=z^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$

Как и в случае обычного многообразия, супермногообразие затем определяется как набор карт, склеенных вместе с дифференцируемыми функциями перехода. ^[4] Это определение в терминах карт требует, чтобы функции перехода имели гладкую структуру и неисчезающий якобиан . Это может быть достигнуто только в том случае, если отдельные карты используют топологию, которая значительно грубее топологии векторного пространства на алгебре Грассмана. Эта топология получается путем проецирования вниз и последующего использования естественной топологии на ней. Результирующая топология не является хаусдорфовой , но может быть названа «проективно хаусдорфовой». ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

То, что это определение эквивалентно первому, вовсе не очевидно; однако, именно использование грубой топологии делает его таковым, делая большинство «точек» идентичными. То есть, с грубой топологией по существу изоморфно ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

Характеристики

В отличие от регулярного многообразия, супермногообразие не полностью состоит из набора точек. Вместо этого принимается двойственная точка зрения, что структура супермногообразия M содержится в его пучке O _M «гладких функций». С двойственной точки зрения инъективное отображение соответствует сюръекции пучков, а сюръективное отображение соответствует инъекции пучков.

Альтернативный подход к двойственной точке зрения заключается в использовании функтора точек .

Если M — супермногообразие размерности ( p , q ), то базовое пространство M наследует структуру дифференцируемого многообразия, пучок гладких функций которого равен O _M /I , где I — идеал, порожденный всеми нечетными функциями. Таким образом, M называется базовым пространством или телом M . Фактор-отображение O _M → O _M /I соответствует инъективному отображению M → M ; таким образом, M является подмногообразием M .

Примеры

• Пусть M — многообразие. Нечетное касательное расслоение ΠT M — это супермногообразие, заданное пучком Ω( M ) дифференциальных форм на M .
• В более общем случае пусть E → M — векторное расслоение . Тогда Π E — супермногообразие, заданное пучком Γ(ΛE ^* ). Фактически, Π — функтор из категории векторных расслоений в категорию супермногообразий.
• Супергруппы Ли являются примерами супермногообразий.

Теорема Бэтчелора

Теорема Бэтчелора утверждает, что каждое супермногообразие неканонически изоморфно супермногообразию вида Π E . Слово «неканонически» не позволяет сделать вывод, что супермногообразия — это просто прославленные векторные расслоения; хотя функтор Π сюръективно отображается на классы изоморфизма супермногообразий, он не является эквивалентностью категорий . Она была опубликована Марджори Бэтчелор в 1979 году ^{. [5]}

Доказательство теоремы Бэтчелора существенно опирается на существование разбиения единицы , поэтому оно не справедливо для комплексных или вещественно-аналитических супермногообразий .

Нечетные симплектические структуры

Нечетная симплектическая форма

Во многих физических и геометрических приложениях супермногообразие снабжено нечетной по Грассману симплектической структурой . Все естественные геометрические объекты на супермногообразии градуированы. В частности, расслоение 2-форм снабжено градуировкой. Нечетная симплектическая форма ω на супермногообразии является замкнутой нечетной формой, индуцирующей невырожденное спаривание на TM . Такое супермногообразие называется P-многообразием. Его градуированная размерность обязательно равна ( n , n ), поскольку нечетная симплектическая форма индуцирует спаривание нечетных и четных переменных. Существует версия теоремы Дарбу для P-многообразий, которая позволяет локально снабдить P-многообразие набором координат, где нечетная симплектическая форма ω записывается как

${\displaystyle \omega =\sum _{i}d\xi _{i}\wedge dx_{i},}$

где — четные координаты, а — нечетные координаты. (Нечетную симплектическую форму не следует путать с грассманово-четной симплектической формой на супермногообразии. Напротив, версия Дарбу четной симплектической формы — это ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},}$

где — четные координаты, нечетные координаты и равны либо +1, либо −1.) ${\displaystyle p_{i},q_{i}}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{j}}$

Антискобка

Для нечетной симплектической 2-формы ω можно определить скобку Пуассона, известную как антискобка любых двух функций F и G на супермногообразии, следующим образом:

${\displaystyle \{F,G\}={\frac {\partial _{r}F}{\partial z^{i}}}\omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}G}{\partial z^{j}}}.}$

Здесь и — правые и левые производные соответственно, а z — координаты супермногообразия. Снабженная этой скобкой, алгебра функций на супермногообразии становится алгеброй антискобок . ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle \partial _{l}}$

Координатное преобразование , сохраняющее антискобку, называется P-преобразованием. Если березиниан P-преобразования равен единице, то оно называется SP-преобразованием.

P и SP-многообразия

Используя теорему Дарбу для нечетных симплектических форм, можно показать, что P-многообразия строятся из открытых множеств суперпространств, склеенных P-преобразованиями. Многообразие называется SP-многообразием, если эти функции перехода могут быть выбраны в качестве SP-преобразований. Эквивалентно можно определить SP-многообразие как супермногообразие с невырожденной нечетной 2-формой ω и функцией плотности ρ такими, что на каждом участке координат существуют координаты Дарбу, в которых ρ тождественно равно единице. ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n|n}}$

Лапласиан

Можно определить оператор Лапласа Δ на SP-многообразии как оператор, который переводит функцию H в половину дивергенции соответствующего гамильтонова векторного поля . Явно определяется

${\displaystyle \Delta H={\frac {1}{2\rho }}{\frac {\partial _{r}}{\partial z^{a}}}\left(\rho \omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}H}{\partial z^{j}}}\right).}$

В координатах Дарбу это определение сводится к

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial _{r}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}}$

где x ^a и θ _a — четные и нечетные координаты, такие что

${\displaystyle \omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}.}$

Лапласиан нечетный и нильпотентный

${\displaystyle \Delta ^{2}=0.}$

Можно определить когомологии функций H относительно лапласиана. В «Геометрии квантования Баталина-Вилковыского» Альберт Шварц доказал, что интеграл функции H по лагранжеву подмногообразию L зависит только от класса когомологий H и от класса гомологии тела L в теле объемлющего супермногообразия.

Сьюзи

Pre-SUSY-структура на супермногообразии размерности ( n , m ) является нечетным m -мерным распределением . С таким распределением связывается его тензор Фробениуса (поскольку P нечетно, кососимметричный тензор Фробениуса является симметричной операцией). Если этот тензор невырожден, например, лежит в открытой орбите , M называется SUSY-многообразием . SUSY-структура в размерности (1, k ) совпадает с нечетной контактной структурой . ${\displaystyle P\subset TM}$ ${\displaystyle S^{2}P\mapsto TM/P}$ ${\displaystyle GL(P)\times GL(TM/P)}$

Смотрите также

• Суперпространство
• Суперсимметрия
• Супергеометрия
• Градуированный коллектор
• Формализм Баталина–Вилковиского.

Ссылки

1. Элис Роджерс , Супермногообразия: теория и приложения , World Scientific, (2007) ISBN  978-981-3203-21-1 (см. главу 1)
2. Rogers, Op. Cit. (См. Главу 8.)
3. супермногообразие в n Lab
4. Брайс ДеВитт , Супермногообразия , (1984) Cambridge University Press ISBN 0521 42377 5 (См. главу 2.) 
5. Бэтчелор, Марджори (1979), «Структура супермногообразий», Труды Американского математического общества , 253 : 329–338, doi : 10.2307/1998201 , JSTOR  1998201, MR  0536951

• Джозеф Бернстайн, «Лекции по суперсимметрии (заметки Денниса Гейтсгори)», программа по квантовой теории поля в IAS: осенний семестр
• А. Шварц, "Геометрия квантования Баталина-Вилковыского", ArXiv hep-th/9205088
• C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, Геометрия супермногообразий (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9 
• Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили , Связи в классической и квантовой теории поля (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8 ( arXiv :0910.0092) 

Внешние ссылки

• Супермногообразия: неполный обзор в Атласе многообразий.