Суперпространство

Базовое пространство для суперсимметричных теорий

Суперпространство — это координатное пространство теории, демонстрирующей суперсимметрию . В такой формулировке, наряду с обычными пространственными измерениями x , y , z , ..., существуют также «антикоммутирующие» измерения, координаты которых обозначены числами Грассмана , а не действительными числами. Обычные пространственные измерения соответствуют бозонным степеням свободы, антикоммутирующие — фермионным степеням свободы.

Слово «суперпространство» впервые было использовано Джоном Уилером в несвязанном смысле для описания конфигурационного пространства общей теории относительности ; например, такое использование можно увидеть в его учебнике 1973 года «Гравитация » .

Неформальное обсуждение

Существует несколько похожих, но не эквивалентных определений суперпространства, которые использовались и продолжают использоваться в математической и физической литературе. Одно из таких использований — как синоним суперпространства Минковского . ^[1] В этом случае берется обычное пространство Минковского и расширяется с помощью антикоммутирующих фермионных степеней свободы, которые считаются антикоммутирующими спинорами Вейля из алгебры Клиффорда, связанной с группой Лоренца . Эквивалентно, суперпространство Минковского можно понимать как фактор супералгебры Пуанкаре по модулю алгебры группы Лоренца. Типичное обозначение координат в таком пространстве — с верхней чертой, которая выдает, что суперпространство Минковского является предполагаемым пространством. ${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

Суперпространство также обычно используется как синоним супервекторного пространства . Оно считается обычным векторным пространством вместе с дополнительными координатами, взятыми из алгебры Грассмана , т.е. координатными направлениями, которые являются числами Грассмана . Существует несколько соглашений для построения супервекторного пространства, используемых в использовании; два из них описаны Роджерсом ^[2] и ДеВиттом. ^[3]

Третье использование термина «суперпространство» — как синоним супермногообразия : суперсимметричное обобщение многообразия . Обратите внимание, что как суперпространства Минковского, так и супервекторные пространства могут рассматриваться как частные случаи супермногообразий.

Четвертое, совершенно не связанное с первым значение кратко использовалось в общей теории относительности ; оно более подробно обсуждается ниже.

Примеры

Ниже приведено несколько примеров. Первые несколько предполагают определение суперпространства как супервекторного пространства . Это обозначается как R ^{m | n} , Z ₂ -градуированное векторное пространство с R ^m как четным подпространством и R ⁿ как нечетным подпространством. То же определение применимо к C ^m|n .

Четырехмерные примеры берут суперпространство как суперпространство Минковского . Хотя оно похоже на векторное пространство, оно имеет много важных отличий: во-первых, это аффинное пространство , не имеющее особой точки, обозначающей начало координат. Затем фермионные координаты берутся как антикоммутирующие спиноры Вейля из алгебры Клиффорда , а не как числа Грассмана . Разница здесь в том, что алгебра Клиффорда имеет значительно более богатую и тонкую структуру, чем числа Грассмана. Итак, числа Грассмана являются элементами внешней алгебры , а алгебра Клиффорда имеет изоморфизм с внешней алгеброй, но ее связь с ортогональной группой и группой спинов , используемыми для построения представлений спинов , придает ей глубокое геометрическое значение. (Например, группы спинов образуют обычную часть изучения римановой геометрии , ^[4] совершенно за пределами обычных границ и проблем физики.)

Тривиальные примеры

Наименьшее суперпространство — это точка, которая не содержит ни бозонных, ни фермионных направлений. Другие тривиальные примеры включают n -мерную вещественную плоскость R ⁿ , которая является векторным пространством, простирающимся в n вещественных, бозонных направлениях и не содержащим фермионных направлений. Векторным пространством R ^0|n , которое является n -мерной вещественной алгеброй Грассмана . Пространство R ^1|1 одного четного и одного нечетного направления известно как пространство дуальных чисел , введенное Уильямом Клиффордом в 1873 году.

Суперпространство суперсимметричной квантовой механики

Суперсимметричная квантовая механика с N суперзарядами часто формулируется в суперпространстве R ^{1|2 N} , которое содержит одно действительное направление t , отождествляемое со временем , и N комплексных грассмановых направлений , которые охватываются Θ _i и Θ ^* _i , где i изменяется от 1 до N .

Рассмотрим частный случай N  = 1. Суперпространство R ^1|2 является 3-мерным векторным пространством. Следовательно, заданная координата может быть записана в виде тройки ( t , Θ, Θ ^* ). Координаты образуют супералгебру Ли , в которой степень градации t четна, а степень градации Θ и Θ ^* нечетна. Это означает, что скобка может быть определена между любыми двумя элементами этого векторного пространства, и что эта скобка сводится к коммутатору по двум четным координатам и по одной четной и одной нечетной координатам, в то время как она является антикоммутатором по двум нечетным координатам. Это суперпространство является абелевой супералгеброй Ли, что означает, что все вышеупомянутые скобки обращаются в нуль

${\displaystyle \left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0}$

где — коммутатор a и b , а — антикоммутатор a и b . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$

Можно определить функции из этого векторного пространства в себя, которые называются суперполями . Вышеприведенные алгебраические соотношения подразумевают, что если мы разложим наше суперполе в степенной ряд по Θ и Θ ^* , то мы найдем только члены в нулевом и первом порядках, поскольку Θ ²  = Θ ^*2  = 0. Следовательно, суперполя можно записать как произвольные функции t, умноженные на члены нулевого и первого порядка в двух грассмановых координатах

${\displaystyle \Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)}$

Суперполя, являющиеся представлениями суперсимметрии суперпространства , обобщают понятие тензоров , являющихся представлениями группы вращений бозонного пространства.

Затем можно определить производные в направлениях Грассмана, которые берут член первого порядка в разложении суперполя до члена нулевого порядка и аннулируют член нулевого порядка. Можно выбрать соглашения о знаках так, чтобы производные удовлетворяли антикоммутационным соотношениям

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1}$

Эти производные могут быть собраны в суперзаряды

${\displaystyle Q={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

чьи антикоммутаторы идентифицируют их как фермионные генераторы алгебры суперсимметрии

${\displaystyle \left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$

где i раз производная по времени является оператором Гамильтона в квантовой механике . Оба Q и его сопряженный антикоммутируют друг с другом. Вариация суперсимметрии с параметром суперсимметрии ε суперполя Φ определяется как

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Phi =(\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dagger })\Phi .}$

Мы можем оценить эту вариацию, используя действие Q на суперполя

${\displaystyle \left[Q,\Phi \right]=\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\,-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\Phi =\psi +\theta ^{*}\left(F-i{\dot {\phi }}\right)+i\theta \theta ^{*}{\dot {\psi }}.}$

Аналогично можно определить ковариантные производные на суперпространстве

${\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\partial }{\partial t}}\quad {\text{and}}\quad D^{\dagger }={\frac {\partial }{\partial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\partial }{\partial t}}}$

которые антикоммутируют с суперзарядами и удовлетворяют алгебре суперсимметрии с неправильным знаком

${\displaystyle \left\{D,D^{\dagger }\right\}=-2i{\frac {\partial }{\partial t}}}$.

Тот факт, что ковариантные производные антикоммутируют с суперзарядами, означает, что преобразование суперсимметрии ковариантной производной суперполя равно ковариантной производной того же преобразования суперсимметрии того же суперполя. Таким образом, обобщая ковариантную производную в бозонной геометрии, которая строит тензоры из тензоров, ковариантная производная суперпространства строит суперполя из суперполей.

Суперсимметричные расширения пространства Минковского

N = 1 суперпространство Минковского

Возможно, наиболее изученным конкретным суперпространством в физике является суперпространство Минковского или иногда его пишут , которое является прямой суммой четырех реальных бозонных измерений и четырех реальных грассмановых измерений (также известных как фермионные измерения или спиновые измерения ). ^[5] ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3|4}}$

В суперсимметричных квантовых теориях поля интерес представляют суперпространства, которые предоставляют представления супералгебры Ли, называемой алгеброй суперсимметрии . Бозонная часть алгебры суперсимметрии — это алгебра Пуанкаре , тогда как фермионная часть строится с использованием спиноров с компонентами, имеющими значения в виде числа Грассмана.

По этой причине в физических приложениях рассматривается действие алгебры суперсимметрии на четырех фермионных направлениях таким образом, что они преобразуются как спинор под подалгеброй Пуанкаре. В четырех измерениях есть три различных неприводимых 4-компонентных спинора. Есть спинор Майораны , левый спинор Вейля и правый спинор Вейля. Теорема CPT подразумевает, что в унитарной , инвариантной относительно Пуанкаре теории, которая является теорией, в которой S-матрица является унитарной матрицей и те же генераторы Пуанкаре действуют на асимптотические входящие состояния, как и на асимптотические исходящие состояния, алгебра суперсимметрии должна содержать равное количество левых и правых спиноров Вейля. Однако, поскольку каждый спинор Вейля имеет четыре компоненты, это означает, что если включить любые спиноры Вейля, то должно быть 8 фермионных направлений. Говорят, что такая теория имеет расширенную суперсимметрию , и такие модели привлекли много внимания. Например, суперсимметричные калибровочные теории с восемью суперзарядами и фундаментальной материей были решены Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном , см. калибровочную теорию Зайберга–Виттена . Однако в этом подразделе мы рассматриваем суперпространство с четырьмя фермионными компонентами, и поэтому никакие спиноры Вейля не согласуются с теоремой CPT. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4}}$

Примечание : существует множество условных обозначений знаков , и это лишь одно из них.

Поэтому четыре фермионных направления преобразуются как спинор Майораны . Мы также можем сформировать сопряженный спинор ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ i\theta ^{\dagger }\gamma ^{0}=-\theta ^{\perp }C}$

где — матрица сопряжения зарядов, которая определяется свойством, что когда она сопряжена с гамма-матрицей , гамма-матрица инвертируется и транспонируется. Первое равенство является определением, а второе — следствием условия спинора Майораны . Сопряженный спинор играет роль, аналогичную роли спинора в суперпространстве , за исключением того, что условие Майораны, как показано в приведенном выше уравнении, налагает это и не являются независимыми. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle \theta ^{*}=i\gamma _{0}C\theta }$ ${\displaystyle \theta ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1|2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ^{*}}$

В частности, мы можем построить суперзаряды

${\displaystyle Q=-{\frac {\partial }{\partial {\bar {\theta }}}}+\gamma ^{\mu }\theta \partial _{\mu }}$

которые удовлетворяют алгебре суперсимметрии

${\displaystyle \left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},Q\right\}C=2\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }C=-2i\gamma ^{\mu }P_{\mu }C}$

где — оператор 4- импульса . Снова ковариантная производная определяется как суперзаряд, но со вторым членом, отрицательным, и она антикоммутирует с суперзарядами. Таким образом, ковариантная производная супермультиплета — это другой супермультиплет. ${\displaystyle P=i\partial _{\mu }}$

Расширенная суперсимметрия

Возможны наборы суперзарядов с , хотя это возможно не для всех значений . ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle Q^{I}}$ ${\displaystyle I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Эти суперзаряды генерируют трансляции в совокупности спиновых измерений, образуя таким образом суперпространство . ${\displaystyle 4{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}}$

В общей теории относительности

Слово «суперпространство» также используется в совершенно ином и не связанном смысле в книге «Гравитация» Мизнера, Торна и Уиллера. Там оно относится к конфигурационному пространству общей теории относительности и, в частности, к взгляду на гравитацию как на геометродинамику , интерпретацию общей теории относительности как формы динамической геометрии. В современных терминах эта конкретная идея «суперпространства» отражена в одном из нескольких различных формализмов, используемых при решении уравнений Эйнштейна в различных условиях, как теоретических, так и практических, например, в численном моделировании. Это включает в себя прежде всего формализм ADM , а также идеи, окружающие уравнение Гамильтона–Якоби–Эйнштейна и уравнение Уиллера–ДеВитта .

Смотрите также

• Хиральное суперпространство
• Гармоническое суперпространство
• Проективное суперпространство
• Суперпространство Минковского
• Супергруппа
• Супералгебра Ли

Примечания

1. SJ Gates, Jr. , MT Grisaru, M. Roček , W. Siegel , Superspace or One Thousand and One Lesson in Supersymmetry , Benjamins Cumming Publishing (1983) ISBN  0-8053 3161-1 .
2. Элис Роджерс , Супермногообразия: теория и приложения , World Scientific (2007) ISBN 978-981-3203-21-1 . 
3. Брайс ДеВитт , Супермногообразия , Cambridge University Press (1984) ISBN 0521 42377 5 . 
4. Юрген Йост , Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer-Verlag (2002) ISBN 3-540-63654-4 . 
5. Ювал Нееман , Елена Эйзенберг, Мембраны и другие экстендоны (p-браны) , World Scientific, 1995, стр. 5.

Ссылки

• Дуплий, Стивен [на украинском] ; Сигел , Уоррен; Баггер, Джонатан, ред. (2005), Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике , Берлин, Нью-Йорк: Springer , ISBN 978-1-4020-1338-6(Второе издание)