Супервекторное пространство

Градуированное векторное пространство с приложениями к теоретической физике

В математике супервекторное пространство — это градуированное векторное пространство , то есть векторное пространство над полем с заданным разложением подпространств грейда и грейда . Изучение супервекторных пространств и их обобщений иногда называют суперлинейной алгеброй . Эти объекты находят свое основное применение в теоретической физике , где они используются для описания различных алгебраических аспектов суперсимметрии . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Определения

Супервекторное пространство — это -градуированное векторное пространство с разложением ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

Векторы, которые являются элементами любого из них или называются однородными . Четность ненулевого однородного элемента, обозначаемого , равна или в зависимости от того , находится ли он в или , ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}}$

Векторы четности называются четными , а векторы четности — нечетными . В теоретической физике четные элементы иногда называют бозе-элементами или бозонными , а нечетные элементы — ферми-элементами или фермионными. Определения супервекторных пространств часто даются только в терминах однородных элементов, а затем по линейности распространяются на неоднородные элементы. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Если конечномерен и размеры и равны и соответственно, то говорят, что он имеет размерность . Стандартное суперкоординатное пространство, обозначаемое , представляет собой обычное координатное пространство , в котором четное подпространство натянуто на первые координатные базисные вектора, а нечетное пространство натянуто на последний . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p|q}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{p|q}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{p+q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Однородное подпространство супервекторного пространства — это линейное подпространство , натянутое на однородные элементы. Однородные подпространства сами по себе являются супервекторными пространствами (с очевидной градуировкой).

Для любого супервекторного пространства можно определить пространство с обратной четностью как супервекторное пространство с поменянными местами четными и нечетными подпространствами. То есть, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1},\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}}$

Линейные преобразования

Гомоморфизм , морфизм в категории супервекторных пространств, из одного супервекторного пространства в другое, является линейным преобразованием, сохраняющим степень . Линейное преобразование между супервекторными пространствами сохраняет степень, если ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.}$

То есть он отображает четные элементы в четные элементы и нечетные элементы в нечетные элементы . Изоморфизм супервекторных пространств является биективным гомоморфизмом . Множество всех гомоморфизмов обозначается . ^[2] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V\rightarrow W}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

Каждое линейное преобразование, не обязательно сохраняющее степень, из одного супервекторного пространства в другое, можно однозначно записать как сумму преобразования, сохраняющего степень, и преобразования, обращающего степень, то есть преобразования такого, что ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.}$

Объявление преобразований, сохраняющих степень, четными , а преобразований, изменяющих степень, нечетными , дает пространству всех линейных преобразований от до , обозначаемому и называемому внутренней структурой супервекторного пространства. В частности, ^[3] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$

${\displaystyle \left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W).}$

Преобразование, обращающее градуировку, из в можно рассматривать как гомоморфизм из в пространство с обращенной четностью , так что ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi W}$

${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W).}$

Операции над супервекторными пространствами

Обычные алгебраические конструкции для обычных векторных пространств имеют аналог в контексте супервекторного пространства.

Двойное пространство

Двойственное пространство супервекторного пространства можно рассматривать как супервекторное пространство, приняв за четные функционалы те, которые исчезают на , а за нечетные функционалы — те, которые исчезают на . ^[4] Эквивалентно, можно определить пространство линейных карт от до (базовое поле, рассматриваемое как чисто четное супервекторное пространство) с градацией, приведенной в предыдущем разделе. ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Прямая сумма

Прямые суммы супервекторных пространств строятся так же, как и в неградуированном случае, с градуировкой, заданной формулой

${\displaystyle (V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0},}$

${\displaystyle (V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}.}$

Тензорное произведение

Также можно построить тензорные произведения супервекторных пространств. Здесь в игру вступает аддитивная структура . Базовое пространство такое же, как и в неклассифицированном случае, с градацией, заданной формулой ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_{k},}$

где индексы находятся в . В частности, у человека есть ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0})\oplus (V_{1}\otimes W_{1}),}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1})\oplus (V_{1}\otimes W_{0}).}$

Супермодули

Точно так же, как можно обобщить векторные пространства над полем до модулей над коммутативным кольцом , можно обобщить супервекторные пространства над полем до супермодулей над суперкоммутативной алгеброй (или кольцом).

Распространенной конструкцией при работе с супервекторными пространствами является расширение поля скаляров до суперкоммутативной алгебры Грассмана . Учитывая поле , пусть ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]}$

Обозначим алгебру Грассмана , порожденную антикоммутирующими нечетными элементами . Любое супервекторное пространство можно встроить в модуль, рассматривая (градуированное) тензорное произведение. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.}$

Категория супервекторных пространств

Категория супервекторных пространств , обозначаемая , — это категория , объектами которой являются супервекторные пространства (над фиксированным полем ) и чьи морфизмы являются четными линейными преобразованиями (т. е. сохраняющими степень). ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Категориальный подход к суперлинейной алгебре заключается в том, чтобы сначала сформулировать определения и теоремы, касающиеся обычных (неградуированных) алгебраических объектов, на языке теории категорий , а затем перенести их непосредственно в категорию супервекторных пространств. Это приводит к трактовке «суперобъектов», таких как супералгебры , супералгебры Ли , супергруппы и т. д., которая полностью аналогична их неклассифицированным аналогам.

Категория представляет собой моноидальную категорию с супертензорным произведением в качестве моноидального произведения и чисто четным супервекторным пространством в качестве единичного объекта. Инволютивный оператор переплетения ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$

${\displaystyle \tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,}$

предоставлено

${\displaystyle \tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{|x||y|}y\otimes x}$

на однородных элементах, превращается в симметричную моноидальную категорию . Этот изоморфизм коммутативности кодирует «правило знаков», необходимое для суперлинейной алгебры. Фактически это говорит о том, что знак минус выбирается всякий раз, когда два нечетных элемента меняются местами. Не нужно беспокоиться о знаках в категориальной установке, если указанный выше оператор используется там, где это уместно. ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$также является замкнутой моноидальной категорией с внутренним объектом Hom , заданным супервекторным пространством всех линейных отображений от до . Обычное множество — это четное подпространство в нем: ${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.}$

Замкнутость означает, что функтор левосопряжён к функтору при наличии естественной биекции ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$ ${\displaystyle -\otimes V}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W)).}$

Супералгебра

Супералгебру можно описать как супервекторное пространство с отображением умножения . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},}$

это гомоморфизм супервекторного пространства. Это эквивалентно требованию ^[5]

${\displaystyle |ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}}$

Ассоциативность и существование тождества могут быть выражены с помощью обычных коммутативных диаграмм, так что ассоциативная супералгебра с единицей над является моноидом в категории . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

Примечания

1. Варадараджан 2004, с. 83
2. Варадараджан 2004, с. 83
3. Варадараджан 2004, с. 83
4. Варадараджан 2004, с. 84
5. Варадараджан 2004, с. 87

Рекомендации

• Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)» . Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество . стр. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5– через ИАС .

• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение. Курант Конспект лекций по математике. Том. 11. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6.