скобка Пуассона

Операция в гамильтоновой механике

Симеон Дени Пуассон

В математике и классической механике скобка Пуассона является важной бинарной операцией в гамильтоновой механике , играющей центральную роль в уравнениях движения Гамильтона, которые управляют эволюцией во времени гамильтоновой динамической системы . Скобка Пуассона также различает определенный класс преобразований координат, называемых каноническими преобразованиями , которые отображают канонические системы координат в канонические системы координат. «Каноническая система координат» состоит из канонических переменных положения и импульса (ниже обозначенных как и , соответственно), которые удовлетворяют каноническим соотношениям скобки Пуассона. Набор возможных канонических преобразований всегда очень богат. Например, часто можно выбрать сам гамильтониан в качестве одной из новых канонических координат импульса. ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle H=H(q,p,t)}$

В более общем смысле скобка Пуассона используется для определения алгебры Пуассона , частным случаем которой является алгебра функций на пуассоновом многообразии . Существуют и другие общие примеры: она встречается в теории алгебр Ли , где тензорная алгебра алгебры Ли образует алгебру Пуассона; подробное построение того, как это происходит, дано в статье об универсальной обертывающей алгебре . Квантовые деформации универсальной обертывающей алгебры приводят к понятию квантовых групп .

Все эти объекты названы в честь Симеона Дени Пуассона . Он ввел скобку Пуассона в своем трактате по механике 1809 года. ^{[1] [2]}

Характеристики

При наличии двух функций f и g , зависящих от фазового пространства и времени, их скобка Пуассона является еще одной функцией, зависящей от фазового пространства и времени. Следующие правила справедливы для любых трех функций фазового пространства и времени: ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle f,\,g,\,h}$

Антикоммутативность

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

Билинейность

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

Правило Лейбница

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

тождество Якоби

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

Кроме того, если функция постоянна в фазовом пространстве (но может зависеть от времени), то для любого . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$ ${\displaystyle f}$

Определение в канонических координатах

В канонических координатах (также известных как координаты Дарбу ) на фазовом пространстве , если заданы две функции и , ^{[Примечание 1]} скобка Пуассона принимает вид ${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$ ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$ ${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$ $${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

Скобки Пуассона канонических координат имеют вид , где — символ Кронекера . $${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{k},q_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial q_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot 0-0\cdot \delta _{li}\right)=0,\\\{p_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial p_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(0\cdot \delta _{li}-\delta _{ki}\cdot 0\right)=0,\\\{q_{k},p_{l}\}&=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial q_{k}}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial q_{k}}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial p_{l}}{\partial q_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left(\delta _{ki}\cdot \delta _{li}-0\cdot 0\right)=\delta _{kl},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Уравнения движения Гамильтона

Уравнения движения Гамильтона имеют эквивалентное выражение в терминах скобки Пуассона. Это может быть наиболее непосредственно продемонстрировано в явной системе координат. Предположим, что является функцией на траектории-многообразии решения. Тогда из правила многомерной цепочки , ${\displaystyle f(p,q,t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

Далее, можно взять и в качестве решений уравнений Гамильтона ; то есть, Не удалось проанализировать (SVG (MathML можно включить через плагин для браузера): Недопустимый ответ («Расширение Math не может подключиться к Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle \begin{align} \frac{dq}{dt} &= \frac{\partial H}{\partial p} = \{q, H\}, \\ \frac{dp}{dt} &= -\frac{\partial H}{\partial q} = \{p, H\}. \end{align}} ${\displaystyle p=p(t)}$ ${\displaystyle q=q(t)}$

Затем $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Таким образом, временная эволюция функции на симплектическом многообразии может быть задана как однопараметрическое семейство симплектоморфизмов (т. е. канонических преобразований , диффеоморфизмов, сохраняющих площадь), где время является параметром: Гамильтоново движение является каноническим преобразованием, порожденным гамильтонианом. То есть, скобки Пуассона сохраняются в нем, так что любое время в решении уравнений Гамильтона может служить координатами скобок. Скобки Пуассона являются каноническими инвариантами . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),}$$

Сбрасываю координаты, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.}$$

Оператор в конвективной части производной, иногда называют лиувиллианом (см. теорему Лиувилля (гамильтониан) ). ${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}}$

Матрица Пуассона в канонических преобразованиях

Понятие скобок Пуассона можно расширить до понятия матриц, определив матрицу Пуассона.

Рассмотрим следующее каноническое преобразование: Определяя , матрица Пуассона определяется как , где — симплектическая матрица при тех же соглашениях, которые используются для упорядочения набора координат. Из определения следует, что: $${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$ ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

Матрица Пуассона удовлетворяет следующим известным свойствам: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

где известна как матрица Лагранжа и элементы которой соответствуют скобкам Лагранжа . Последнее тождество можно также сформулировать следующим образом: Обратите внимание, что суммирование здесь включает обобщенные координаты, а также обобщенный импульс. ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$

Инвариантность скобки Пуассона можно выразить как: , что напрямую приводит к симплектическому условию: . ^[3] ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$ ${\textstyle MJM^{T}=J}$

Константы движения

Интегрируемая система будет иметь константы движения в дополнение к энергии. Такие константы движения будут коммутировать с гамильтонианом под скобкой Пуассона. Предположим, что некоторая функция является константой движения. Это подразумевает, что если является траекторией или решением уравнений движения Гамильтона , то вдоль этой траектории. Затем , где, как и выше, следует промежуточный шаг путем применения уравнений движения, и мы предполагаем, что явно не зависит от времени. Это уравнение известно как уравнение Лиувилля . Содержание теоремы Лиувилля заключается в том, что временная эволюция меры, заданной функцией распределения, задается приведенным выше уравнением. ${\displaystyle f(p,q)}$ ${\displaystyle p(t),q(t)}$ $${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$ $${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Если скобка Пуассона и обращается в нуль ( ), то и называются находящимися в инволюции . Для того чтобы гамильтонова система была полностью интегрируемой , независимые константы движения должны находиться во взаимной инволюции , где — число степеней свободы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Более того, согласно теореме Пуассона , если две величины и явно не зависят от времени ( ) константы движения, то и их скобка Пуассона тоже независима от времени . Однако это не всегда дает полезный результат, поскольку число возможных констант движения ограничено ( для системы со степенями свободы), и поэтому результат может быть тривиальным (константа или функция от и .) ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$ ${\displaystyle \{A,\,B\}}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Скобка Пуассона на языке, свободном от координат

Пусть будет симплектическим многообразием , то есть многообразием, снабженным симплектической формой : 2-формой , которая является как замкнутой (то есть ее внешняя производная равна нулю), так и невырожденной . Например, в приведенном выше рассмотрении возьмем и возьмем ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ $${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\wedge dp_{i}.}$$

Если — внутреннее произведение или операция свертки, определяемая как , то невырожденность эквивалентна утверждению, что для каждой единичной формы существует уникальное векторное поле такое, что . В качестве альтернативы, . Тогда, если — гладкая функция на , гамильтоново векторное поле можно определить как . Легко видеть, что ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$ ${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$ ${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle \Omega _{dH}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

Скобка Пуассона на ( M , ω ) — это билинейная операция над дифференцируемыми функциями , определяемая соотношением ; скобка Пуассона двух функций на M сама является функцией на M . Скобка Пуассона антисимметрична, потому что: ${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$ ${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$ $${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

Более того,

Здесь X _g f обозначает векторное поле X _{g ,} примененное к функции f как производная по направлению, а обозначает (полностью эквивалентную) производную Ли функции f . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$

Если α — произвольная ун-форма на M , то векторное поле Ω _α порождает (по крайней мере локально) поток, удовлетворяющий граничному условию и дифференциальному уравнению первого порядка ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ ${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$ $${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

Будут симплектоморфизмами ( каноническими преобразованиями ) для каждого t как функции x тогда и только тогда, когда ; когда это верно, Ω _α называется симплектическим векторным полем . Вспоминая тождество Картана и d ω = 0 , следует, что . Следовательно, Ω _α является симплектическим векторным полем тогда и только тогда, когда α является замкнутой формой . Поскольку , следует, что каждое гамильтоново векторное поле X _f является симплектическим векторным полем, и что гамильтонов поток состоит из канонических преобразований. Из (1) выше, под гамильтоновым потоком X _H , ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$ ${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.}$$

Это фундаментальный результат в гамильтоновой механике, регулирующий эволюцию во времени функций, определенных на фазовом пространстве. Как отмечено выше, когда { f , H } = 0 , f является константой движения системы. Кроме того, в канонических координатах (с и ) уравнения Гамильтона для эволюции во времени системы немедленно следуют из этой формулы. ${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$ ${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$

Из (1) также следует , что скобка Пуассона является выводом ; то есть она удовлетворяет некоммутативной версии правила произведения Лейбница :

Скобка Пуассона тесно связана со скобкой Ли гамильтоновых векторных полей. Поскольку производная Ли является дифференцированием, $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

Таким образом, если v и w симплектические, то, используя , тождество Картана и тот факт, что является замкнутой формой, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0}$ ${\displaystyle \iota _{w}\omega }$ $${\displaystyle \iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).}$$

Из этого следует , что , так что ${\displaystyle [v,w]=X_{\omega (w,v)}}$

Таким образом, скобка Пуассона на функциях соответствует скобке Ли ассоциированных гамильтоновых векторных полей. Мы также показали, что скобка Ли двух симплектических векторных полей является гамильтоновым векторным полем и, следовательно, также является симплектическим. На языке абстрактной алгебры симплектические векторные поля образуют подалгебру алгебры Ли гладких векторных полей на M , а гамильтоновы векторные поля образуют идеал этой подалгебры. Симплектические векторные поля являются алгеброй Ли (бесконечномерной) группы Ли симплектоморфизмов M .

Широко утверждается, что тождество Якоби для скобки Пуассона следует из соответствующего тождества для скобки Ли векторных полей, но это верно только с точностью до локально постоянной функции. Однако для доказательства тождества Якоби для скобки Пуассона достаточно показать , что: где оператор на гладких функциях на M определяется как , а скобка в правой части является коммутатором операторов, . По (1) оператор равен оператору X _g . Доказательство тождества Якоби следует из (3), поскольку с точностью до множителя -1 скобка Ли векторных полей является просто их коммутатором как дифференциальных операторов. $${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$ $${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$ ${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$

Алгебра гладких функций на M вместе со скобкой Пуассона образует алгебру Пуассона , поскольку она является алгеброй Ли относительно скобки Пуассона, которая дополнительно удовлетворяет правилу Лейбница (2) . Мы показали, что каждое симплектическое многообразие является многообразием Пуассона , то есть многообразием с оператором «фигурных скобок» на гладких функциях таким, что гладкие функции образуют алгебру Пуассона. Однако не каждое многообразие Пуассона возникает таким образом, поскольку многообразия Пуассона допускают вырождение, которое не может возникнуть в симплектическом случае.

Результат по сопряженным импульсам

Дано гладкое векторное поле на конфигурационном пространстве, пусть будет его сопряженным импульсом . Отображение сопряженного импульса является антигомоморфизмом алгебры Ли из скобки Ли в скобку Пуассона: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{X}}$ $${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

Этот важный результат заслуживает краткого доказательства. Запишем векторное поле в точке в конфигурационном пространстве как , где — локальная система координат. Сопряженный импульс к имеет выражение, где — функции импульса, сопряженные с координатами. Тогда для точки в фазовом пространстве имеем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (q,p)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

Вышеизложенное справедливо для всех , что дает желаемый результат. ${\displaystyle (q,p)}$

Квантование

Скобки Пуассона деформируются в скобки Мойала при квантовании , то есть они обобщаются до другой алгебры Ли, алгебры Мойала , или, что эквивалентно в гильбертовом пространстве , квантовых коммутаторов . Сокращение группы Вигнера-Инёню этих алгебр (классический предел, ħ → 0 ) даёт указанную выше алгебру Ли.

Если выразить это более явно и точно, то универсальная обертывающая алгебра алгебры Гейзенберга — это алгебра Вейля (по модулю отношения, что центр — единица). Тогда произведение Мойала является частным случаем звездного произведения на алгебре символов. Явное определение алгебры символов и звездного произведения дано в статье об универсальной обертывающей алгебре .

Смотрите также

• Коммутатор
• скобка Дирака
• скобка Лагранжа
• Кронштейн Moyal
• скобка Пайерлса
• Фазовое пространство
• алгебра Пуассона
• Кольцо Пуассона
• Супералгебра Пуассона
• суперскобка Пуассона

Замечания

1. означает , что это функция независимых переменных: импульса, ; положения, ; и времени, ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},\,t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2N+1}$ ${\displaystyle p_{1\dots N}}$ ${\displaystyle q_{1\dots N}}$ ${\displaystyle t}$

Ссылки

1. С.Д. Пуассон (1809)
2. CM Марл (2009)
3. Giacaglia, Giorgio EO (1972). Методы возмущений в нелинейных системах . Прикладные математические науки. Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer. С. 8–9. ISBN 978-3-540-90054-2.

• Арнольд, Владимир И. (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1982). Механика . Курс теоретической физики . Т. 1 (3-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2896-9.
• Карасёв, Михаил В.; Маслов, Виктор П. (1993). Нелинейные скобки Пуассона, Геометрия и квантование . Переводы математических монографий. Том 119. Перевод Сосинского, Алексея; Шишковой, М.А. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0821887967. МР  1214142.
• Моретти, Вальтер (2023). Аналитическая механика, Классическая, Лагранжева и Гамильтонова механика, Теория устойчивости, Специальная теория относительности . UNITEXT. Том 150. Springer. ISBN 978-3-031-27612-5.
• Пуассон, Симеон-Дени (1809). «Мемуар о вариациях констант арбитража в вопросах механики» (PDF) . Журнал политехнической школы, журнал 15e . 8 : 266–344.
• Марль, Шарль-Мишель (2009). «Начало симплектической геометрии: работы Лагранжа и Пуассона в 1808–1810 годах». Письма в математическую физику . 90 : 3–21. arXiv : 0902.0685 . doi : 10.1007/s11005-009-0347-y.

Внешние ссылки

• «Скобки Пуассона», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн . "Скобка Пуассона". MathWorld .