Плотность упаковки или фракция упаковки в некотором пространстве — это доля пространства, заполненная фигурами, составляющими упаковку. Проще говоря, это отношение объема тел в пространстве к объему самого пространства. В задачах упаковки обычно ставится цель получить упаковку максимально возможной плотности.
Если K 1 ,..., K n — измеримые подмножества компактного мерного пространства X и их внутренности попарно не пересекаются, то набор [ K i ] является упаковкой в X и ее плотность упаковки равна
Если упаковываемое пространство бесконечно по мере, как, например, евклидово пространство , принято определять плотность как предел плотностей, проявляемых в шарах все большего и большего радиуса. Если B t — шар радиуса t с центром в начале координат, то плотность упаковки [ K i : i ∈ ] равна
Поскольку этот предел не всегда существует, также полезно определить верхнюю и нижнюю плотности как верхний и нижний предел вышеприведенных соответственно. Если плотность существует, верхняя и нижняя плотности равны. При условии, что любой шар евклидова пространства пересекает только конечное число элементов упаковки и что диаметры элементов ограничены сверху, (верхняя, нижняя) плотность не зависит от выбора начала координат, и μ ( K i ∩ B t ) можно заменить на μ ( K i ) для каждого элемента, который пересекает B t . [1] Шар также можно заменить расширениями некоторого другого выпуклого тела, но в общем случае полученные плотности не равны.
Часто интересуются упаковками, ограниченными использованием элементов определенного набора поставок. Например, набор поставок может быть набором всех шаров заданного радиуса. Оптимальная плотность упаковки или константа упаковки , связанная с набором поставок, является супремумом верхних плотностей, полученных упаковками, которые являются поднаборами набора поставок. Если набор поставок состоит из выпуклых тел ограниченного диаметра, существует упаковка, плотность упаковки которой равна константе упаковки, и эта константа упаковки не меняется, если шары в определении плотности заменяются расширениями некоторого другого выпуклого тела. [1]
Конкретный набор поставок, представляющий интерес, — это все евклидовы движения фиксированного выпуклого тела K. В этом случае мы называем константу упаковки константой упаковки K. Гипотеза Кеплера касается константы упаковки 3-шаров. Гипотеза упаковки Улама утверждает, что 3-шары имеют наименьшую константу упаковки любого выпуклого тела. Все переводы фиксированного тела также являются общим набором поставок, представляющим интерес, и он определяет трансляционную константу упаковки этого тела.
