Событие (теория вероятностей)

В статистике и теории вероятностей — набор результатов, которым присваивается вероятность.

В теории вероятностей событие — это набор результатов эксперимента ( подмножество выборочного пространства ), которому присвоена вероятность. ^[1] Один результат может быть элементом многих различных событий, ^[2] и различные события в эксперименте обычно не являются одинаково вероятными, поскольку они могут включать в себя очень разные группы результатов. [ 3 ^] Событие, состоящее только из одного результата, называется элементарным событием или атомарным событием ; то есть это одноэлементный набор . Событие, которое имеет более одного возможного результата, называется составным событием. Говорят, что событие происходит , если содержит результат эксперимента (или испытания) (то есть, если ). ^[4] Вероятность (относительно некоторой меры вероятности ) того, что событие происходит, — это вероятность, которая содержит результат эксперимента (то есть это вероятность того, что ). Событие определяет дополнительное событие , а именно дополнительный набор (событие не происходит), и вместе они определяют испытание Бернулли : произошло событие или нет? ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in S}$

Обычно, когда выборочное пространство конечно, любое подмножество выборочного пространства является событием (то есть все элементы множества мощности выборочного пространства определяются как события). ^[5] Однако этот подход не работает хорошо в случаях, когда выборочное пространство несчетно бесконечно . Таким образом, при определении вероятностного пространства возможно, а часто и необходимо, исключить определенные подмножества выборочного пространства из числа событий (см. § События в вероятностных пространствах ниже).

Простой пример

Если мы соберем колоду из 52 игральных карт без джокеров и вытащим одну карту из колоды, то пространство выборки будет набором из 52 элементов, поскольку каждая карта является возможным результатом. Однако событием является любое подмножество пространства выборки, включая любой синглтонный набор ( элементарное событие ), пустой набор (невозможное событие с вероятностью ноль) и само пространство выборки (определенное событие с вероятностью единица). Другие события являются собственными подмножествами пространства выборки, которые содержат несколько элементов. Так, например, потенциальные события включают в себя:

Диаграмма Эйлера события. — это выборочное пространство, а — событие. По отношению их площадей вероятность составляет приблизительно 0,4. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
${\displaystyle A}$

• «Красный и черный одновременно, не будучи шутником» (0 элементов),
• «Пятерка Червей» (1 элемент),
• «Король» (4 элемента),
• «Карточка с изображением лица» (12 элементов),
• «Пика» (13 элементов),
• «Карта с изображением лица или красная масть» (32 элемента),
• «Карточка» (52 элемента).

Поскольку все события являются множествами, они обычно записываются как множества (например, {1, 2, 3}) и представляются графически с помощью диаграмм Венна . В ситуации, когда каждый результат в пространстве выборки Ω одинаково вероятен, вероятность события следующая ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$формула : Это правило можно легко применить к каждому из приведенных выше примеров событий. $${\displaystyle \mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{alternatively:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)}$$

События в вероятностных пространствах

Определение всех подмножеств пространства выборки как событий хорошо работает, когда имеется только конечное число результатов, но приводит к проблемам, когда пространство выборки бесконечно. Для многих стандартных распределений вероятностей , таких как нормальное распределение , пространство выборки является множеством действительных чисел или некоторым подмножеством действительных чисел . Попытки определить вероятности для всех подмножеств действительных чисел сталкиваются с трудностями, когда рассматриваются «плохо ведущие себя» множества, такие как те, которые неизмеримы . Следовательно, необходимо ограничить внимание более ограниченным семейством подмножеств. Для работы стандартных инструментов теории вероятностей, таких как совместные и условные вероятности , необходимо использовать σ-алгебру , то есть семейство, замкнутое относительно дополнения и счетных объединений его членов. Наиболее естественным выбором σ-алгебры является измеримое по Борелю множество, полученное из объединений и пересечений интервалов. Однако на практике более широкий класс измеримых по Лебегу множеств оказывается более полезным.

В общем описании вероятностных пространств с точки зрения теории меры событие может быть определено как элемент выбранной 𝜎-алгебры подмножеств пространства выборки. Согласно этому определению, любое подмножество пространства выборки, которое не является элементом 𝜎-алгебры, не является событием и не имеет вероятности. Однако при разумной спецификации вероятностного пространства все интересующие нас события являются элементами 𝜎-алгебры.

Примечание по нотации

Несмотря на то, что события являются подмножествами некоторого выборочного пространства , они часто записываются как предикаты или индикаторы, включающие случайные величины . Например, если — это вещественная случайная величина, определенная на выборочном пространстве, событие может быть записано более удобно как, просто, Это особенно часто встречается в формулах для вероятности , таких как Множество является примером обратного образа при отображении, потому что тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ $${\displaystyle \{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,}$$ $${\displaystyle u<X\leq v\,.}$$ $${\displaystyle \Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.}$$ ${\displaystyle u<X\leq v}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \in X^{-1}((u,v])}$ ${\displaystyle u<X(\omega )\leq v.}$

Смотрите также

• Атом (теория меры)  – измеримое множество с положительной мерой, которое не содержит подмножества меньшей положительной меры.
• Дополнительное событие  – Противоположность вероятностному событию
• Элементарное событие  – событие, которое содержит только один результат.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Независимое событие  – когда возникновение одного события не влияет на вероятность другого.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Результат (вероятность)  – Возможный результат эксперимента или испытания.
• Попарно независимые события  – множество случайных величин, из которых любые две независимы.

Примечания

1. Леон-Гарсия, Альберто (2008). Вероятность, статистика и случайные процессы в электротехнике. Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 9780131471221.
2. Пфайффер, Пол Э. (1978). Концепции теории вероятностей. Dover Publications. стр. 18. ISBN 978-0-486-63677-1.
3. Foerster, Paul A. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, издание для учителя (классическое издание). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . стр. 634. ISBN 0-13-165711-9.
4. Деккинг, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хендрик Пауль; Людольф Эрвин, Мистер (2005). Деккинг, Мишель (ред.). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как. Тексты Спрингера в статистике. Лондон [Гейдельберг]: Springer. п. 14. ISBN 978-1-85233-896-1.
5. Ширяев, Альберт Н. (2016). Вероятность-1 . Выпускные тексты по математике. Перевод Боаса, Ральфа Филиппа; Чибисова, Дмитрия (3-е изд.). Нью-Йорк Гейдельберг Дордрехт Лондон: Springer. ISBN 978-0-387-72205-4.

Внешние ссылки

• «Случайное событие», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Формальное определение в системе Мицара .