Уникальная область факторизации

В математике уникальная область факторизации ( UFD ) (также иногда называемая факториальным кольцом, следуя терминологии Бурбаки ) — это кольцо , в котором выполняется утверждение, аналогичное фундаментальной теореме арифметики . В частности, UFD — это область целостности ( нетривиальное коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю), в котором каждый ненулевой неединичный элемент может быть записан как произведение неприводимых элементов , однозначно до заказа и единиц.

Важными примерами UFD являются целые числа и кольца полиномов от одной или нескольких переменных с коэффициентами, полученными из целых чисел или из поля .

Уникальные домены факторизации появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

Формально, уникальная область факторизации определяется как целая область R , в которой каждый ненулевой элемент x из R может быть записан как произведение единицы u и нуля или более неприводимых элементов p _i из R :

Икс знак равно ты п ₁ п ₂ ⋅⋅⋅ п _п с п ≥ 0

и это представление единственно в следующем смысле: если q ₁ , ..., q _m — неприводимые элементы R и w — такая единица, что

Икс знак равно ш q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _м с m ≥ 0 ,

тогда m = n , и существует биективное отображение φ : {1, ..., n } → { 1, ..., m } такое, что p _i ассоциирован с q _φ₍_i₎ для i ∈ {1, ..., н } .

Примеры

Большинство колец, знакомых из элементарной математики, представляют собой UFD:

Все области главных идеалов , а следовательно, и все евклидовы области , являются UFD. В частности, целые числа (см. также «Основную теорему арифметики »), гауссовы целые числа и целые числа Эйзенштейна являются UFD.
Если R — UFD, то таковым является и R [ X ], кольцо многочленов с коэффициентами из R. Если R не является полем, R [ X ] не является областью главного идеала. По индукции кольцо многочленов от любого числа переменных над любым УФД (и, в частности, по полю или над целыми числами) является УФД.
Кольцо формальных степенных рядов K [ [ X ₁ , ..., X _n ]] над полем K (или, в более общем смысле, над регулярным UFD, таким как PID), является UFD. С другой стороны, формальное кольцо степенных рядов над UFD не обязательно должно быть UFD, даже если UFD является локальным . Например, если R — локализация k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) в простом идеале ( x , y , z ) , то R — локальное кольцо, которое является UFD, но кольцо формальных степенных рядов R [[ X ]] над R не является UFD.
Теорема Ауслендера –Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо является UFD.
$\mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]$ является УФД для всех целых чисел 1 ≤ n ≤ 22 , но не для n = 23 .
Мори показал, что если пополнение кольца Зарисского , такого как нетерово локальное кольцо , является UFD, то кольцо является UFD. ^[1] Обратное неверно: существуют нетеровы локальные кольца, которые являются UFD, но пополнения которых таковыми не являются. Вопрос о том, когда это произойдет, довольно тонкий: например, для локализации k [ x , y , z ] / ( x ² + y ³ + z ⁵ ) в простом идеале ( x , y , z ) как локальное кольцо и его пополнение являются УФД, но в очевидно похожем примере локализации k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) в простом идеале ( x , y , z ) локальное кольцо кольцо является UFD, но его завершение - нет.
Пусть — поле с любой характеристикой, отличной от 2. Кляйн и Нагата показали, что кольцо R [ X ₁ , ..., X _n ]/ Q является UFD, если Q — неособая квадратичная форма в X s и n находится в точке минимум 5. Когда n = 4 , кольцо не обязательно должно быть UFD. Например, R [ X , Y , Z , W ]/( XY − ZW ) не является UFD, поскольку элемент XY равен элементу ZW, так что XY и ZW представляют собой две разные факторизации одного и того же элемента в неприводимые. $R$
Кольцо Q [ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) является УФД, а кольцо Q ( i )[ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) — нет. С другой стороны, кольцо Q [ x , y ]/( x ² + y ² − 1) не является UFD, а кольцо Q ( i )[ x , y ]/( x ² + y ² − 1) является. ^[2] Аналогично координатное кольцо R [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) двумерной вещественной сферы является УФД, а координатное кольцо C [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) комплексной сферы не является.
Предположим, что переменным X _i заданы веса w _i , а F ( X ₁ , ..., X _n ) является однородным полиномом веса w . Тогда, если c взаимно просто с w и R является UFD и либо каждый конечно порожденный проективный модуль над R свободен, либо c равен 1 по модулю w , кольцо R [ X ₁ , ..., X _n , Z ]/( Z ^c − F ( X ₁ , ..., X _n )) является УФО. ^[3]

Непримеры

Кольцо квадратичных целых чисел всех комплексных чисел вида , где a и b — целые числа, не является UFD, поскольку 6 факторизуется как 2×3, так и как . Это действительно разные факторизации, потому что единственные единицы в этом кольце — 1 и −1; таким образом, ни один из 2, 3, и не является ассоциированным . Нетрудно показать, что все четыре фактора также являются нередуцируемыми, хотя это может быть и неочевидно. ^[4] См. также Алгебраическое целое число . $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ $a+b{\sqrt {-5}}$ $\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)$ $1+{\sqrt {-5}}$ $1-{\sqrt {-5}}$
Для положительного целого числа d без квадратов кольцо целых чисел не будет UFD, если d не является числом Хегнера . $\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$
Кольцо формальных степенных рядов по комплексным числам является УФД, но подкольцо тех , которые сходятся всюду, то есть кольцо целых функций от одной комплексной переменной, не является УФД, поскольку существуют целые функции с бесконечностью. нулей и, следовательно, бесконечности неприводимых факторов, в то время как факторизация UFD должна быть конечной, например:
$\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right).$

Характеристики

Некоторые концепции, определенные для целых чисел, можно распространить на UFD:

В УФД каждый неприводимый элемент является простым . (В любой области целостности каждый простой элемент неприводим, но обратное не всегда верно. Например, элемент z ∈ K [ x , y , z ]/( z ² − xy ) неприводимый, но не простой.) Обратите внимание, что это имеет частичное обратное: область, удовлетворяющая ACCP, является UFD тогда и только тогда, когда каждый неприводимый элемент является простым.
Любые два элемента УФД имеют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное . Здесь наибольший общий делитель a и b — это элемент d , который делит и a , и b , и такой, что любой другой общий делитель a и b делит d . Все наибольшие общие делители чисел a и b связаны .
Любой УФД является целостно закрытым . Другими словами, если R — UFD с полем частных K , и если элемент k в K является корнем монического многочлена с коэффициентами из R , то k — элемент R.
Пусть S — мультипликативно замкнутое подмножество УФД A . Тогда локализация S ⁻¹A является УФД. Частичное обратное этому также справедливо; см. ниже.

Эквивалентные условия, при которых кольцо может быть UFD

Нётерова область целостности является UFD тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным (доказательство приведено в конце). Кроме того, дедекиндова область является UFD тогда и только тогда, когда ее идеальная группа классов тривиальна. В данном случае это фактически область главного идеала .

В общем случае для области целостности A следующие условия эквивалентны:

А — УФО.
Каждый ненулевой простой идеал A содержит простой элемент . ^[5]
A удовлетворяет условию возрастающей цепи на главных идеалах (ACCP), а локализация S ⁻¹A является UFD, где S — мультипликативно замкнутое подмножество A, порожденное простыми элементами. (критерий Нагаты)
A удовлетворяет ACCP , и каждая неприводимая является простой .
А атомарно , и все неприводимые числа просты .
A — домен GCD, удовлетворяющий ACCP .
A — область Шрейера , ^[6] и атомарная .
A — это домен Шрейера и атомарный .
A имеет теорию дивизоров, в которой каждый дивизор является главным.
A — область Крулля , в которой каждый дивизориальный идеал является главным (фактически это определение UFD у Бурбаки).
A — область Крулля, и каждый простой идеал высоты 1 является главным. ^[7]

На практике условия (2) и (3) являются наиболее полезными для проверки. Например, из (2) сразу следует, что PID является UFD, поскольку каждый простой идеал порождается простым элементом в PID.

В качестве другого примера рассмотрим нётерову область целостности, в которой каждый простой идеал высоты один является главным. Поскольку каждый простой идеал имеет конечную высоту, он содержит простой идеал высоты один (индукция по высоте), который является главным. Согласно (2) кольцо является УФД.

Смотрите также

Цитаты

^ Бурбаки (1972), 7.3, № 6, Предложение 4.
^ Самуэль (1964), с. 35
^ Самуэль (1964), с. 31
^ Артин (2011), с. 360
^ Капланский
^ Область Шрайера — это целозамкнутая область целостности, где всякий раз, когда x делит yz , x можно записать как x = x ₁ x ₂ , так что x ₁ делит y , а x ₂ делит z . В частности, домен GCD является доменом Шрайера.
^ Бурбаки (1972), 7.3, № 2, Теорема 1.