одометр Маркова

В математике одометр Маркова — это определенный тип топологической динамической системы . Он играет фундаментальную роль в эргодической теории и особенно в теории орбит динамических систем , поскольку теорема Х. Дая утверждает, что каждое эргодическое несингулярное преобразование орбитально эквивалентно одометру Маркова. ^[1]

Базовым примером такой системы является «несингулярный одометр», представляющий собой аддитивную топологическую группу, определенную на пространстве произведений дискретных пространств , индуцированную сложением, определяемым как , где . Эта группа может быть наделена структурой динамической системы ; результатом является консервативная динамическая система . ${\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$

Общая форма, которая называется «марковский одометр», может быть построена с помощью диаграммы Браттели–Вершика для определения компактного пространства Браттели–Вершика вместе с соответствующим преобразованием.

Несингулярные одометры

Можно определить несколько видов невырожденных одометров. ^[2] Иногда их называют арифмометрами . ^[3] Простейший из них иллюстрируется процессом Бернулли . Это множество всех бесконечных строк в двух символах, здесь обозначенных как , снабженных топологией произведения . Это определение естественным образом распространяется на более общий одометр, определенный на пространстве произведений . ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)}$

для некоторой последовательности целых чисел с каждым ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle k_{n}\geq 2.}$

Одометр для всех называется двоичным одометром , суммирующей машиной фон Неймана–Какутани или двоичной суммирующей машиной . ${\displaystyle k_{n}=2}$ ${\displaystyle n}$

Топологическая энтропия каждой счетной машины равна нулю. ^[3] Любое непрерывное отображение интервала с топологической энтропией, равной нулю, топологически сопряжено счетной машине, если ограничить ее действие на топологически инвариантном транзитивном множестве, при этом периодические орбиты удалены. ^[3]

Двойной одометр

Двоичный одометр, визуализированный как преобразование обмена интервалами с отображением ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}.}$

Двойной одометр, повторяющийся дважды; то есть ${\displaystyle T^{2}.}$

Двоичный одометр, повторяющийся трижды; то есть ${\displaystyle T^{3}.}$

Двоичный одометр, повторяемый четыре раза; то есть ${\displaystyle T^{4}.}$

Множество всех бесконечных строк в строках в двух символах имеет естественную топологию, топологию произведения , порожденную наборами цилиндров . Топология произведения распространяется на сигма-алгебру Бореля ; обозначим эту алгебру . Отдельные точки обозначаются как ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).}$

Процесс Бернулли традиционно наделяется набором мер , мерами Бернулли, заданными как и , для некоторых независимых от . Значение является довольно специальным; оно соответствует особому случаю меры Хаара , когда рассматривается как компактная абелева группа . Обратите внимание, что мера Бернулли не совпадает с 2-адической мерой на двоичных целых числах ! Формально можно заметить, что также является базовым пространством для двоичных целых чисел; однако двоичные целые числа наделены метрикой , p-адической метрикой, которая индуцирует метрическую топологию, отличную от топологии произведения, используемой здесь. ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=1)=p}$ ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=0)=1-p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=1/2}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Пространство может быть снабжено сложением, определяемым как сложение координат, с битом переноса. То есть, для каждой координаты, пусть где и ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}}$

индуктивно. Приращение на единицу тогда называется (двоичным) одометром . Это преобразование задается выражением , где . Он называется одометром из-за того, как он выглядит, когда «переворачивается»: это преобразование . Обратите внимание, что и что является -измеримым, то есть для всех ${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle T(x)=x+{\underline {1}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)}$ ${\displaystyle T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.}$

Преобразование невырождено для любого . Напомним , что измеримое преобразование невырождено, когда, учитывая , имеем, что тогда и только тогда, когда . В этом случае находим ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$ ${\displaystyle \tau :\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$

${\displaystyle {\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }}$

где . Следовательно, невырождена относительно . ${\displaystyle \varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$

Преобразование является эргодическим . Это следует из того, что для любого и натурального числа орбита под является множеством . Это, в свою очередь, подразумевает, что является консервативным , поскольку каждое обратимое эргодическое несингулярное преобразование в неатомном пространстве является консервативным. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$ ${\displaystyle T}$

Обратите внимание , что для частного случая это динамическая система, сохраняющая меру . ${\displaystyle p=1/2}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)}$

Целочисленные одометры

Та же конструкция позволяет определить такую ​​систему для любого произведения дискретных пространств . В общем случае записывается

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

для с целым числом. Топология произведения естественным образом расширяется до сигма-алгебры Бореля произведения на . Мера произведения на традиционно определяется как заданная некоторая мера на . Соответствующее отображение определяется как ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\dots ,m_{n}-1\}}$ ${\displaystyle m_{n}\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n},}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle T(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots ,0,x_{k}+1,x_{k+1},x_{k+2},\dots )}$

где — наименьший индекс, для которого . Это снова топологическая группа. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq m_{k}-1}$

Частным случаем этого является одометр Орнштейна , который определяется на пространстве

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

с мерой продукта

${\displaystyle \mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{cases}}}$

Модель песчаной кучи

Концепция, тесно связанная с консервативным одометром, — это модель абелевой песчаной кучи . Эта модель заменяет направленную линейную последовательность конечных групп, построенную выше, неориентированным графом вершин и ребер. В каждой вершине размещается конечная группа со степенью вершины . Функции перехода определяются лапласианом графа . То есть, можно увеличить любую заданную вершину на единицу; при увеличении наибольшего элемента группы (так, чтобы он увеличился обратно до нуля) каждая из соседних вершин увеличивается на единицу. ${\displaystyle (V,E)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=deg(v)}$ ${\displaystyle v}$

Модели песчаных куч отличаются от приведенного выше определения консервативного одометра тремя различными способами. Во-первых, в общем случае нет уникальной вершины, выделенной в качестве начальной вершины, тогда как в приведенном выше примере первая вершина является начальной; это та, которая увеличивается функцией перехода. Далее, модели песчаных куч в общем случае используют ненаправленные ребра, так что обертывание одометра перераспределяется во всех направлениях. Третье отличие заключается в том, что модели песчаных куч обычно не берутся на бесконечном графе, а скорее выделяется одна особая вершина, «сток», которая поглощает все приращения и никогда не обертывается. Сток эквивалентен отсечению бесконечных частей бесконечного графа и замене их стоком; поочередно, как игнорирование всех изменений после этой конечной точки.

одометр Маркова

Пусть — упорядоченная диаграмма Браттели–Вершика , состоящая из множества вершин вида (непересекающееся объединение), где — синглтон, и множества ребер (непересекающееся объединение). ${\displaystyle B=(V,E)}$ ${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

Диаграмма включает исходные сюръективные отображения и диапазонные сюръективные отображения . Мы предполагаем, что сравнимы тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}}$ ${\displaystyle r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}}$ ${\displaystyle e,e'\in E^{(n)}}$ ${\displaystyle r_{n}(e)=r_{n}(e')}$

Для такой диаграммы мы рассматриваем пространство произведений, снабженное топологией произведения . Определим «компакт Браттели–Вершика» как подпространство бесконечных путей, ${\displaystyle \textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

${\displaystyle X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ and }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}}$

Предположим, что существует только один бесконечный путь, для которого каждый является максимальным и аналогично один бесконечный путь . Определим «отображение Браттели-Вершика» как и, для любого определяем , где — первый индекс, для которого не является максимальным и соответственно пусть — единственный путь, для которого все являются максимальными и является последователем . Тогда — гомеоморфизм . ${\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ ${\displaystyle T_{B}:X_{B}\to X_{B}}$ ${\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }}$ ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$ ${\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k-1}}$ ${\displaystyle y_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle X_{B}}$

Пусть будет последовательностью стохастических матриц, такой что тогда и только тогда, когда . Определим «марковскую меру» на цилиндрах с помощью . Тогда система называется «марковским одометром». ${\displaystyle P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)}$ ${\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)}$ ${\displaystyle p_{v,e}^{(n)}>0}$ ${\displaystyle v=s_{n}(e)}$ ${\displaystyle X_{B}}$ ${\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}$ ${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}$

Можно показать, что невырожденный одометр является марковским одометром, в котором все являются синглтонами. ${\displaystyle V^{(n)}}$

Смотрите также

• Модель абелевой песчаной кучи

Ссылки

1. Дули, AH; Хамачи, T. (2003). «Несингулярные динамические системы, диаграммы Браттели и одометры Маркова». Israel Journal of Mathematics . 138 : 93–123. doi : 10.1007/BF02783421 .
2. Даниленко, Александр И.; Сильва, Сезар Э. (2011). «Эргодическая теория: несингулярные преобразования». В Meyers, Роберт А. (ред.). Математика сложности и динамические системы . Springer. arXiv : 0803.2424 . doi : 10.1007/978-1-4614-1806-1_22 .
3. Николь, Мэтью; Петерсен, Карл (2009). "Эргодическая теория: основные примеры и конструкции" (PDF) . Энциклопедия сложности и системной науки . Springer. doi :10.1007/978-0-387-30440-3_177. ISBN 978-0-387-30440-3.

Дальнейшее чтение

• Ааронсон, Дж. (1997). Введение в бесконечную эргодическую теорию . Математические обзоры и монографии. Том 50. Американское математическое общество . С. 25–32. ISBN 9781470412814.
• Dooley, Anthony H. (2003). "Markov odometers". В Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (ред.). Topics in dynamics and ergodic theory. Обзорные доклады и мини-курсы, представленные на международной конференции и американо-украинском семинаре по динамическим системам и эргодической теории, Кацивели, Украина, 21–30 августа 2000 г. Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. Vol. 310. Cambridge: Cambridge University Press . pp. 60–80. ISBN 0-521-53365-1. Збл  1063.37005.