Комплект цилиндров

В математике цилиндрические множества образуют основу топологии произведения множеств; они также являются порождающим семейством цилиндрической σ-алгебры .

Общее определение

Для данной коллекции множеств рассмотрим декартово произведение всех множеств в коллекции. Каноническая проекция, соответствующая некоторому, — это функция , которая отображает каждый элемент произведения в его компонент. Цилиндрическое множество — это прообраз канонической проекции или конечное пересечение таких прообразов. Явно, это множество вида, для любого выбора , конечная последовательность множеств и подмножеств для . ${\displaystyle S}$ ${\textstyle X=\prod _{Y\in S}Y}$ ${\displaystyle Y\in S}$ ${\displaystyle p_{Y}:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(A_{i}\right)=\left\{\left(x\right)\in X\mid p_{Y_{1}}(x)\in A_{1},\dots ,p_{Y_{n}}(x)\in A_{n}\right\}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y_{1},...Y_{n}\in S}$ ${\displaystyle A_{i}\subseteq Y_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Тогда, когда все множества в являются топологическими пространствами , топология произведения генерируется цилиндрическими множествами, соответствующими открытым множествам компонентов. То есть цилиндрами вида , где для каждого , открыто в . Таким же образом, в случае измеримых пространств, цилиндрическая σ-алгебра является той, которая генерируется цилиндрическими множествами, соответствующими измеримым множествам компонентов. ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}p_{Y_{i}}^{-1}\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$

Ограничение, что набор цилиндров является пересечением конечного числа открытых цилиндров, важно; разрешение бесконечных пересечений обычно приводит к более тонкой топологии. В последнем случае результирующая топология — это топология ящика ; наборы цилиндров никогда не являются кубами Гильберта .

Цилиндрические наборы в произведениях дискретных наборов

Пусть будет конечным множеством, содержащим n объектов или букв . Совокупность всех двусторонних строк в этих буквах обозначается как ${\displaystyle S=\{1,2,\ldots ,n\}}$ $${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }=\{x=(\ldots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\ldots ):x_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}.}$$

Естественная топология на — это дискретная топология . Базовые открытые множества в дискретной топологии состоят из отдельных букв; таким образом, открытые цилиндры топологии произведения на — это ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$ $${\displaystyle C_{t}[a]=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a\}.}$$

Пересечения конечного числа открытых цилиндров являются множествами цилиндров. $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{t}[a_{0},\ldots ,a_{m}]&=C_{t}[a_{0}]\,\cap \,C_{t+1}[a_{1}]\,\cap \cdots \cap \,C_{t+m}[a_{m}]\\&=\{x\in S^{\mathbb {Z} }:x_{t}=a_{0},\ldots ,x_{t+m}=a_{m}\}\end{aligned}}.}$$

Цилиндрические множества являются замкнуто-открытыми множествами . Как элементы топологии, цилиндрические множества по определению являются открытыми множествами. Дополнение открытого множества является замкнутым множеством, но дополнение цилиндрического множества является объединением цилиндров , и поэтому цилиндрические множества также являются замкнутыми, и, таким образом, являются замкнуто-открытыми.

Определение векторных пространств

При наличии конечного или бесконечномерного векторного пространства над полем K (например, действительных или комплексных чисел ), цилиндрические множества могут быть определены как , где — борелевское множество в , и каждое из них является линейным функционалом на ; то есть , алгебраическое сопряженное пространство к . При работе с топологическими векторными пространствами определение дается вместо элементов , непрерывного сопряженного пространства . То есть функционалы считаются непрерывными линейными функционалами. ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle C_{A}[f_{1},\ldots ,f_{n}]=\{x\in V:(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x))\in A\}}$$ ${\displaystyle A\subset K^{n}}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{j}\in (V^{*})^{\otimes n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{j}\in (V')^{\otimes n}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Приложения

Цилиндрические множества часто используются для определения топологии множеств, которые являются подмножествами и часто встречаются при изучении символической динамики ; см., например, подсдвиг конечного типа . Цилиндрические множества часто используются для определения меры с использованием теоремы Колмогорова о расширении ; например, мера цилиндрического множества длины m может быть задана как 1/ m или как 1/2 ^m . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Наборы цилиндров можно использовать для определения метрики пространства : например, говорят, что две строки ε-близки , если доля букв в строках, равная 1−ε, совпадает.

Поскольку строки в можно считать p -адическими числами , часть теории p -адических чисел можно применить к цилиндрическим множествам, и в частности, определение p -адических мер и p -адических метрик применимо к цилиндрическим множествам. Эти типы пространств мер появляются в теории динамических систем и называются несингулярными одометрами . Обобщением этих систем является одометр Маркова . ${\displaystyle S^{\mathbb {Z} }}$

Цилиндрические множества над топологическими векторными пространствами являются основным компонентом ^{[ требуется ссылка ]} определения абстрактных пространств Винера , которые обеспечивают формальное определение интеграла Фейнмана по траекториям или функционального интеграла квантовой теории поля , а также статистической суммы статистической механики .

Смотрите также

• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Измерение набора цилиндров  – способ создания измерения по пространствам продуктаPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Цилиндрическая σ-алгебра
• Проекция (теория множеств)  – один из двух тесно связанных типов функций или операций в теории множеств.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ультрапродукт  – Математическая конструкция

Ссылки

• RA Minlos (2001) [1994], "Цилиндрический набор", Энциклопедия математики , EMS Press