Ожидаемое значение (квантовая механика)

Ожидаемое значение квантового измерения

В квантовой механике ожидаемое значение — это вероятностное ожидаемое значение результата (измерения) эксперимента. Его можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенных по их правдоподобию, и как таковое оно не является наиболее вероятным значением измерения; на самом деле ожидаемое значение может иметь нулевую вероятность появления (например, измерения, которые могут давать только целые значения, могут иметь нецелое среднее значение). Это фундаментальное понятие во всех областях квантовой физики .

Оперативное определение

Рассмотрим оператор . Тогда ожидаемое значение находится в нотации Дирака с нормализованным вектором состояния. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Формализм в квантовой механике

В квантовой теории экспериментальная установка описывается наблюдаемой величиной , которая должна быть измерена, и состоянием системы. Ожидаемое значение в состоянии обозначается как . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$

Математически, является самосопряженным оператором в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве . В наиболее часто используемом случае в квантовой механике является чистым состоянием , описываемым нормализованным вектором ^[a] в гильбертовом пространстве. Ожидаемое значение в состоянии определяется как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$

Если рассматривается динамика , то либо вектор , либо оператор считаются зависящими от времени, в зависимости от того, используется ли картина Шредингера или картина Гейзенберга . Однако эволюция ожидаемого значения не зависит от этого выбора. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Если имеет полный набор собственных векторов с собственными значениями , то ( 1 ) можно выразить как ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{j}}$ ${\displaystyle a_{j}}$

Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: Собственные значения являются возможными результатами эксперимента, ^[b] , а их соответствующий коэффициент является вероятностью того, что этот результат произойдет; его часто называют вероятностью перехода . ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}$

Особенно простой случай возникает, когда является проекцией , и, таким образом, имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует типу эксперимента "да-нет". В этом случае ожидаемое значение является вероятностью того, что эксперимент даст результат "1", и его можно вычислить как ${\displaystyle A}$

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, например, оператор положения в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр с собственными значениями и собственными векторами, зависящими от непрерывного параметра, . В частности, оператор действует на пространственный вектор как . ^[2] В этом случае вектор может быть записан как комплекснозначная функция на спектре (обычно вещественной прямой). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния на собственные значения оператора, как в дискретном случае . Бывает, что собственные векторы оператора положения образуют полный базис для векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются соотношению полноты в квантовой механике: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$ $${\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }$$

Вышеизложенное можно использовать для вывода общего интегрального выражения для ожидаемого значения ( 4 ), вставляя тождества в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширяя его по позиционному базису:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}}$

Где отношение ортонормированности базисных векторов положения , сводит двойной интеграл к одинарному интегралу. Последняя строка использует модуль комплекснозначной функции для замены на , что является обычной заменой в квантово-механических интегралах. ${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Тогда ожидаемое значение может быть выражено, где x не ограничен, в виде формулы

Аналогичная формула справедлива для оператора импульса в системах, где он имеет непрерывный спектр.

Все приведенные выше формулы справедливы только для чистых состояний. В частности, в термодинамике и квантовой оптике важны также смешанные состояния ; они описываются положительным оператором следового класса , статистическим оператором или матрицей плотности . Тогда ожидаемое значение можно получить как ${\displaystyle \sigma }$ ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

Общая формулировка

В общем случае квантовые состояния описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, математически часто принимаемом за C*-алгебру . Тогда ожидаемое значение наблюдаемой задается как ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо на гильбертовом пространстве , и если является нормальным функционалом , то есть непрерывным в сверхслабой топологии , то ее можно записать как с положительным оператором следового класса следа 1. Это дает формулу ( 5 ) выше. В случае чистого состояния является проекцией на единичный вектор . Тогда , что дает формулу ( 1 ) выше. ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }$

${\displaystyle A}$предполагается, что это самосопряженный оператор. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно записать в спектральном разложении , с проекционно-значной мерой . Для ожидаемого значения в чистом состоянии это означает , что можно рассматривать как общее обобщение формул ( 2 ) и ( 4 ) выше. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\int a\,dP(a)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }$ $${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}$$

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (квантовая механика, в строгом смысле) рассматриваемые состояния, как правило, являются нормальными ^{[ необходимо разъяснение ]} . Однако в других областях квантовой теории используются и ненормальные состояния: они появляются, например, в виде состояний КМС в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред ^[3] и как заряженные состояния в квантовой теории поля ^[4] . В этих случаях математическое ожидание определяется только более общей формулой ( 6 ).

Пример в пространстве конфигураций

В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении конфигурационного пространства . Здесь гильбертово пространство — это , пространство квадратично-интегрируемых функций на действительной прямой. Векторы представлены функциями , называемыми волновыми функциями . Скалярное произведение задается как . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей: ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$

${\displaystyle \rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}$

дает вероятность нахождения частицы в бесконечно малом интервале длины около некоторой точки . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle x}$

В качестве наблюдаемой рассмотрим оператор положения , который действует на волновые функции следующим образом: ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}$$

Ожидаемое значение или среднее значение измерений, выполненных на очень большом количестве идентичных независимых систем, будет определяться выражением ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}$$

Ожидаемое значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не относится ко всем векторам . Это происходит потому, что оператор положения не ограничен и должен выбираться из области определения . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

В общем случае ожидание любой наблюдаемой величины можно вычислить, заменив ее соответствующим оператором. Например, для вычисления среднего импульса используется оператор импульса в конфигурационном пространстве , . Явно его ожидание равно ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}$

Не все операторы в целом обеспечивают измеримое значение. Оператор, который имеет чистое действительное математическое ожидание, называется наблюдаемым , и его значение может быть непосредственно измерено в эксперименте.

Смотрите также

• Коэффициент Рэлея
• Принцип неопределенности
• Теорема вириала

Примечания

1. В этой статье всегда предполагается норма 1. Для ненормализованных векторов необходимо заменить на во всех формулах. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi /\|\psi \|}$
2. Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

Ссылки

1. Вероятность, ожидаемое значение и неопределенность
2. Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2. Диу, Бернар, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островский, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC  1159410161.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
3. Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1. Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.
4. Хааг, Рудольф (1996). Локальная квантовая физика . Springer. стр. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6.

Дальнейшее чтение

Математическое ожидание, в частности представленное в разделе «Формализм в квантовой механике», рассматривается в большинстве элементарных учебников по квантовой механике.

Для обсуждения концептуальных аспектов см.:

• Ишем, Крис Дж. (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.