Оператор задержки

Оператор смещения элементов временного ряда

При анализе временных рядов оператор задержки (L) или оператор обратного сдвига (B) воздействует на элемент временного ряда для создания предыдущего элемента. Например, учитывая некоторый временной ряд

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

затем

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$для всех ${\displaystyle t>1}$

или аналогично в терминах оператора обратного сдвига B : for all . Эквивалентно это определение можно представить как ${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$ ${\displaystyle t>1}$

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$для всех ${\displaystyle t\geq 1}$

Оператор задержки (а также оператор обратного сдвига) можно возвести в произвольную целочисленную степень, так что

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

и

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{t-k}.}$

Полиномы с запаздыванием

Можно использовать полиномы оператора запаздывания, и это обычное обозначение для моделей ARMA (авторегрессионное скользящее среднее). Например,

${\displaystyle \varepsilon _{t}=X_{t}-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}}$

задает модель AR( p ).

Полином операторов запаздывания называется полиномом запаздывания , поэтому, например, модель ARMA может быть кратко определена как

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

где и соответственно представляют собой полиномы с запаздыванием ${\displaystyle \varphi (L)}$ ${\displaystyle \theta (L)}$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

и

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

Полиномы операторов запаздывания следуют тем же правилам умножения и деления, что и числа и полиномы переменных. Например,

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

означает то же самое, что и

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

Как и в случае с полиномами переменных, полином в операторе запаздывания можно разделить на другой с помощью полиномиального деления в длину . В общем случае деление одного такого полинома на другой, если каждый из них имеет конечный порядок (наивысший показатель степени), приводит к получению полинома бесконечного порядка.

Оператор аннулятора , обозначенный , удаляет элементы многочлена отрицательной степени (будущие значения). ${\displaystyle [\ ]_{+}}$

Обратите внимание, что обозначает сумму коэффициентов: ${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

Разностный оператор

В анализе временных рядов первый разностный оператор: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

Аналогично второй разностный оператор работает следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

Вышеупомянутый подход обобщается на i -й разностный оператор ${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

Условное ожидание

В случайных процессах обычно заботятся об ожидаемом значении переменной с учетом предыдущего набора информации. Пусть это вся информация, которая является общеизвестной на момент времени t (она часто указывается под оператором ожидания); тогда ожидаемое значение реализации X , j временных шагов в будущем можно записать эквивалентно как: ${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

Учитывая эти зависящие от времени условные ожидания, необходимо различать оператор обратного сдвига ( B ), который корректирует только дату прогнозируемой переменной, и оператор лага ( L ), который в равной степени корректирует дату прогнозируемой переменной и набора информации. :

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

Смотрите также

• Авторегрессионная модель
• Модель авторегрессии скользящего среднего
• Модель скользящего среднего
• Оператор смены
• Z-преобразование

Рекомендации

• Гамильтон, Джеймс Дуглас (1994). Анализ временных рядов . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-04289-6.
• Вербек, Марно (2008). Руководство по современной эконометрике . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-470-51769-7.
• Вайсштейн, Эрик. «Вольфрам Математический Мир». WolframMathworld: Оператор разности . Вольфрам Исследования . Проверено 10 ноября 2017 г. .
• Бокс, Джордж Э.П.; Дженкинс, Гвилим М.; Рейнзель, Грегори К.; Люнг, Грета М. (2016). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (5-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-1-118-67502-1.