Оператор обмена

Квантово-механический оператор, меняющий состояния частиц в качестве аргументов функции

В квантовой механике оператор обмена , также известный как оператор перестановки , ^[1] является квантово-механическим оператором , который действует на состояния в пространстве Фока . Оператор обмена действует путем переключения меток на любых двух идентичных частицах, описываемых квантовым состоянием совместного положения . ^[2] Поскольку частицы идентичны, понятие симметрии обмена требует, чтобы оператор обмена был унитарным . ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

Строительство

Обмен двумя частицами в пространстве-времени 2 + 1 путем вращения. Вращения неэквивалентны, поскольку одно не может быть деформировано в другое (без того, чтобы мировые линии не покинули плоскость, что невозможно в 2d пространстве).

В трех или более измерениях оператор обмена может представлять буквальный обмен положениями пары частиц путем движения частиц в адиабатическом процессе , при этом все остальные частицы остаются неподвижными. Такое движение часто не выполняется на практике. Скорее, операция рассматривается как «что если», аналогичное операции инверсии четности или обращения времени . Рассмотрим две повторяющиеся операции такого обмена частицами:

${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$

${\displaystyle {\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle ={\hat {P}}\left|x_{2},x_{1}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

Следовательно, является не только унитарным, но и оператором квадратного корня из 1, что оставляет возможности ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{2},x_{1}\right\rangle \,.}$

Оба знака реализуются в природе. Частицы, удовлетворяющие случаю +1, называются бозонами , а частицы, удовлетворяющие случаю −1, называются фермионами . Теорема о спиновой статистике гласит, что все частицы с целым спином являются бозонами, тогда как все частицы с полуцелым спином являются фермионами.

Оператор обмена коммутирует с гамильтонианом и, следовательно, является сохраняющейся величиной . Поэтому всегда возможно и обычно наиболее удобно выбрать базис, в котором состояния являются собственными состояниями оператора обмена. Такое состояние либо полностью симметрично относительно обмена всеми тождественными бозонами, либо полностью антисимметрично относительно обмена всеми тождественными фермионами системы. Чтобы сделать это для фермионов, например, антисимметризатор строит такое полностью антисимметричное состояние.

В 2 измерениях адиабатический обмен частицами не обязательно возможен. Вместо этого собственные значения оператора обмена могут быть комплексными фазовыми множителями (в этом случае не эрмитовыми), см. anyon для этого случая. Оператор обмена не очень хорошо определен в строго 1-мерной системе, хотя существуют конструкции 1-мерных сетей, которые ведут себя как эффективные 2-мерные системы. ${\displaystyle {\hat {P}}}$

Квантовая химия

Модифицированный оператор обмена определяется в методе Хартри-Фока квантовой химии , чтобы оценить обменную энергию, возникающую из описанной выше статистики обмена. В этом методе часто определяют энергетический оператор обмена как:

${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})f_{i}(x_{1})=\phi _{j}(x_{1})\int {{\frac {\phi _{j}^{*}(x_{2})f_{i}(x_{2})}{r_{12}}}\mathrm {d} x_{2}}}$

где — одноэлектронный оператор обмена, а , — одноэлектронные волновые функции, на которые действует оператор обмена, как функции положений электронов, а и — одноэлектронная волновая функция -го электрона как функции положений электронов. Их разделение обозначается . ^[3] Метки 1 и 2 используются только для удобства записи, поскольку физически нет способа отслеживать «какой электрон есть какой». ${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})}$ ${\displaystyle f(x_{1})}$ ${\displaystyle f(x_{2})}$ ${\displaystyle \phi _{j}(x_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{j}(x_{2})}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{12}}$

Смотрите также

• Обмен взаимодействием
• Гамильтониан (квантовая механика)
• оператор Кулона
• Симметрия обмена или симметрия перестановки

Ссылки

1. Левин, ИН, Квантовая химия (4-е изд., Prentice Hall 1991) стр.262. ISBN  0-205-12770-3
2. JS Townsend (2000). Современный подход к квантовой механике. Международная серия по чистой и прикладной физике. Т. 69 (2-е изд.). University Science Books. стр. 342. ISBN 978-1891389139.
3. Левин, ИН, Квантовая химия (4-е изд., Prentice Hall 1991) стр. 403. ISBN 0-205-12770-3 

• K. Kitaura; K. Morokuma (2004). «Новая схема разложения энергии для молекулярных взаимодействий в приближении Хартри-Фока». International Journal of Quantum Chemistry . 10 (2). Wiley: 325–340. doi :10.1002/qua.560100211.
• Bylander, DM; Kleinman, Leonard (1990). "Хорошие полупроводниковые запрещенные зоны с модифицированным приближением локальной плотности". Physical Review B. 41 ( 11): 7868–7871. Bibcode : 1990PhRvB..41.7868B. doi : 10.1103/PhysRevB.41.7868. PMID  9993089.
• AP Polychronakos (1992). «Формализм оператора обмена для интегрируемых систем частиц». Phys. Rev. Lett . 69 (5): 703–705. arXiv : hep-th/9202057 . Bibcode :1992PhRvL..69..703P. doi :10.1103/PhysRevLett.69.703. PMID  10047011. S2CID  14319416.
• Сепфалуси, П. (1957). «О новом обменном потенциале». Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae . 7 (3): 357–364. дои : 10.1007/BF03156345. S2CID  124672448.
• RK Nesbet (1958). "Оператор обмена Гейзенберга для ферромагнитных и антиферромагнитных систем". Annals of Physics . 4 (1). Линкольн, Массачусетс, США: Elsevier: 87–103. Bibcode : 1958AnPhy...4...87N. doi : 10.1016/0003-4916(58)90039-3.
• «Уравнение Хартри-Фока».

Внешние ссылки

• 2.3.Идентичные частицы, П. Хейнс Архивировано 01.07.2013 на Wayback Machine
• Глава 12. Множественные состояния частиц
• Обмен идентичными и возможно неразличимыми частицами, Дж. Денкер