Должность оператора

Оператор в квантовой механике

В квантовой механике оператор положения — это оператор , который соответствует наблюдаемому положению частицы .

Когда оператор положения рассматривается в достаточно широкой области (например, в пространстве умеренных распределений ), его собственные значения являются возможными векторами положения частицы. ^[1]

В одном измерении, если символом мы обозначаем унитарный собственный вектор оператора положения, соответствующий собственному значению , то представляет собой состояние частицы, в котором мы точно знаем, что находим саму частицу в положении . $${\displaystyle |x\rangle }$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle x}$

Поэтому, обозначая оператор позиции символом , мы можем записать для каждой действительной позиции . ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$ ${\displaystyle x}$

Одной из возможных реализаций унитарного состояния с позицией является дельта-распределение (функция) Дирака с центром в позиции , часто обозначаемое как . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta _{x}}$

В квантовой механике упорядоченное (непрерывное) семейство всех распределений Дирака, т.е. семейство, называется (унитарным) базисом положения, просто потому, что оно является (унитарным) собственным базисом оператора положения в пространстве умеренных распределений . $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$ ${\displaystyle X}$

Принципиально важно заметить, что существует только один линейный непрерывный эндоморфизм на пространстве умеренных распределений такой, что для каждой действительной точки . Можно доказать, что единственный указанный выше эндоморфизм обязательно определяется для каждого умеренного распределения , где обозначает координатную функцию линии положения – определяемую из действительной линии в комплексную плоскость как ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}$$

Введение

Рассмотрим представление квантового состояния частицы в определенный момент времени с помощью квадратично интегрируемой волновой функции . На данный момент предположим одно пространственное измерение (т.е. частица «ограничена» прямой линией). Если волновая функция нормализована , то квадратный модуль представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в некотором положении вещественной линии в определенное время. То есть, если то вероятность нахождения частицы в диапазоне положений равна ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$ ${\displaystyle [a,b]}$ $${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

Следовательно, ожидаемое значение измерения положения частицы равно , где — функция координат , которая является просто каноническим вложением линии положения в комплексную плоскость. ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ $${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,}$$

Строго говоря, наблюдаемое положение может быть точечно определено как для каждой волновой функции и для каждой точки действительной прямой. В случае классов эквивалентности определение читается непосредственно следующим образом То есть, оператор положения умножает любую волновую функцию на координатную функцию . ${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }}}$ $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,\quad \forall \psi \in L^{2}.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$

Три измерения

Обобщение на три измерения не вызывает затруднений.

Пространственно-временная волновая функция теперь и математическое ожидание оператора положения в состоянии есть , где интеграл берется по всему пространству. Оператор положения есть ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

Основные свойства

В приведенном выше определении, которое касается случая частицы, ограниченной линией, внимательный читатель может заметить, что не существует четкой спецификации области и со -области для оператора положения. В литературе, более или менее явно, мы находим по существу три основных направления для решения этой проблемы.

1. Оператор положения определен на подпространстве , образованном теми классами эквивалентности , произведение которых при вложении живет в пространстве . В этом случае оператор положения обнаруживает не непрерывный (неограниченный относительно топологии, индуцированной каноническим скалярным произведением ), без собственных векторов, без собственных значений и, следовательно, с пустым точечным спектром . ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle X:D_{X}\subset L^{2}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle L^{2}}$
2. Оператор положения определен на пространстве Шварца (т.е. ядерном пространстве всех гладких комплексных функций, определенных на вещественной прямой, производные которых быстро убывают). В этом случае оператор положения обнаруживает непрерывность (относительно канонической топологии ), инъективность, без собственных векторов, без собственных значений и, следовательно, с пустым точечным спектром. Он (полностью) самосопряжен относительно скалярного произведения в том смысле, что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}\subset L^{2}\to {\mathcal {S}}\subset L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$
3. Оператор позиции определен на двойственном пространстве ( т.е. ядерном пространстве умеренных распределений ). Поскольку является подпространством , произведение умеренного распределения на вложение всегда живет . В этом случае оператор позиции обнаруживает непрерывное (относительно канонической топологии ), сюръективное, наделенное полными семействами обобщенных собственных векторов и действительных обобщенных собственных значений. Он является самосопряженным относительно скалярного произведения в том смысле, что его оператор транспонирования является самосопряженным, то есть ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ $${\displaystyle X:{\mathcal {S}}^{\times }\to {\mathcal {S}}^{\times }:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ ${\displaystyle L^{2}}$ $${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$ $${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$

Последний случай на практике является наиболее широко принятым выбором в литературе по квантовой механике, хотя он никогда явно не подчеркивается. ^{[ требуется ссылка ]} Он решает проблему возможного отсутствия собственных векторов путем расширения гильбертова пространства до оснащенного гильбертова пространства : ^[2] тем самым предоставляя математически строгое понятие собственных векторов и собственных значений. ^[3] $${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}\subset {\mathcal {S}}^{\times },}$$

Собственные состояния

Собственные функции оператора положения (в пространстве умеренных распределений), представленные в пространстве положения , являются дельта-функциями Дирака .

Неформальное доказательство. Чтобы показать, что возможные собственные векторы оператора положения обязательно должны быть дельта-распределениями Дирака, предположим, чтоявляется собственным состоянием оператора положения с собственным значением. Запишем уравнение собственного значения в координатах положения, вспоминая, чтопросто умножает волновые функции на функцию, в представлении положения. Поскольку функцияявляется переменной, аявляется константой,должна быть равна нулю везде, кроме точки. Очевидно, что никакая непрерывная функция не удовлетворяет таким свойствам, и мы не можем просто определить волновую функцию как комплексное число в этой точке, потому что ее-норма будет равна 0, а не 1. Это предполагает необходимость «функционального объекта», сосредоточенного в точкеи с интегралом, отличным от 0: любое кратное дельты Дирака с центром в. Нормализованное решение уравнения равно или лучше таково, что Действительно, вспоминая, что произведение любой функции на распределение Дирака с центром в точке равно значению функции в этой точке, умноженному на само распределение Дирака, мы немедленно получаем Хотя такие состояния Дирака физически нереализуемы и, строго говоря, не являются функциями, распределение Дирака с центром вможно рассматривать как «идеальное состояние», положение которого известно точно (любое измерение положения всегда возвращает собственное значение). Следовательно, по принципу неопределенности , об импульсе такого состояния ничего не известно. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {x} }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$ $${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$ $${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Пространство импульса

Обычно в квантовой механике под представлением в импульсном пространстве подразумевают представление состояний и наблюдаемых относительно канонического унитарного импульсного базиса. $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

В импульсном пространстве оператор положения в одном измерении представлен следующим дифференциальным оператором: $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

где:

• представление оператора положения в базисе импульса естественным образом определяется как , для каждой волновой функции (закаленное распределение) ; ${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$ ${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$представляет собой функцию координат на линии импульса, а функция волнового вектора определяется как . ${\displaystyle \mathrm {k} }$ ${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$

Формализм вЛ2(Р,С)

Рассмотрим случай бесспиновой частицы, движущейся в одном пространственном измерении. Пространство состояний такой частицы содержит , гильбертово пространство комплекснозначных и квадратично интегрируемых (относительно меры Лебега ) функций на вещественной прямой . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

Оператор положения определяется как самосопряженный оператор с областью определения и координатной функцией, отправляющей каждую точку в себя, так что ^{[4] [5]} для каждого поточечно определенного и . $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$ $${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$ ${\displaystyle \mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$ ${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Из определения сразу следует, что спектр состоит из всей действительной линии и имеет строго непрерывный спектр , т. е. не имеет дискретного набора собственных значений. ${\displaystyle Q}$

Трехмерный случай определяется аналогично. В дальнейшем обсуждении мы сохраним одномерное предположение.

Теория измерения вЛ2(Р,С)

Как и в случае с любой квантово-механической наблюдаемой величиной , для обсуждения измерения положения нам необходимо вычислить спектральное разрешение оператора положения , которое равно где — так называемая спектральная мера оператора положения. $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ $${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$ ${\displaystyle \mu _{X}}$

Пусть обозначает индикаторную функцию для борелевского подмножества . Тогда спектральная мера задается выражением , т.е. как умножение на индикаторную функцию . ${\displaystyle \chi _{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \psi \mapsto \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$ ${\displaystyle B}$

Следовательно, если система подготовлена ​​в состоянии , то вероятность принадлежности измеренного положения частицы множеству Бореля равна , где — мера Лебега на действительной прямой. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$ ${\displaystyle \mu }$

После любого измерения, направленного на обнаружение частицы в подмножестве B, волновая функция коллапсирует либо к , либо к , где — норма гильбертова пространства на . $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$ $${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

Смотрите также

• Пространство положения и импульса
• Оператор импульса
• Оператор трансляции (квантовая механика)

Примечания

1. Аткинс, П. У. (1974). Quanta: Справочник концепций . Oxford University Press. ISBN 0-19-855493-1.
2. де ла Мадрид Модино 2001, гл. 2.6.
3. де ла Мадрид Модино 2001, стр. 104–117.
4. Макмахон, Д. (2006). Квантовая механика демистифицирована (2-е изд.). Mc Graw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
5. Пелег, Ю.; Пнини, Р.; Заарур, Э.; Хехт, Э. (2010). Квантовая механика (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0071623582.

Ссылки

• de la Madrid Modino, R. (2001). Квантовая механика на языке оснастки гильбертова пространства (диссертация на соискание степени доктора философии). Universidad de Valladolid.