Оператор Лапласа-Бельтрами

Оператор, обобщающий лапласиан в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии оператор Лапласа–Бельтрами является обобщением оператора Лапласа на функции, определенные на подмногообразиях в евклидовом пространстве и, в более общем случае, на римановых и псевдоримановых многообразиях . Он назван в честь Пьера-Симона Лапласа и Эудженио Бельтрами .

Для любой дважды дифференцируемой действительной функции f, определенной на евклидовом пространстве R ⁿ , оператор Лапласа (также известный как лапласиан ) переводит f в дивергенцию ее градиентного векторного поля, которое является суммой n чистых вторых производных f по каждому вектору ортонормированного базиса для R ⁿ . Подобно лапласиану, оператор Лапласа–Бельтрами определяется как дивергенция градиента и является линейным оператором, переводящим функции в функции. Оператор может быть расширен для работы с тензорами как дивергенция ковариантной производной. В качестве альтернативы оператор может быть обобщен для работы с дифференциальными формами с использованием дивергенции и внешней производной . Результирующий оператор называется оператором Лапласа–де Рама (назван в честь Жоржа де Рама ).

Подробности

Оператор Лапласа–Бельтрами, как и лапласиан, является (римановой) дивергенцией (риманова) градиента :

${\displaystyle \Delta f={\rm {div}}(\nabla f).}$

Возможна явная формула в локальных координатах .

Предположим сначала, что M — ориентированное риманово многообразие . Ориентация позволяет задать определенную форму объема на M , заданную в ориентированной системе координат x ⁱ как

${\displaystyle \operatorname {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

где | g | := |det( g _ij )| — абсолютное значение определителя метрического тензора , а dx ⁱ — 1-формы, образующие дуальный фрейм к фрейму

${\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

касательного расслоения и является произведением клиньев . ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \wedge }$

Дивергенция векторного поля на многообразии тогда определяется как скалярная функция со свойством ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla \cdot X}$

${\displaystyle (\nabla \cdot X)\operatorname {vol} _{n}:=L_{X}\operatorname {vol} _{n}}$

где L _X — производная Ли вдоль векторного поля X. В локальных координатах получается

${\displaystyle \nabla \cdot X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)}$

где здесь и далее подразумевается обозначение Эйнштейна , так что по повторяющемуся индексу i производится суммирование.

Градиент скалярной функции ƒ — это векторное поле grad f , которое можно определить через скалярное произведение на многообразии, как ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle \operatorname {grad} f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})}$

для всех векторов v _{x ,} закрепленных в точке x в касательном пространстве T _x M многообразия в точке x . Здесь d ƒ — внешняя производная функции ƒ; это 1-форма, принимающая аргумент v _x . В локальных координатах имеем

${\displaystyle \left(\operatorname {grad} f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f}$

где g ^ij — компоненты обратного метрического тензора , так что g ^ij g _jk = δ ⁱ _k, где δ ⁱ _k — символ Кронекера .

Объединяя определения градиента и дивергенции, формула для оператора Лапласа–Бельтрами, примененного к скалярной функции ƒ, в локальных координатах имеет вид

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{j}f\right).}$

Если M не ориентировано, то приведенный выше расчет выполняется точно так же, как представлено, за исключением того, что объемная форма должна быть заменена элементом объема ( плотностью, а не формой). Ни градиент, ни расхождение фактически не зависят от выбора ориентации, и поэтому сам оператор Лапласа–Бельтрами не зависит от этой дополнительной структуры.

Формальная самосопряженность

Внешняя производная и являются формальными сопряженными функциями в том смысле, что для функции с компактным носителем ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -\nabla }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{M}df(X)\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}f\nabla \cdot X\operatorname {vol} _{n}}$     (доказательство)

где последнее равенство является применением теоремы Стокса . Дуализация дает

для всех функций с компактным носителем и . Наоборот, ( 2 ) полностью характеризует оператор Лапласа–Бельтрами в том смысле, что это единственный оператор с этим свойством. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

Как следствие, оператор Лапласа–Бельтрами отрицателен и формально самосопряжен, что означает, что для функций с компактным носителем и , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \int _{M}f\,\Delta h\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \operatorname {vol} _{n}=\int _{M}h\,\Delta f\operatorname {vol} _{n}.}$

Поскольку оператор Лапласа–Бельтрами, определенный таким образом, является отрицательным, а не положительным, часто его определяют с противоположным знаком.

Собственные значения оператора Лапласа–Бельтрами (теорема Лихнеровича–Обаты)

Пусть M обозначает компактное риманово многообразие без границы. Мы хотим рассмотреть уравнение собственных значений,

${\displaystyle -\Delta u=\lambda u,}$

где — собственная функция, связанная с собственным значением . Можно показать, используя доказанную выше самосопряженность, что собственные значения являются действительными. Компактность многообразия позволяет показать, что собственные значения дискретны и, кроме того, векторное пространство собственных функций, связанных с данным собственным значением , т.е. все собственные пространства являются конечномерными. Обратите внимание, взяв постоянную функцию в качестве собственной функции, мы получаем — собственное значение. Кроме того, поскольку мы рассмотрели интегрирование по частям, это показывает, что . Точнее, если мы умножим уравнение собственных значений на на собственную функцию и проинтегрируем полученное уравнение по , мы получим (используя обозначение ): ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle dV=\operatorname {vol} _{n}}$

${\displaystyle -\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV}$

Выполняя интегрирование по частям или, что то же самое, используя теорему о расходимости для члена слева, и поскольку не имеет границы, получаем ${\displaystyle M}$

${\displaystyle -\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV}$

Объединяя два последних уравнения, приходим к

${\displaystyle \int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV}$

Из последнего уравнения заключаем, что . ${\displaystyle \lambda \geq 0}$

Фундаментальный результат Андре Лихнеровича ^[1] гласит, что: Дано компактное n -мерное риманово многообразие без границы с . Предположим, что кривизна Риччи удовлетворяет нижней границе: ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)\geq \kappa g(X,X),\kappa >0,}$

где — метрический тензор, а — любой касательный вектор на многообразии . Тогда первое положительное собственное значение уравнения собственных значений удовлетворяет нижней границе: ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle \lambda _{1}\geq {\frac {n}{n-1}}\kappa .}$

Эта нижняя граница точна и достигается на сфере . Фактически на собственном пространстве для является трехмерным и охватывается ограничением координатных функций от до . Используя сферические координаты , на двумерной сфере установим ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$

${\displaystyle x_{3}=\cos \phi =u_{1},}$

мы легко видим из формулы для сферического Лапласа, представленной ниже, что

${\displaystyle -\Delta _{\mathbb {S} ^{2}}u_{1}=2u_{1}}$

Таким образом, нижняя граница в теореме Лихнеровича достигается по крайней мере в двух измерениях.

Наоборот, Морио Обата доказал ^[2] , что если n -мерное компактное риманово многообразие без границы таково, что для первого положительного собственного значения имеем: ${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {n}{n-1}}\kappa ,}$

тогда многообразие изометрично n -мерной сфере , сфере радиуса . Доказательства всех этих утверждений можно найти в книге Айзека Шавела. ^[3] Аналогичные точные оценки справедливы также для других геометрий и для некоторых вырожденных лапласианов, связанных с этими геометриями, таких как лапласиан Кона (по Джозефу Дж. Кону ) на компактном CR-многообразии . Применения к глобальному вложению таких CR-многообразий приведены в ^[4] ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}{\bigg (}{\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Тензорный Лапласиан

Оператор Лапласа–Бельтрами можно записать с использованием следа (или контракции) итерированной ковариантной производной , связанной со связностью Леви-Чивиты. Гессиан (тензор) функции — это симметричный 2-тензор ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \displaystyle {\mbox{Hess}}f\in \mathbf {\Gamma } ({\mathsf {T}}^{*}M\otimes {\mathsf {T}}^{*}M)}$, , ${\displaystyle {\mbox{Hess}}f:=\nabla ^{2}f\equiv \nabla \nabla f\equiv \nabla \mathrm {d} f}$

где df обозначает (внешнюю) производную функции f .

Пусть X _i — базис касательных векторных полей (не обязательно индуцированных системой координат). Тогда компоненты функции Гесса f задаются как

${\displaystyle ({\mbox{Hess}}f)_{ij}={\mbox{Hess}}f(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}f-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}f}$

Легко видеть, что это преобразуется тензорно, поскольку оно линейно по каждому из аргументов X _i , X _j . Оператор Лапласа–Бельтрами тогда является следом (или сверткой ) гессиана относительно метрики:

${\displaystyle \displaystyle \Delta f:=\mathrm {tr} \nabla \mathrm {d} f\in {\mathsf {C}}^{\infty }(M)}$.

Точнее, это означает

${\displaystyle \displaystyle \Delta f(x)=\sum _{i=1}^{n}\nabla \mathrm {d} f(X_{i},X_{i})}$,

или в терминах метрики

${\displaystyle \Delta f=\sum _{ij}g^{ij}({\mbox{Hess}}f)_{ij}.}$

В абстрактных индексах оператор часто записывается

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f}$

при условии, что подразумевается, что этот след на самом деле является следом тензора Гессе .

Поскольку ковариантная производная канонически распространяется на произвольные тензоры , оператор Лапласа–Бельтрами, определенный на тензоре T как

${\displaystyle \Delta T=g^{ij}\left(\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}T-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}T\right)}$

четко определен.

Оператор Лапласа-де Рама

В более общем смысле можно определить дифференциальный оператор Лапласа на сечениях расслоения дифференциальных форм на псевдоримановом многообразии . На римановом многообразии это эллиптический оператор , тогда как на лоренцевом многообразии он является гиперболическим . Оператор Лапласа–де Рама определяется как

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;}$

где d — внешняя производная или дифференциал, а δ — кодифференциал , действующий как (−1) ^{kn + n +1} ∗d∗ на k -формах, где ∗ — звезда Ходжа . Оператор первого порядка — оператор Ходжа–Дирака. ^[5] ${\displaystyle \mathrm {d} +\delta }$

При вычислении оператора Лапласа–де Рама для скалярной функции f имеем δf = 0 , так что

${\displaystyle \Delta f=\delta \,\mathrm {d} f.}$

С точностью до общего знака оператор Лапласа–де Рама эквивалентен предыдущему определению оператора Лапласа–Бельтрами при действии на скалярную функцию; подробности см. в доказательстве. На функциях оператор Лапласа–де Рама на самом деле является отрицательным оператором Лапласа–Бельтрами, поскольку обычная нормализация кодифференциала гарантирует , что оператор Лапласа–де Рама (формально) положительно определен , тогда как оператор Лапласа–Бельтрами обычно отрицателен. Знак — это всего лишь соглашение, и оба они распространены в литературе. Оператор Лапласа–де Рама более существенно отличается от тензорного лапласиана, ограниченного действием на кососимметричные тензоры. Помимо случайного знака, два оператора отличаются тождеством Вейценбёка , которое явно включает тензор кривизны Риччи .

Примеры

Многие примеры оператора Лапласа–Бельтрами можно решить явно.

Евклидово пространство

В обычных (ортонормальных) декартовых координатах x ⁱ на евклидовом пространстве метрика сводится к символу Кронекера, и поэтому имеем . Следовательно, в этом случае ${\displaystyle |g|=1}$

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f=\partial _{i}\partial ^{i}f}$

что является обычным Лапласианом. В криволинейных координатах , таких как сферические или цилиндрические координаты , получаются альтернативные выражения .

Аналогично, оператор Лапласа–Бельтрами, соответствующий метрике Минковского с сигнатурой (− + + +), является даламбертианом .

Сферический Лапласиан

Сферический Лапласиан — это оператор Лапласа–Бельтрами на ( n − 1) -сфере с ее канонической метрикой постоянной секционной кривизны 1. Удобно рассматривать сферу как изометрически вложенную в R ⁿ как единичную сферу с центром в начале координат. Тогда для функции f на S ^{n −1} сферический Лапласиан определяется как

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f(x)=\Delta f(x/|x|)}$

где f ( x /| x |) — однородное расширение нулевой степени функции f на R ⁿ  − {0}, а — лапласиан окружающего евклидова пространства. Конкретно, это следует из известной формулы для евклидова лапласиана в сферических полярных координатах: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{n-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}f.}$

В более общем случае можно сформулировать аналогичный прием, используя нормальное расслоение , чтобы определить оператор Лапласа–Бельтрами любого риманова многообразия, изометрически вложенного как гиперповерхность евклидова пространства.

Можно также дать внутреннее описание оператора Лапласа–Бельтрами на сфере в нормальной системе координат . Пусть ( ϕ , ξ ) — сферические координаты на сфере относительно конкретной точки p сферы («северный полюс»), то есть геодезические полярные координаты относительно p . Здесь ϕ представляет собой измерение широты вдоль геодезической единичной скорости из p , а ξ — параметр, представляющий выбор направления геодезической в ​​S ^{n −1} . Тогда сферический лапласиан имеет вид:

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f(\xi ,\phi )=(\sin \phi )^{2-n}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left((\sin \phi )^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}\Delta _{\xi }f}$

где — оператор Лапласа–Бельтрами на обычной единичной ( n − 2) -сфере. В частности, для обычной 2-сферы, используя стандартные обозначения для полярных координат, получаем: ${\displaystyle \Delta _{\xi }}$

${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f(\theta ,\phi )=(\sin \phi )^{-1}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

Гиперболическое пространство

Похожая техника работает в гиперболическом пространстве . Здесь гиперболическое пространство H ^{n −1} может быть вложено в n- мерное пространство Минковского , вещественное векторное пространство, снабженное квадратичной формой

${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.}$

Тогда H ⁿ — это подмножество будущего нулевого конуса в пространстве Минковского, заданное формулой

${\displaystyle H^{n}=\{x\mid q(x)=1,x_{1}>1\}.\,}$

Затем

${\displaystyle \Delta _{H^{n-1}}f=\left.\Box f\left(x/q(x)^{1/2}\right)\right|_{H^{n-1}}}$

Здесь — однородное расширение f нулевой степени внутрь будущего нулевого конуса, а □ — волновой оператор ${\displaystyle f(x/q(x)^{1/2})}$

${\displaystyle \Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.}$

Оператор также может быть записан в полярных координатах. Пусть ( t , ξ ) — сферические координаты на сфере относительно конкретной точки p из H ^{n −1} (скажем, центра диска Пуанкаре ). Здесь t представляет собой гиперболическое расстояние от p , а ξ — параметр, представляющий выбор направления геодезической в ​​S ^{n −2} . Тогда гиперболический лапласиан имеет вид:

${\displaystyle \Delta _{H^{n-1}}f(t,\xi )=\sinh(t)^{2-n}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sinh(t)^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+\sinh(t)^{-2}\Delta _{\xi }f}$

где — оператор Лапласа–Бельтрами на обычной единичной ( n  − 2)-сфере. В частности, для гиперболической плоскости, используя стандартные обозначения для полярных координат, получаем: ${\displaystyle \Delta _{\xi }}$

${\displaystyle \Delta _{H^{2}}f(r,\theta )=\sinh(r)^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\sinh(r){\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+\sinh(r)^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

Смотрите также

• Ковариантная производная
• Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии
• оператор Лапласа

Примечания

1. Лихнерович, Андре (1958). Геометрия групп преобразований . Париж: Дюнод.
2. Обата, Морио (1962). «Определенные условия для того, чтобы риманово многообразие было изометричным со сферой». J. Math. Soc. Jpn . 14 (3): 333–340. doi : 10.2969/jmsj/01430333 .
3. Чавел, Айзек (1984), Собственные значения в римановой геометрии , Чистая и прикладная математика, т. 115 (2-е изд.), Academic Press, ISBN 978-0-12-170640-1
4. Чанильо, Сагун, Чиу, Хун-Лин и Ян, Пол С. (2012). «Вложимость трехмерных CR-многообразий и CR-инвариантов Ямабе». Математический журнал Дьюка . 161 (15): 2909–2921. arXiv : 1007.5020 . дои : 10.1215/00127094-1902154. S2CID  304301.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. Макинтош, Алан; Моннио, Сильви (2018). «Операторы Ходжа–Дирака, Ходжа–Лапласиана и Ходжа–Стокса в пространствах $L^p$ на липшицевых областях». Revista Matemática Iberoamericana . 34 (4): 1711–1753. arXiv : 1608.01797 . doi :10.4171/RMI/1041. S2CID  119123242.

Ссылки

• Фландерс, Харли (1989), Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , Дувр, ISBN 978-0-486-66169-8
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Соломенцев, Е.Д.; Шикин, Е.В. (2001) [1994], "Уравнение Лапласа–Бельтрами", Энциклопедия математики , Издательство EMS