Список квантовых логических вентилей

В квантовых вычислениях на основе вентилей для выражения квантовых операций обычно используются различные наборы квантовых логических вентилей . В следующих таблицах перечислены несколько унитарных квантовых логических элементов, а также их общее название, способы их представления и некоторые их свойства. Управляемые или сопряженные транспонированные ( сопряженные ) версии некоторых из этих вентилей могут не быть перечислены.

Идентификационные ворота и глобальная фаза

Идентификационный вентиль — это операция идентификации . В большинстве случаев этот вентиль не обозначается на принципиальных схемах, но он полезен при описании математических результатов. ${\displaystyle I|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

Его описывают как «цикл ожидания» ^[2] и NOP . ^{[3] [1]}

Глобальный фазовый вентиль вводит глобальную фазу во все квантовое состояние кубита. Квантовое состояние однозначно определяется с точностью до фазы. Согласно правилу Борна , фазовый коэффициент не влияет на результат измерения : для любого . ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ ${\displaystyle |e^{i\varphi }|=1}$ ${\displaystyle \varphi }$

Потому что , когда глобальный фазовый вентиль применяется к одному кубиту в квантовом регистре , глобальная фаза всего регистра изменяется. ${\displaystyle e^{i\delta }|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle =e^{i\delta }(|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle ),}$

Также, ${\displaystyle \mathrm {Ph} (0)=I.}$

Эти ворота могут быть расширены до любого количества кубитов или кудитов .

Кубитные ворота Клиффорда

В эту таблицу включены часто используемые вентили Клиффорда для кубитов. ^{[1] [4] [5]}

Другие вентили Клиффорда, включая вентили более высокой размерности, сюда не включены, но по определению могут быть сгенерированы с помощью и . ${\textstyle H,S}$ ${\textstyle \mathrm {CNOT} }$

Обратите внимание: если вентиль Клиффорда A не входит в группу Паули или контролируется , то A не входит в вентили Клиффорда. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$

Набор Клиффорда не является универсальным набором квантовых вентилей.

Неклиффордовские кубитные ворота

Относительные фазовые ворота

Фазовый сдвиг — это семейство однокубитных вентилей, которые отображают базовые состояния и . Вероятность измерения a или не меняется после применения этого вентиля, однако он изменяет фазу квантового состояния. Это эквивалентно отслеживанию горизонтального круга (линии широты) или вращению вдоль оси z на сфере Блоха в радианах. Типичным примером являются Т- ворота (исторически известные как ворота), фазовые ворота. Обратите внимание, что некоторые вентили Клиффорда являются частными случаями вентиля фазового сдвига: ${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle }$ ${\displaystyle P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \pi /8}$ ${\displaystyle P(0)=I,\;P(\pi )=Z;P(\pi /2)=S.}$

Аргумент для вентиля фазового сдвига находится в U(1) , и вентиль выполняет поворот фазы в U(1) вдоль заданного базового состояния (например, вращает фазу вокруг ) . Распространение на вращение вокруг общей фазы обоих базисных состояний двухуровневой квантовой системы ( кубита ) можно выполнить с помощью последовательной схемы : Когда эти ворота являются воротами оператора вращения и являются ли они глобальной фазой. ^{[а] [б]} ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle P(\beta )\cdot X\cdot P(\alpha )\cdot X={\begin{bmatrix}e^{i\alpha }&0\\0&e^{i\beta }\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \alpha =-\beta }$ ${\displaystyle R_{z}(2\beta )}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

Историческое название Т-ворот происходит от названия , где . ${\displaystyle \pi /8}$ ${\displaystyle R_{z}(\pi /4)\operatorname {Ph} \left({\frac {\pi }{8}}\right)=P(\pi /4)}$ ${\displaystyle R_{z}(\pi /4)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /8}&0\\0&e^{i\pi /8}\end{bmatrix}}}$

Произвольные однокубитные фазовые вентили изначально доступны для трансмонных квантовых процессоров за счет синхронизации микроволновых управляющих импульсов. ^[13] Это можно объяснить сменой кадра . ^{[14] [15]} ${\displaystyle P(\varphi )}$

Как и в случае с любым одним кубитным вентилем, можно построить управляемую версию вентиля с фазовым сдвигом. Что касается вычислительной основы, 2-кубитный управляемый вентиль фазового сдвига: сдвигает фазу только в том случае, если он воздействует на состояние : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto {\begin{cases}e^{i\varphi }|a,b\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Вентиль с контролируемым Z (или CZ) — это особый случай, когда . ${\displaystyle \varphi =\pi }$

Вентиль «контролируемое -S» представляет собой вариант «контролируемого- когда» и является широко используемым вентилем. ^[6] ${\displaystyle P(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$

Ворота оператора ротации

Ворота оператора вращения и являются аналоговыми матрицами вращения в трех декартовых осях SO (3) ^[c] вдоль осей x, y или z проекции сферы Блоха . ${\displaystyle R_{x}(\theta ),R_{y}(\theta )}$ ${\displaystyle R_{z}(\theta )}$

Поскольку матрицы Паули связаны с генератором вращений, эти операторы вращения можно записать в виде матричной экспоненты с матрицами Паули в аргументе. Любая унитарная матрица в SU(2) может быть записана как произведение (т.е. последовательная схема) трех или менее вентилей вращения. Обратите внимание, что для двухуровневых систем, таких как кубиты и спиноры , эти вращения имеют период 4π . Поворот на 2π (360 градусов) возвращает тот же вектор состояния с другой фазой . ^[16] ${\displaystyle 2\times 2}$

У нас тоже есть и для всех ${\displaystyle R_{b}(-\theta )=R_{b}(\theta )^{\dagger }}$ ${\displaystyle R_{b}(0)=I}$ ${\displaystyle b\in \{x,y,z\}.}$

Матрицы вращения связаны с матрицами Паули следующим образом: ${\displaystyle R_{x}(\pi )=-iX,R_{y}(\pi )=-iY,R_{z}(\pi )=-iZ.}$

Можно вычислить сопряженное действие вращений на вектор Паули , а именно эффективное вращение на двойной угол a, чтобы применить формулу вращения Родригеса :

${\displaystyle R_{n}(-a){\vec {\sigma }}R_{n}(a)=e^{i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}~{\vec {\sigma }}~e^{-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}={\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.}$

Скалярное произведение любого единичного вектора с приведенной выше формулой генерирует выражение любого одиночного кубитного вентиля, помещенного в смежные вентили вращения. Например, можно показать, что . Кроме того, используя антикоммутирующее отношение, мы имеем . ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)={\hat {x}}\cdot ({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }})=Z}$ ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)=XR_{y}(+\pi /2)R_{y}(\pi /2)=X(-iY)=Z}$

Операторы вращения имеют интересную идентичность. Например, а также, используя антикоммутационные отношения, которые мы имеем и ${\displaystyle R_{y}(\pi /2)Z=H}$ ${\displaystyle XR_{y}(\pi /2)=H.}$ ${\displaystyle ZR_{y}(-\pi /2)=H}$ ${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)X=H.}$

Глобальную фазу и фазовый сдвиг можно преобразовать друг в друга с помощью оператора Z-вращения: . ^{[5] : 11  [1] : 77–83} ${\displaystyle R_{z}(\gamma )\operatorname {Ph} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=P(\gamma )}$

Ворота представляют собой вращение на π/2 вокруг оси x в сфере Блоха . ${\displaystyle {\sqrt {X}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {X}}=e^{i\pi /4}R_{x}(\pi /2)}$

Аналогичные вентили оператора вращения существуют для SU(3) с использованием матриц Гелл-Манна . Это операторы вращения, используемые с кутритами .

Двухкубитные ворота взаимодействия

Взаимодействие кубит-кубит Изинга или ворота взаимодействия Гейзенберга R _xx , R _yy и R _zz представляют собой 2-кубитные ворота, которые изначально реализованы в некоторых квантовых компьютерах с захваченными ионами , используя, например, процедуру ворот Мёльмера-Сёренсена . ^{[17] [18]}

Обратите внимание, что эти элементы также могут быть выражены в синусоидальной форме, например . ${\displaystyle R_{xx}(\phi )=\exp \left(-i{\frac {\phi }{2}}X\otimes X\right)=\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)I\otimes I-i\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)X\otimes X}$

Вентиль CNOT можно дополнительно разложить на продукты вентилей оператора вращения и ровно одного двухкубитного взаимодействующего вентиля, например

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

Вентиль SWAP может быть построен из других вентилей, например, с использованием вентилей взаимодействия двух кубитов: . ${\displaystyle {\text{SWAP}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}}R_{xx}(\pi /2)R_{yy}(\pi /2)R_{zz}(\pi /2)}$

В сверхпроводящих схемах семейство вентилей, возникающее в результате взаимодействий Гейзенберга, иногда называют набором вентилей fSim . Их можно реализовать с помощью перестраиваемых по потоку кубитов с регулируемой связью ^[19] или с помощью СВЧ-приводов в кубитах с фиксированной частотой и фиксированной связью. ^[20]

Подкачивающие ворота без Клиффорда

Вентиль √ SWAP выполняет половину обмена двух кубитов (см. вентили Клиффорда). Он универсален, так что любой многокубитный вентиль может быть построен только из √ SWAP и однокубитных вентилей. Для создания состояния Белла из состояний продукта требуется более одного применения √ SWAP . Ворота √ SWAP естественным образом возникают в системах, использующих обменное взаимодействие . ^{[21] [1]}

Для систем с изинговскими взаимодействиями иногда более естественно ввести мнимый обмен ^[22] или iSWAP. ^{[23] [24]} Обратите внимание, что и , или, в более общем плане, для всех вещественных n, кроме 0. ${\displaystyle i{\mbox{SWAP}}=R_{xx}(-\pi /2)R_{yy}(-\pi /2)}$ ${\displaystyle {\sqrt {i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /4)R_{yy}(-\pi /4)}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /2n)R_{yy}(-\pi /2n)}$

SWAP ^α естественным образом возникает в квантовых компьютерах спинтроники. ^[1]

Гейт Фредкина (также CSWAP или CS-гейт), названный в честь Эдварда Фредкина , представляет собой 3-битный вентиль, выполняющий контролируемую замену . Он универсален для классических вычислений. Он обладает тем полезным свойством, что количество нулей и единиц сохраняется повсюду, что в модели бильярдного шара означает, что на выходе выводится одинаковое количество шаров, а на входе.

Другие названные ворота

Примечания

1. когда , где сопряженное транспонирование (или эрмитово сопряженное ). ${\displaystyle \alpha =-\beta }$ ${\displaystyle P(\alpha )=P(\beta )^{\dagger }}$ ${\displaystyle \dagger }$
2. Также: ${\displaystyle \left(P(\delta )\cdot Y\right)^{2}=e^{i\delta }I}$
3. двойная обложка SU (2) . См. также расслоение Хопфа .
4. Показанная здесь матрица взята из openQASM 3.0, которая отличается от глобальной фазы (ворот U OpenQASM 2.0 находится в SU(2)). ${\displaystyle U(\theta ,\phi ,\lambda )}$

Рекомендации

1. Уильямс, Колин П. (2011). Исследования в области квантовых вычислений . Спрингер . ISBN 978-1-84628-887-6.
2. "ИГейт". qiskit.org . Онлайн-документация Qiskit .
3. "Я операция" . docs.microsoft.com . 28 июля 2023 г. Онлайн-документация Q# .
4. Фейнман, Ричард П. (1986). «Квантово-механические компьютеры». Основы физики . 16 (6). Springer Science and Business Media LLC: 507–531. Бибкод : 1986FoPh...16..507F. дои : 10.1007/bf01886518. ISSN  0015-9018. S2CID  122076550.
5. Баренко, Адриано; Беннетт, Чарльз Х.; Клив, Ричард; ДиВинченцо, Дэвид П.; Марголус, Норман; Шор, Питер; Слитор, Тихо; Смолин, Джон А.; Вайнфуртер, Харальд (1 ноября 1995 г.). «Элементарные вентили для квантовых вычислений». Физический обзор А. 52 (5). Американское физическое общество (APS): 3457–3467. arXiv : Quant-ph/9503016 . Бибкод : 1995PhRvA..52.3457B. дои : 10.1103/physreva.52.3457. ISSN  1050-2947. PMID  9912645. S2CID  8764584.
6. Нильсен, Майкл А. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация. Исаак Л. Чуанг (изд. к 10-летию). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00217-3. ОСЛК  665137861.
7. Хунг, WNN; Сяоюй Сун; Гуоу Ян; Цзинь Ян; Перковский, М. (сентябрь 2006 г.). «Оптимальный синтез нескольких выходных булевых функций с использованием набора квантовых вентилей путем символического анализа достижимости». Транзакции IEEE по автоматизированному проектированию интегральных схем и систем . 25 (9): 1652–1663. doi : 10.1109/tcad.2005.858352. ISSN  0278-0070. S2CID  14123321.
8. Коллинз, Дэниел; Линден, Ной; Попеску, Санду (7 августа 2001 г.). «Нелокальное содержание квантовых операций». Физический обзор А. 64 (3): 032302. arXiv : quant-ph/0005102 . Бибкод : 2001PhRvA..64c2302C. doi :10.1103/PhysRevA.64.032302. ISSN  1050-2947. S2CID  29769034.
9. Патхак, Анирбан (20 июня 2013 г.). Элементы квантовых вычислений и квантовой связи. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-4665-1792-9.
10. Янофски, Носон С.; Маннуччи, Мирко А. (11 августа 2008 г.). Квантовые вычисления для компьютерщиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-64390-0.
11. Стэнсил, Дэниел Д.; Берд, Грегори Т. (19 апреля 2022 г.). Принципы сверхпроводящих квантовых компьютеров. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-119-75074-1.
12. Д. Якш, Дж. И. Сирак, П. Золлер, С. Л. Ролстон, Р. Коте и М. Д. Лукин (2000). «Быстрые квантовые ворота для нейтральных атомов». Физ. Преподобный Летт . 85 (10): 2208. arXiv : quant-ph/0004038 . doi :10.1103/PhysRevLett.85.2208.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
13. Дибьенду Чаттерджи, Ариджит Рой (2015). «Схема квантового полусумматора на основе трансмонов». Успехи теоретической и экспериментальной физики . 2015 (9): 7–8. Бибкод : 2015PTEP.2015i3A02C. дои : 10.1093/ptep/ptv122 .
14. Маккей, Дэвид С.; Вуд, Кристофер Дж.; Шелдон, Сара; Чоу, Джерри М.; Гамбетта, Джей М. (31 августа 2017 г.). «Эффективные Z-вентили для квантовых вычислений». Физический обзор А. 96 (2): 022330. arXiv : 1612.00858 . Бибкод : 2015PTEP.2015i3A02C. дои : 10.1093/ptep/ptv122.
15. "qiskit.circuit.library.PhaseGate" . IBM (документация qiskit).
16. Гриффитс, ди-джей (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . стр. 127–128. ISBN 978-3-527-40601-2.
17. «Конференция Монро» (PDF) . online.kitp.ucsb.edu .
18. «Демонстрация небольшого программируемого квантового компьютера с атомными кубитами» (PDF) . Проверено 10 февраля 2019 г.
19. Фоксен, Б.; Нил, К.; Дансворт, А.; Рушан, П.; Кьяро, Б.; Мегрант, А.; Келли, Дж.; Чен, Цзыцзюнь; Сатцингер, К.; Барендс, Р.; Аруте, Ф.; Арья, К.; Бэббуш, Р.; Бэкон, Д.; Бардин, Дж. К.; Бойшо, С.; Бьюэлл, Д.; Беркетт, Б.; Чен, Ю; Коллинз, Р.; Фархи, Э.; Фаулер, А.; Гидни, К.; Джустина, М.; Графф, Р.; Харриган, М.; Хуанг, Т.; Исаков С.В.; Джеффри, Э.; Цзян, З.; Кафри, Д.; Кечеджи, К.; Климов П.; Коротков А.; Кострица, Ф.; Ландхейс, Д.; Лусеро, Э.; МакКлин, Дж.; МакИвен, М.; Ми, Х.; Мохсени, М.; Мутус, JY; Нааман, О.; Нили, М.; Ню, М.; Петухов А.; Кинтана, К.; Рубин, Н.; Санк, Д.; Смелянский В.; Вайнзенчер, А.; Уайт, ТК; Яо, З.; Ага, П.; Зальцман, А.; Невен, Х.; Мартинис, Дж. М. (15 сентября 2020 г.). «Демонстрация непрерывного набора двухкубитных вентилей для краткосрочных квантовых алгоритмов». Письма о физических отзывах . 125 (12). arXiv : 2001.08343 . doi : 10.1103/PhysRevLett.125.120504. ISSN  0031-9007.
20. Нгуен, LB; Ким, Ю.; Хашим, А.; Госс, Н.; Маринелли, Б.; Бхандари, Б.; Дас, Д.; Наик, РК; Крейкебаум, Дж. М.; Джордан, А.; Сантьяго, ДИ; Сиддики, И. (16 января 2024 г.). «Программируемые гейзенберговские взаимодействия между кубитами Флоке». Физика природы . 20 (1): 240–246. arXiv : 2211.10383 . Бибкод : 2024NatPh..20..240N. дои : 10.1038/s41567-023-02326-7 .
21. Немировский, Джонатан; Саги, Йоав (2021), «Быстрый универсальный двухкубитный вентиль для нейтральных фермионных атомов в оптических пинцетах», Physical Review Research , 3 (1): 013113, arXiv : 2008.09819 , Bibcode : 2021PhRvR...3a3113N, doi : 10.1103/ PhysRevResearch.3.013113
22. Расмуссен, SE; Зиннер, Северная Каролина (17 июля 2020 г.). «Простая реализация высокоточных вентилей с контролируемой заменой и возведение в степень неэрмитовых вентилей в квантовой схеме». Обзор физических исследований . 2 (3): 033097. arXiv : 2002.11728 . Бибкод : 2020PhRvR...2c3097R. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.033097 . ISSN  2643-1564.
23. Шуч, Норберт; Зиверт, Йенс (10 марта 2003 г.). «Естественный двухкубитный вентиль для квантовых вычислений с использованием взаимодействия XY». Физический обзор А. 67 (3): 032301. arXiv : quant-ph/0209035 . Бибкод : 2003PhRvA..67c2301S. doi :10.1103/PhysRevA.67.032301. ISSN  1050-2947. S2CID  50823541.
24. Даллер-Демерс, Пьер-Люк; Вильгельм, Франк К. (05 декабря 2016 г.). «Квантовые ворота и архитектура для квантового моделирования модели Ферми-Хаббарда». Физический обзор А. 94 (6): 062304. arXiv : 1606.00208 . Бибкод : 2016PhRvA..94f2304D. doi : 10.1103/PhysRevA.94.062304. ISSN  2469-9926. S2CID  118408193.
25. Кросс, Эндрю; Джавади-Абхари, Али; Александр, Томас; Де Бодрап, Ниль; епископ Лев С.; Хидель, Стивен; Райан, Колм А.; Шивараджа, Прасант; Смолин, Джон; Гамбетта, Джей М.; Джонсон, Блейк Р. (2022). «OpenQASM 3: более широкий и глубокий квантовый язык ассемблера». Транзакции ACM в квантовых вычислениях . 3 (3): 1–50. arXiv : 2104.14722 . дои : 10.1145/3505636 . ISSN  2643-6809. S2CID  233476587.
26. Чжан, Цзюнь; Вала, Иржи; Шастри, Шанкар; Уэйли, К. Биргитта (7 июля 2004 г.). «Минимальная конструкция двухкубитных квантовых операций». Письма о физических отзывах . 93 (2): 020502. arXiv : quant-ph/0312193 . Бибкод : 2004PhRvL..93b0502Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.020502. ISSN  0031-9007. PMID  15323888. S2CID  9632700.
27. АбуГанем, М. (1 января 2021 г.). «Двухкубитные ворота запутанности для сверхпроводящих квантовых компьютеров». Рочестер, Нью-Йорк. дои : 10.2139/ssrn.4188257. S2CID  252264545. SSRN  4188257. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
28. Петерсон, Эрик С.; Крукс, Гэвин Э.; Смит, Роберт С. (26 марта 2020 г.). «Двухкубитные схемы фиксированной глубины и многогранник монодромии». Квантовый . 4 : 247. arXiv : 1904.10541 . doi : 10.22331/кв-2020-03-26-247 . S2CID  214690323.
29. Корколес, AD; Магесан, Иасвар; Шринивасан, Шрикант Дж.; Кросс, Эндрю В.; Штеффен, М.; Гамбетта, Джей М.; Чоу, Джерри М. (29 апреля 2015 г.). «Демонстрация кода квантового обнаружения ошибок с использованием квадратной решетки из четырех сверхпроводящих кубитов». Природные коммуникации . 6 (1): 6979. arXiv : 1410,6419 . Бибкод : 2015NatCo...6.6979C. doi : 10.1038/ncomms7979. ISSN  2041-1723. ПМЦ 4421819 . ПМИД  25923200. 
30. Кириенко, Александр; Эльфвинг, Винсент Э. (15 ноября 2021 г.). «Обобщенные правила дифференцирования квантовых цепей». Физический обзор А. 104 (5): 052417. arXiv : 2108.01218 . Бибкод : 2021PhRvA.104e2417K. doi : 10.1103/PhysRevA.104.052417. hdl : 10871/127818 . ISSN  2469-9926. S2CID  236881494.
31. Нгуен, LB; Ким, Ю.; Хашим, А.; Госс, Н.; Маринелли, Б.; Бхандари, Б.; Дас, Д.; Наик, РК; Крейкебаум, Дж. М.; Джордан, А.; Сантьяго, ДИ; Сиддики, И. (16 января 2024 г.). «Программируемые гейзенберговские взаимодействия между кубитами Флоке». Физика природы . 20 (1): 240–246. arXiv : 2211.10383 . Бибкод : 2024NatPh..20..240N. дои : 10.1038/s41567-023-02326-7 .
32. Аррасола, Хуан Мигель; Маттео, Оливия Ди; Кесада, Николас; Джахангири, Соран; Дельгадо, Ален; Киллоран, Натан (20 июня 2022 г.). «Универсальные квантовые схемы для квантовой химии». Квантовый . 6 : 742. arXiv : 2106.13839 . Бибкод : 2022Quant...6..742A. doi : 10.22331/q-2022-06-20-742 . S2CID  235658488.
33. Аруте, Фрэнк; Арья, Кунал; Бэббуш, Райан; Бэкон, Дэйв; Бардин, Джозеф К.; Барендс, Рами; Бисвас, Рупак; Бойшо, Серхио; Брандао, Фернандо ГСЛ; Бьюэлл, Дэвид А.; Беркетт, Брайан; Чен, Ю; Чен, Цзыцзюнь; Кьяро, Бен; Коллинз, Роберто (2019). «Квантовое превосходство с использованием программируемого сверхпроводникового процессора». Природа . 574 (7779): 505–510. arXiv : 1910.11333 . Бибкод : 2019Natur.574..505A. дои : 10.1038/s41586-019-1666-5 . ISSN  1476-4687. PMID  31645734. S2CID  204836822.
34. Гу, Сю; Фернандес-Пендас, Хорхе; Викстол, Понт; Абад, Тахере; Уоррен, Кристофер; Бенгтссон, Андреас; Танкреди, Джованна; Шумейко, Виталий; Байландер, Джонас; Йоханссон, Йоран; Фриск Кокум, Антон (2021). «Быстрые многокубитные ворота через одновременные двухкубитные ворота». PRX Квантум . 2 (4): 040348. arXiv : 2108.11358 . дои : 10.1103/PRXQuantum.2.040348 . ISSN  2691-3399.
35. Маслов, Дмитрий (10 февраля 2016 г.). «Преимущества использования вентилей Тоффоли относительной фазы с применением для оптимизации Тоффоли с множественным управлением». Физический обзор А. 93 (2): 022311. arXiv : 1508.03273 . Бибкод : 2016PhRvA..93b2311M. doi : 10.1103/PhysRevA.93.022311 . ISSN  2469-9926. S2CID  5226873.
36. Сун, Гуан; Клаппенекер, Андреас (31 декабря 2003 г.). «Упрощенная реализация ворот Тоффоли от Margolus является оптимальной». arXiv : Quant-ph/0312225 . Бибкод : 2003quant.ph.12225S. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
37. Таплиял, Химаншу; Ранганатан, Нагараджан (2009). «Разработка эффективных обратимых двоичных вычитателей на основе нового обратимого вентиля». Ежегодный симпозиум IEEE Computer Society 2009 г. по СБИС . стр. 229–234. дои : 10.1109/ISVLSI.2009.49. ISBN 978-1-4244-4408-3. S2CID  16182781.
38. Уоррен, Кристофер; Фернандес-Пендас, Хорхе; Ахмед, Шахнаваз; Абад, Тахере; Бенгтссон, Андреас; Бизнарова, Янка; Дебнатх, Каманасиш; Гу, Сю; Крижан, Кристиан; Осман, Амр; Фадави Рудсари, Анита; Дельсинг, Пер; Йоханссон, Йоран; Фриск Кокум, Антон; Танкреди, Джованна; Байландер, Джонас (2023). «Расширенная характеристика и реализация семейства трехкубитных вентилей на пределе когерентности». npj Квантовая информация . 9 (1): 44. arXiv : 2207.02938 . дои : 10.1038/s41534-023-00711-x . ISSN  2056-6387.