Оператор композиции

Линейный оператор в математике

В математике оператор композиции с символом представляет собой линейный оператор, определяемый правилом , где обозначает композицию функций . ${\displaystyle C_{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle C_{\phi }(f)=f\circ \phi }$$ ${\displaystyle f\circ \phi }$

Изучение операторов композиции охватывается категорией AMS 47B33.

В физике

В физике , и особенно в области динамических систем , оператор композиции обычно называют оператором Купмана ^{[1] [2]} (а его бурный всплеск популярности ^[3] иногда в шутку называют «Купманией» ^[4] ), названным в честь Бернарда Купмана . Он является левым сопряженным к оператору переноса Фробениуса–Перрона.

В функциональном исчислении Бореля

Используя язык теории категорий , оператор композиции представляет собой обратный образ на пространстве измеримых функций ; он сопряжен с оператором переноса таким же образом, как обратный образ сопряжен с оператором прямого образа ; оператор композиции представляет собой функтор обратного образа .

Поскольку рассматриваемая здесь область — это область борелевских функций , вышеизложенное описывает оператор Купмана, как он выглядит в борелевском функциональном исчислении .

В голоморфном функциональном исчислении

Область оператора композиции можно рассматривать более узко, как некоторое банахово пространство , часто состоящее из голоморфных функций : например, некоторое пространство Харди или пространство Бергмана . В этом случае оператор композиции лежит в области некоторого функционального исчисления , такого как голоморфное функциональное исчисление .

Интересные вопросы, возникающие при изучении операторов композиции, часто связаны с тем, как спектральные свойства оператора зависят от пространства функций . Другие вопросы включают, является ли оператор компактным или следовым ; ответы обычно зависят от того, как функция ведет себя на границе некоторой области. ${\displaystyle C_{\phi }}$ ${\displaystyle \varphi }$

Когда оператор переноса является оператором сдвига влево , оператор Купмана, как его сопряженный, может быть взят в качестве оператора сдвига вправо. Соответствующий базис, явно проявляющий сдвиг, часто можно найти в ортогональных многочленах . Когда они ортогональны на действительной числовой прямой, сдвиг задается оператором Якоби . ^[5] Когда многочлены ортогональны в некоторой области комплексной плоскости (а именно, в пространстве Бергмана ), оператор Якоби заменяется оператором Хессенберга . ^[6]

Приложения

В математике операторы композиции обычно встречаются при изучении операторов сдвига , например, в теореме Берлинга–Лакса и разложении Вольда . Операторы сдвига можно изучать как одномерные спиновые решетки . Операторы композиции появляются в теории мер Александрова–Кларка .

Уравнением собственных значений оператора композиции является уравнение Шредера , а главная собственная функция часто называется функцией Шредера или функцией Кёнигса . ${\displaystyle f(x)}$

Оператор композиции использовался в методах, управляемых данными, для динамических систем в контексте алгоритмов разложения динамических мод , которые аппроксимируют моды и собственные значения оператора композиции.

Смотрите также

• матрица Карлемана
• Линеаризация Карлемана
• Композиция кольца
• Оператор умножения  – унарный оператор, который отображает функцию в другую функцию.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Транспонирование линейного отображения  – Индуцированное отображение между дуальными пространствами двух векторных пространств
• Динамическая модовая декомпозиция

Ссылки

1. Купман, БО (1931). «Гамильтоновы системы и преобразования в гильбертовом пространстве». Труды Национальной академии наук . 17 (5): 315–318. Bibcode :1931PNAS...17..315K. doi : 10.1073/pnas.17.5.315 . PMC  1076052 . PMID  16577368.
2. Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511628856. ISBN 978-0-511-62885-6.
3. Будишич, Марко, Райан Мор и Игорь Мезич. «Прикладной коопманизм». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки 22, № 4 (2012): 047510. https://doi.org/10.1063/1.4772195
4. Шервин Предраг Цвитанович, Роберто Артузо, Ронни Майниери, Грегор Таннер, Габор Ваттай, Ниалл Уилан и Андреас Вирзба, Хаос: классическое и квантовое приложение H версия 15.9, (2017), http://chaosbook.org/version15/chapters/appendMeasure.pdf
5. Джеральд Тешль, «Операторы Якоби и полностью интегрируемые нелинейные решетки» (2000) Американское математическое общество. https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/jacop.pdf ISBN 978-0-8218-1940-1 
6. Томео, В.; Торрано, Э. (2011). «Два применения субнормальности матрицы Хессенберга, связанных с общими ортогональными многочленами». Линейная алгебра и ее приложения . 435 (9): 2314–2320. doi : 10.1016/j.laa.2011.04.027 .

• CC Cowen и BD MacCluer , Операторы композиции в пространствах аналитических функций . Исследования по высшей математике. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида, 1995. xii+388 стр. ISBN 0-8493-8492-3 . 
• JH Shapiro , Операторы композиции и классическая теория функций. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1993. xvi+223 стр. ISBN 0-387-94067-7 .