Операция симметрии

Геометрическое преобразование, которое создает идентичное изображение

В математике операция симметрии — это геометрическое преобразование объекта , которое оставляет объект прежним после его выполнения. Например, поворот на 1 ⁄ оборота правильного треугольника вокруг его центра , отражение квадрата относительно его диагонали , перенос евклидовой плоскости или точечное отражение сферы через ее центр — все это операции симметрии. Каждая операция симметрии выполняется относительно некоторого элемента симметрии (точки, линии или плоскости). [ ^1]

В контексте молекулярной симметрии операция симметрии — это перестановка атомов, при которой молекула или кристалл преобразуются в состояние, неотличимое от исходного. Из этого определения вытекают два основных факта, подчеркивающих его полезность.

1. Физические свойства должны быть инвариантны относительно операций симметрии.
2. Операции симметрии можно объединить в группы, изоморфные группам перестановок .

В контексте молекулярной симметрии квантовые волновые функции не обязательно должны быть инвариантными, поскольку операция может умножать их на фазу или смешивать состояния в вырожденном представлении, не влияя на какие-либо физические свойства.

Молекулы

Операция по идентификации

Операция тождества соответствует невыполнению каких-либо действий с объектом. Поскольку каждая молекула неотличима от самой себя, если с ней ничего не делать, каждый объект обладает по крайней мере операцией тождества. Операция тождества обозначается как E или I. В операции тождества для молекулы не может быть замечено никаких изменений. Даже самая асимметричная молекула обладает операцией тождества. Необходимость такой операции тождества возникает из математических требований теории групп.

Отражение через зеркальные плоскости

Операция отражения

Операция отражения выполняется относительно элементов симметрии, известных как плоскости симметрии или зеркальные плоскости. ^[2] Каждая такая плоскость обозначается как σ (сигма). Ее ориентация относительно главной оси молекулы указывается нижним индексом. Плоскость должна проходить через молекулу и не может полностью находиться вне ее.

• Если плоскость симметрии содержит главную ось молекулы (т. е. молекулярную ось z ), то она обозначается как вертикальная зеркальная плоскость, что обозначается индексом v ( σ _v ).
• Если плоскость симметрии перпендикулярна главной оси, то она обозначается как горизонтальная зеркальная плоскость, что обозначается индексом h ( σ _h ).
• Если плоскость симметрии делит пополам угол между двумя двумерными осями, перпендикулярными главной оси, то она обозначается как двугранная зеркальная плоскость, что обозначается индексом d ( σ _d ).

Благодаря отражению каждой зеркальной плоскости молекула должна иметь возможность создать идентичное изображение самой себя.

Операция инверсии

Операция инверсии показана здесь с молекулой гексафторида серы . Все атомы фтора меняют свое положение на противоположную сторону относительно серного центра

При инверсии через центр симметрии i (элемент) мы представляем, что берем каждую точку в молекуле и затем перемещаем ее на то же расстояние с другой стороны. Подводя итог, операция инверсии проецирует каждый атом через центр инверсии и на то же расстояние с противоположной стороны. Центр инверсии — это точка в пространстве, которая лежит в геометрическом центре молекулы. В результате все декартовы координаты атомов инвертируются (т. е. x, y, z в –x, –y, –z ). Символ, используемый для представления центра инверсии, — i . Когда операция инверсии выполняется n раз, она обозначается как i ⁿ , где когда n четное, а когда n нечетное. ${\displaystyle i^{n}=E}$ ${\displaystyle i^{n}=-E}$

Примерами молекул, имеющих центр инверсии, являются некоторые молекулы с октаэдрической геометрией (общая формула AB ₆ ), квадратной плоской геометрией (общая формула AB ₄ ) и этилен ( H ₂ C=CH ₂ ). Примерами молекул без центров инверсии являются циклопентадиенид ( C ₅ H−5) и молекулы с тригонально-пирамидальной геометрией (общая формула AB ₃ ). ^[3]

Правильные операции вращения илин-кратное вращение

Правильный поворот относится к простому повороту вокруг оси . Такие операции обозначаются как ⁠ ⁠ ${\displaystyle C_{n}^{m},}$ , где C _n — поворот ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{n}}}$ или ⁠ ⁠, ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{n}},}$ выполненный m раз. Верхний индекс m опускается, если он равен единице. C ₁ — поворот на 360°, где n = 1. Он эквивалентен операции тождества ( E ). C ₂ — поворот на 180°, как ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{2}}=180^{\circ },}$ C ₃ — поворот на 120°, как ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {360^{\circ }}{3}}=120^{\circ },}$ и так далее.

Здесь молекула может быть повернута в эквивалентные положения вокруг оси. Примером молекулы с симметрией C ₂ является молекула воды ( H ₂ O ). Если молекулу H ₂ O повернуть на 180° вокруг оси, проходящей через атом кислорода, то не наблюдается никакой обнаруживаемой разницы до и после операции C _{2 .}

Порядок n оси можно рассматривать как число раз, которое для наименьшего поворота, дающего эквивалентную конфигурацию, этот поворот должен быть повторен, чтобы получить конфигурацию, идентичную исходной структуре (т. е. поворот на 360° или 2π ) . Примером этого является собственное вращение C ₃ , которое вращается на ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}.}$ C ₃ представляет собой первое вращение вокруг оси C ₃ на ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}},}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle C_{3}^{2}}$ — это вращение на ⁠ ⁠, ${\displaystyle 2\times {\tfrac {2\pi }{3}},}$ в то время как ⁠ ⁠ ${\displaystyle C_{3}^{3}}$ — это вращение на ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3\times {\tfrac {2\pi }{3}}.}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle C_{3}^{3}}$ — это идентичная конфигурация, поскольку она дает исходную структуру, и она называется элементом идентичности ( E ). Следовательно, C ₃ имеет порядок три и часто упоминается как тройная ось. ^[3]

Неправильные операции вращения

Неправильное вращение включает в себя два этапа операции: правильное вращение, за которым следует отражение через плоскость, перпендикулярную оси вращения. Неправильное вращение представлено символом S _{n ,} где n — порядок. Поскольку неправильное вращение является комбинацией правильного вращения и отражения, S _n всегда будет существовать, когда C _n и перпендикулярная плоскость существуют отдельно. ^[3] S ₁ обычно обозначается как σ , операция отражения относительно зеркальной плоскости. S ₂ обычно обозначается как i , операция инверсии относительно центра инверсии. Когда n — четное число , но когда n — нечетное ${\displaystyle S_{n}^{n}=E,}$ ${\displaystyle S_{n}^{2n}=E.}$

Оси вращения, зеркальные плоскости и центры инверсии являются элементами симметрии , а не операциями симметрии. Ось вращения наивысшего порядка известна как главная ось вращения. Принято устанавливать декартову ось z молекулы так, чтобы она содержала главную ось вращения.

Примеры

Дихлорметан , CH ₂ Cl ₂ . Существует ось вращения C ₂ , которая проходит через атом углерода и средние точки между двумя атомами водорода и двумя атомами хлора. Определим ось z как коллинеарную с осью C ₂ , плоскость xz как содержащую CH ₂ , а плоскость yz как содержащую CCl ₂ . Операция вращения C ₂ переставляет два атома водорода и два атома хлора. Отражение в плоскости yz переставляет атомы водорода, в то время как отражение в плоскости xz переставляет атомы хлора. Четыре операции симметрии E , C ₂ , σ( xz ) и σ( yz ) образуют точечную группу C _{2 v} . Обратите внимание, что если любые две операции выполняются последовательно, результат будет таким же, как если бы была выполнена одна операция группы.

Метан , CH4 . В дополнение к собственным вращениям порядка 2 и 3 существуют три взаимно перпендикулярные _{оси S4} , _{которые} проходят на полпути между связями CH и шестью зеркальными плоскостями. Обратите внимание, что ${\displaystyle S_{4}^{2}=C_{2}.}$

Кристаллы

В кристаллах возможны также винтовые вращения и/или скользящие отражения . Это вращения или отражения вместе с частичной трансляцией. Эти операции могут меняться в зависимости от размеров кристаллической решетки.

Решетки Бравэ можно рассматривать как представляющие операции трансляционной симметрии. Комбинации операций кристаллографических точечных групп с операциями сложения симметрии производят 230 кристаллографических пространственных групп .

Смотрите также

Молекулярная симметрия

Кристаллическая структура

Теорема кристаллографического ограничения

Ссылки

ФА Коттон Химические приложения теории групп , Wiley, 1962, 1971

1. Аткинс, Питер (2006). ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ АТКИНСА . Великобритания Oxford University Press: WH Freeman and Company. стр. 404. ISBN 0-7167-8759-8.
2. «Элементы и операции симметрии» (PDF) .
3. Коттон, Альберт (1990). Химические приложения теории групп . США: Wiley-Interscience . стр. 23.