Определитель Дьедонне

В линейной алгебре определитель Дьедонне является обобщением определителя матрицы на матрицы над телами и локальными кольцами . Он был введен Дьедонне  (1943).

Если K — тело, то определитель Дьедонне — это групповой гомоморфизм группы GL _n ( K  ) обратимых матриц размером n- × n над K на абелианизацию K ^× / [ K ^× ,  K ^× ] мультипликативной группы К ^× из К.​

Например, определитель Дьедонне для матрицы 2х2 — это класс вычетов в K ^× / [ K ^× ,  K ^× ]

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{*{20}c}a&b\\c&d\end{array}}\right)=\left\lbrace {\begin{array}{*{20}c}-cb&{\text{if }}a=0\\ad-aca^{-1}b&{\text{if }}a\neq 0.\end{array}}\right.}$

Характеристики

Пусть R — локальное кольцо. Существует детерминантное отображение кольца матриц GL( R  ) в абелианизированную единичную группу R ^× _ab со следующими свойствами: ^[1]

• Определитель инвариантен относительно элементарных операций над строками.
• Определитель единичной матрицы равен 1
• Если строка умножается слева на a в R ^× , то определитель умножается слева на a.
• Определитель мультипликативный: det( AB ) = det( A )det( B )
• Если поменять местами две строки, определитель умножается на −1.
• Если R коммутативно , то определитель инвариантен относительно транспонирования .

Проблема Таннаки-Артина

Предположим, что K конечен над своим центром F . Приведенная норма дает гомоморфизм Nn _из GLn ( _K )  в F ^× . У нас также есть гомоморфизм из GL _n ( K  ) в F ^× , полученный составлением определителя Дьедонне из GL _n ( K  ) в K ^× / [ K ^× ,  K ^× ] с приведенной нормой N ₁ из GL ₁ ( K  ) = K ^× в F ^× посредством абелианизации.

Проблема Таннаки –Артина заключается в том, имеют ли эти два отображения одно и то же ядро ​​SL _n ( K  ). Это верно, когда F локально компактно ^[2], но неверно в общем случае. ^[3]

Смотрите также

• Определитель Мура над алгеброй с делением

Рекомендации

1. Розенберг (1994) стр.64
2. Накаяма, Тадаси; Мацусима, Ёзо (1943). «Über die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra». Учеб. Имп. акад. Токио (на немецком языке). 19 : 622–628. дои : 10.3792/пиа/1195573246 . Збл  0060.07901.
3. Платонов, В.П. (1976). «Проблема Таннаки-Артина и редуцированная К-теория». Изв. Акад. Наук СССР, сер. Мат. (на русском). 40 (2): 227–261. Бибкод :1976ИзМат..10..211П. doi : 10.1070/IM1976v010n02ABEH001686. Збл  0338.16005.

• Dieudonné, Jean (1943), «Les démerminants Sur un Corps non Commutatif», Bulletin de la Société Mathématique de France , 71 : 27–45, doi : 10.24033/bsmf.1345 , ISSN  0037-9484, MR  0012273, ZBL  0028.339.339 .
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения, Тексты для выпускников по математике , том. 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94248-3, МР  1282290, Збл  0801.19001. Ошибки
• Серр, Жан-Пьер (2003), Деревья , Спрингер, с. 74, ISBN 3-540-44237-5, Збл  1013.20001
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «Определитель», Математическая энциклопедия , EMS Press