Оптическое уравнение

Equation of the form 1/a + 1/b = 1/c

Целочисленные решения оптического уравнения1/а+1/б"="1/сдля 1 ≤ a,b ​​≤ 99 . Число в круге — c . В файле SVG наведите указатель мыши на круг, чтобы увидеть решение.

В теории чисел оптическое уравнение — это уравнение, которое требует, чтобы сумма обратных величин двух положительных целых чисел a и b равнялась обратной величине третьего положительного целого числа c : ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{c}}.}$

Умножение обеих частей на abc показывает, что оптическое уравнение эквивалентно диофантовому уравнению ( полиномиальному уравнению с несколькими целыми переменными).

Решение

Все решения в целых числах a, b, c даются через целочисленные положительные параметры m, n, k согласно ^[1]

$${\displaystyle a=km(m+n),\quad b=kn(m+n),\quad c=kmn}$$

где m, n взаимно простые .

Появления в геометрии

Оптическое уравнение с квадратами появляется в обратной теореме Пифагора (красный).

Оптическое уравнение, допускающее, но не требующее целочисленных решений, встречается в геометрии в нескольких контекстах .

В бицентрическом четырехугольнике вписанный радиус r , радиус описанной окружности R и расстояние x между центром и центром описанной окружности связаны теоремой Фусса согласно формуле

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}$

а расстояния центра I от вершин A, B, C, D связаны с внутренним радиусом согласно закону

${\displaystyle {\frac {1}{IA^{2}}}+{\frac {1}{IC^{2}}}={\frac {1}{IB^{2}}}+{\frac {1}{ID^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}.}$

Перекрещенные лестницы. ${\displaystyle {\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.}$

В задаче о скрещенных лестницах ^[2] две лестницы , закрепленные в нижней части вертикальных стен , пересекаются на высоте h и опираются на противоположные стены на высотах A и B. Имеем Более того, формула продолжает действовать, если стены наклонены и все три измерения производятся параллельно стенам. ${\displaystyle {\tfrac {1}{h}}={\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}.}$

Пусть P — точка на описанной окружности равностороннего треугольника △ ABC на малой дуге AB . Пусть a — расстояние от P до A , а b — расстояние от P до B. На прямой, проходящей через P и дальнюю вершину C , пусть c — расстояние от P до стороны треугольника AB . Тогда ^{[3] : с. 172} ${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}+{\tfrac {1}{b}}={\tfrac {1}{c}}.}$

В трапеции нарисуйте отрезок, параллельный двум параллельным сторонам, проходящий через пересечение диагоналей и имеющий концы на непараллельных сторонах. Тогда, если мы обозначим длины параллельных сторон как a и b , а половину длины отрезка, проходящего через диагональное пересечение, как c , сумма обратных величин a и b будет равна обратной величине c . ^[4]

Особый случай, когда целые числа, обратные значения которых берутся, должны быть квадратными, проявляется двояко в контексте прямоугольных треугольников . Во-первых, сумма обратных квадратов высот катетов (т. е. квадратов самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты катетов. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми числами; существует формула (см. здесь ), которая генерирует все целочисленные случаи. ^{[5] [6]} Во-вторых, также и в прямоугольном треугольнике сумма квадрата, обратного стороне одного из двух вписанных квадратов, и квадрата, обратного гипотенузе, равна квадрату, обратному стороне другого вписанного квадрата.

Стороны семиугольного треугольника , вершины которого совпадают с правильным семиугольником , удовлетворяют оптическому уравнению.

Другие выступления

Уравнение тонкой линзы

Расстояния в уравнении тонкой линзы

Для линзы пренебрежимо малой толщины и фокусного расстояния f расстояния от линзы до объекта S ₁ и от линзы до его изображения S ₂ связаны формулой тонкой линзы :

${\displaystyle {\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}.}$

Электротехника

Сравнение эффективного сопротивления, индуктивности и емкости двух резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, включенных последовательно и параллельно.

Компоненты электрической цепи или электронной схемы могут быть соединены в так называемой последовательной или параллельной конфигурации. Например, общее значение сопротивления R _t двух резисторов с сопротивлениями R ₁ и R ₂ , соединенных параллельно, подчиняется оптическому уравнению:

${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}={\frac {1}{R_{t}}}.}$

Аналогично, общая индуктивность L _t двух катушек индуктивности с индуктивностями L ₁ , L ₂ , соединенными параллельно, определяется выражением:

${\displaystyle {\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}={\frac {1}{L_{t}}},}$

а суммарная емкость C _t двух конденсаторов с емкостями C ₁ , C ₂ , соединенных последовательно , равна:

${\displaystyle {\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}={\frac {1}{C_{t}}}.}$

Бумага складная

Сложение прямоугольного листа бумаги втрое с помощью задачи о скрещенных лестницах

Оптическое уравнение задачи о скрещенных лестницах можно применить к складыванию прямоугольной бумаги на три равные части. Одна сторона (левая, как показано здесь) частично сложена пополам и зажата, чтобы оставить след. Пересечение линии от этой отметки до противоположного угла с диагональю составляет ровно одну треть от нижнего края. Затем верхний край можно согнуть вниз до места пересечения. ^[7]

Гармоническое среднее

Среднее гармоническое a и b равно или 2 c .​ Другими словами, c — это половина среднего гармонического значения a и b . ${\displaystyle {\tfrac {2}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}}}$

Связь с Великой теоремой Ферма

Великая теорема Ферма утверждает, что сумма двух целых чисел, каждое из которых возведено в одну и ту же целую степень n, не может равняться другому целому числу, возведенному в степень n , если n > 2 . Это означает, что никакие решения оптического уравнения не имеют всех трех целых чисел, равных совершенным степеням с одинаковой степенью n > 2 . Ибо если бы тогда умножение на на дало бы то, что невозможно по Великой теореме Ферма. ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}}+{\tfrac {1}{y^{n}}}={\tfrac {1}{z^{n}}},}$ ${\displaystyle (xyz)^{n}}$ ${\displaystyle (yz)^{n}+(xz)^{n}=(xy)^{n},}$

Смотрите также

• Гипотеза Эрдеша – Штрауса , другое диофантово уравнение , включающее суммы обратных целых чисел.
• Суммы обратных величин
• Параллельно

Рекомендации

1. Диксон, Л. Е., История теории чисел, Том II: Диофантовый анализ , Chelsea Publ. Co., 1952, стр. 688–691.
2. Гарднер, М. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от Scientific American . Нью-Йорк: Кнопф, 1979, стр. 62–64.
3. Посаментье, Альфред С. и Салкинд, Чарльз Т., Сложные проблемы геометрии , Dover Publ., 1996.
4. GoGeometry , [1], по состоянию на 8 июля 2012 г.
5. Воулс, Роджер (июль 1999 г.), «83.27 Целочисленные решения », The Mathematical Gazette , 83 (497): 269–271, doi : 10.2307/3619056, JSTOR  3619056 ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
6. Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.), «92.48 Перевернутая теорема Пифагора», The Mathematical Gazette , 92 (524): 313–316, doi : 10.1017/s0025557200183275, JSTOR  27821792
7. Мейер, Дэниел; Мейер, Джанин; Мейер, Авива (март 2000 г.), «Обучение математическому мышлению с помощью оригами», Academic.Writing: Междисциплинарные перспективы коммуникации в рамках учебной программы , 1 (9), doi :10.37514/awr-j.2000.1.9.41; см. в частности раздел «Деление на трети»