В математике , особенно в теории множеств , говорят, что два упорядоченных множества X и Y имеют один и тот же тип порядка , если они изоморфны по порядку , то есть если существует биекция (каждая пара элементов ровно с одним из другого набора), такая что и f , и обратное к нему монотонны (сохраняют порядок элементов).
В частном случае, когда X полностью упорядочено , монотонность f уже подразумевает монотонность его обратного.
Один и тот же комплект может комплектоваться разными ордерами. Поскольку порядковая эквивалентность является отношением эквивалентности , оно разбивает класс всех упорядоченных множеств на классы эквивалентности .
Если набор имеет тип порядка, обозначенный , тип порядка обратного порядка, двойственный к , обозначается .
Тип порядка хорошо упорядоченного множества X иногда выражается как ord( X ) . [1]
Тип порядка целых и рациональных чисел обычно обозначается и соответственно. Набор целых чисел и набор четных целых чисел имеют один и тот же тип порядка, поскольку отображение является биекцией, сохраняющей порядок. Но набор целых чисел и набор рациональных чисел (со стандартным порядком) не имеют одного и того же типа порядка, потому что, хотя множества имеют одинаковый размер (они оба счетно бесконечны ), не существует сохраняющей порядок биективы отображение между ними. Открытый интервал (0, 1) рациональных чисел по порядку изоморфен рациональным числам, поскольку, например, представляет собой строго возрастающую биекцию от первого ко второму. Соответствующие теоремы такого рода подробно рассматриваются ниже.
Теперь можно привести больше примеров: набор положительных целых чисел (который имеет наименьший элемент) и набор отрицательных целых чисел (который имеет наибольший элемент). Натуральные числа имеют тип порядка, обозначаемый ω, как объяснено ниже.
Рациональные числа, содержащиеся в полуинтервалах [0,1) и (0,1], а также в замкнутом интервале [0,1], являются тремя дополнительными примерами типов порядка.
Каждое хорошо упорядоченное множество по определению эквивалентно ровно одному порядковому числу . Порядковые числа считаются каноническими представителями своих классов, поэтому тип порядка упорядоченного множества обычно идентифицируется с соответствующим порядковым номером. Таким образом, типы заказов часто принимают форму арифметических выражений порядковых чисел.
Во-первых, типом порядка множества натуральных чисел является ω . Любая другая модель арифметики Пеано , то есть любая нестандартная модель , начинается с отрезка, изоморфного ω, но затем добавляется дополнительные числа. Например, любая счетная такая модель имеет тип порядка ω + (ω* + ω) ⋅ η .
Во-вторых, рассмотрим множество V четных ординалов меньше ω ⋅ 2 + 7 :
Поскольку он состоит из двух отдельных последовательностей подсчета, за которыми в конце следуют четыре элемента, тип заказа:
Что касается их стандартного порядка чисел, набор рациональных чисел не является упорядоченным. Если уж на то пошло, то это и не полный набор реалов.
Любое счетное полностью упорядоченное множество можно инъективно отобразить в рациональные числа сохраняющим порядок способом. Более того, когда порядок плотен и не имеет ни старшего, ни младшего элемента, такое отображение даже существует биективно.
