Ортонормальность

Свойство двух или более векторов, которые ортогональны и имеют единичную длину

В линейной алгебре два вектора в пространстве внутреннего произведения являются ортонормальными , если они являются ортогональными единичными векторами . Единичный вектор означает, что вектор имеет длину 1, что также известно как нормализованный. Ортогональный означает, что все векторы перпендикулярны друг другу. Набор векторов образует ортонормированный набор , если все векторы в наборе взаимно ортогональны и все имеют единичную длину. Ортонормированный набор, который образует базис, называется ортонормированным базисом .

Интуитивно понятный обзор

Построение ортогональности векторов мотивировано желанием распространить интуитивное понятие перпендикулярных векторов на пространства более высоких размерностей. В декартовой плоскости два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° (т. е. если они образуют прямой угол ). Это определение можно формализовать в декартовом пространстве, определив скалярное произведение и указав, что два вектора в плоскости ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Аналогично, построение нормы вектора мотивировано желанием распространить интуитивное понятие длины вектора на пространства более высокой размерности. В декартовом пространстве норма вектора — это квадратный корень вектора, усеченного самим собой. То есть,

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}$

Многие важные результаты в линейной алгебре имеют дело с наборами из двух или более ортогональных векторов. Но часто проще иметь дело с векторами единичной длины . То есть часто упрощается рассмотрение только векторов, норма которых равна 1. Понятие ограничения ортогональных пар векторов только теми, которые имеют единичную длину, достаточно важно, чтобы дать ему специальное название. Два вектора, которые ортогональны и имеют длину 1, называются ортонормальными .

Простой пример

Как выглядит пара ортонормированных векторов в двумерном евклидовом пространстве?

Пусть u = (x ₁ , y ₁ ) и v = (x ₂ , y ₂ ). Рассмотрим ограничения на x ₁ , x ₂ , y ₁ , y _{2 ,} необходимые для того, чтобы u и v образовали ортонормальную пару.

• Из ограничения ортогональности u • v = 0.
• Из ограничения на единичную длину u следует , что || u || = 1.
• Из ограничения единичной длины на v , || v || = 1.

Разложение этих членов дает 3 уравнения:

1. ${\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad }$
2. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1}$
3. ${\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1}$

Преобразование декартовых координат в полярные и рассмотрение уравнений Equation и Equation немедленно дает результат r ₁ = r ₂ = 1. Другими словами, требование, чтобы векторы имели единичную длину, ограничивает векторы принадлежностью к единичной окружности . ${\displaystyle (2)}$ ${\displaystyle (3)}$

После подстановки уравнение становится . Перестановка дает . Использование тригонометрического тождества для преобразования котангенса дает ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0}$ ${\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}}$

${\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

Ясно, что на плоскости ортонормальные векторы представляют собой просто радиусы единичной окружности, разность углов которых равна 90°.

Определение

Пусть будет пространством внутреннего произведения . Набор векторов ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \left\{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},\ldots \right\}\in {\mathcal {V}}}$

называется ортонормальным тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \forall i,j:\langle u_{i},u_{j}\rangle =\delta _{ij}}$

где — дельта Кронекера , а — скалярное произведение , определенное над . ${\displaystyle \delta _{ij}\,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Значение

Ортонормальные множества сами по себе не особенно значимы. Однако они демонстрируют определенные особенности, которые делают их основополагающими при изучении понятия диагонализуемости определенных операторов в векторных пространствах.

Характеристики

Ортонормальные множества обладают некоторыми весьма привлекательными свойствами, которые делают работу с ними особенно простой.

• Теорема . Если { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } — ортонормированный список векторов, то $${\displaystyle \forall {\textbf {a}}:=[a_{1},\cdots ,a_{n}];\ \|a_{1}{\textbf {e}}_{1}+a_{2}{\textbf {e}}_{2}+\cdots +a_{n}{\textbf {e}}_{n}\|^{2}=|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\cdots +|a_{n}|^{2}}$$
• Теорема . Каждый ортонормированный список векторов линейно независим .

Существование

• Теорема Грама-Шмидта . Если { v ₁ , v ₂ ,..., v _n } — линейно независимый список векторов в пространстве скалярного произведения, то существует ортонормированный список { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } векторов втакой, что span ( e ₁ , e ₂ ,..., e _n ) = span ( v ₁ , v ₂ ,..., v _n ). ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Доказательство теоремы Грама-Шмидта конструктивно и подробно обсуждается в другом месте. Теорема Грама-Шмидта вместе с аксиомой выбора гарантирует, что каждое векторное пространство допускает ортонормированный базис. Это, возможно, наиболее значимое применение ортонормированности, поскольку этот факт позволяет обсуждать операторы в пространствах скалярного произведения с точки зрения их действия на ортонормированные базисные векторы пространства. Результатом является глубокая связь между диагонализируемостью оператора и тем, как он действует на ортонормированные базисные векторы. Эта связь характеризуется Спектральной теоремой .

Примеры

Стандартная основа

Стандартным базисом для координатного пространства F ⁿ является

Любые два вектора e _i , e _{j ,} где i≠j ортогональны, и все векторы, очевидно, имеют единичную длину. Таким образом, { e ₁ , e ₂ ,..., e _n } образует ортонормированный базис.

Действительные функции

При ссылке на действительные функции обычно подразумевается скалярное произведение L² , если не указано иное. Две функции и являются ортонормальными на интервале , если ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}}$

${\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}$

ряд Фурье

Ряд Фурье — это метод выражения периодической функции через синусоидальные базисные функции. Принимая C [−π,π] за пространство всех действительных функций, непрерывных на интервале [−π,π], и принимая скалярное произведение за

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}$

можно показать, что

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }$

образует ортонормированный набор.

Однако это не имеет большого значения, поскольку C [−π,π] бесконечномерно, и конечный набор векторов не может его охватить. Но снятие ограничения, что n должно быть конечным, делает набор плотным в C [−π,π] и, следовательно, ортонормированным базисом C [−π,π].

Смотрите также

• Ортогонализация
• Система ортонормированных функций

Источники

• Акслер, Шелдон (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 106–110, ISBN 978-0-387-98258-8
• Чен, Вай-Кай (2009), Основы схем и фильтров (3-е изд.), Бока-Ратон : CRC Press , стр. 62, ISBN 978-1-4200-5887-1