В линейной алгебре два вектора в пространстве внутреннего произведения являются ортонормированными, если они являются ортогональными единичными векторами . Единичный вектор означает, что вектор имеет длину 1, которая также называется нормализованной. Ортогональность означает, что все векторы перпендикулярны друг другу. Набор векторов образует ортонормированный набор , если все векторы в наборе взаимно ортогональны и все имеют единичную длину. Ортонормированный набор, образующий базис , называется ортонормированным базисом .
Построение ортогональности векторов мотивировано желанием распространить интуитивное понятие перпендикулярных векторов на пространства более высокой размерности. В декартовой плоскости два вектора называются перпендикулярными , если угол между ними равен 90° (т. е. если они образуют прямой угол ). Это определение можно формализовать в декартовом пространстве, определив скалярное произведение и указав, что два вектора на плоскости ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.
Точно так же построение нормы вектора мотивировано желанием распространить интуитивное представление о длине вектора на пространства более высокой размерности. В декартовом пространстве нормой вектора является квадратный корень из вектора, разделенного точками. То есть,
Многие важные результаты в линейной алгебре связаны с наборами двух или более ортогональных векторов. Но зачастую проще иметь дело с векторами единичной длины . То есть часто упрощается рассмотрение только векторов, норма которых равна 1. Идея ограничения ортогональных пар векторов только парами единичной длины достаточно важна, чтобы ей дали специальное имя. Два вектора, ортогональные и имеющие длину 1, называются ортонормированными .
Как выглядит пара ортонормированных векторов в двумерном евклидовом пространстве?
Пусть u = (x 1 , y 1 ) и v = (x 2 , y 2 ). Рассмотрим ограничения на x 1 , x 2 , y 1 , y 2, необходимые для того, чтобы u и v образовали ортонормированную пару.
Разложение этих членов дает 3 уравнения:
Преобразование из декартовых координат в полярные и рассмотрение уравнений и уравнений немедленно дает результат r 1 = r 2 = 1. Другими словами, требование, чтобы векторы имели единичную длину, ограничивает векторы, лежащие на единичной окружности .
После замены уравнение становится . Перестановка дает . Использование тригонометрического тождества для преобразования котангенса дает
Понятно, что на плоскости ортонормированные векторы представляют собой просто радиусы единичной окружности, разность углов которых равна 90°.
Пусть — пространство внутреннего продукта . Набор векторов
называется ортонормированным тогда и только тогда, когда
где – дельта Кронекера и – внутренний продукт, определенный по .
Ортонормированные множества сами по себе не имеют особого значения. Однако они обладают определенными особенностями, которые делают их фундаментальными при изучении понятия диагонализуемости некоторых операторов в векторных пространствах.
Ортонормированные множества обладают некоторыми очень привлекательными свойствами, благодаря которым с ними особенно легко работать.
Доказательство теоремы Грама-Шмидта является конструктивным и подробно обсуждается в другом месте. Теорема Грама-Шмидта вместе с аксиомой выбора гарантирует, что каждое векторное пространство допускает ортонормированный базис. Возможно, это наиболее значимое использование ортонормированности, поскольку этот факт позволяет обсуждать операторы в пространствах скалярных произведений с точки зрения их действия на ортонормированные базисные векторы пространства. В результате возникает глубокая связь между диагонализуемостью оператора и тем, как он действует на ортонормированные базисные векторы. Эту связь характеризует Спектральная Теорема .
Стандартным базисом координатного пространства Fn является _
Любые два вектора e i , e j, где i≠j, ортогональны, и все векторы явно имеют единичную длину. Итак, { e 1 , e 2 ,..., e n } образует ортонормированный базис.
При обращении к действительным функциям обычно предполагается внутренний продукт L² , если не указано иное. Две функции и ортонормированы на интервале , если
Ряд Фурье — это метод выражения периодической функции через синусоидальные базисные функции. Взяв C [−π,π] за пространство всех действительных функций, непрерывных на интервале [−π,π], и приняв скалярное произведение за
можно показать, что
образует ортонормированное множество.
Однако это не имеет большого значения, поскольку C [−π,π] бесконечномерен и конечный набор векторов не может его охватывать. Но удаление ограничения на конечность n делает множество плотным в C [−π,π] и, следовательно, ортонормированным базисом C [−π,π].