Компактный оператор

Тип непрерывного линейного оператора

В функциональном анализе , разделе математики , компактный оператор — это линейный оператор , где — нормированные векторные пространства , обладающие свойством, которое отображает ограниченные подмножества в относительно компактные подмножества (подмножества с компактным замыканием в ). Такой оператор обязательно является ограниченным оператором , и поэтому непрерывным. ^[1] Некоторые авторы требуют, чтобы были банаховыми , но определение можно распространить на более общие пространства. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Любой ограниченный оператор , имеющий конечный ранг , является компактным оператором; действительно, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторов конечного ранга в бесконечномерной ситуации. Когда является гильбертовым пространством , верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга, ^[1] так что класс компактных операторов может быть определен альтернативно как замыкание множества операторов конечного ранга в топологии нормы . Было ли это верно в общем случае для банаховых пространств ( свойство аппроксимации ) было нерешенным вопросом в течение многих лет; в 1973 году Пер Энфло привел контрпример, основанный на работе Гротендика и Банаха . ^[2] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

Теория компактных операторов берет свое начало в теории интегральных уравнений , где интегральные операторы дают конкретные примеры таких операторов. Типичное интегральное уравнение Фредгольма порождает компактный оператор K на функциональных пространствах ; свойство компактности показывается равностепенной непрерывностью . Метод аппроксимации конечноранговыми операторами является основным в численном решении таких уравнений. Абстрактная идея оператора Фредгольма выводится из этой связи.

Эквивалентные формулировки

Линейное отображение между двумя топологическими векторными пространствами называется компактным , если существует окрестность начала координат в , такая, что является относительно компактным подмножеством . ^[3] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle Y}$

Пусть — нормированные пространства и линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны, и некоторые из них используются в качестве основного определения разными авторами ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

• ${\displaystyle T}$— компактный оператор;
• изображение единичного шара под относительно компактно в ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• образ любого ограниченного подмножества под относительно компактен в ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• существует окрестность начала координат в и компактное подмножество такое, что ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle T(U)\subseteq V}$
• для любой ограниченной последовательности в последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Если вдобавок есть Банах, то эти утверждения также эквивалентны: ${\displaystyle Y}$

• образ любого ограниченного подмножества под полностью ограничен в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

Если линейный оператор компактен, то он непрерывен.

Характеристики

В дальнейшем — банаховы пространства, — пространство ограниченных операторов относительно операторной нормы , а обозначает пространство компактных операторов . обозначает тождественный оператор на , и . ${\displaystyle X,Y,Z,W}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle K(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$ ${\displaystyle K(X)=K(X,X)}$

• ${\displaystyle K(X,Y)}$является замкнутым подпространством (в топологии нормы). Эквивалентно, ^[5] ${\displaystyle B(X,Y)}$
  • если задана последовательность компактных операторов отображения (где — банаховы) и если сходится к относительно нормы оператора , то является компактным. ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Наоборот, если являются гильбертовыми пространствами, то каждый компактный оператор из является пределом операторов конечного ранга. Примечательно, что это « свойство аппроксимации » ложно для общих банаховых пространств X и Y . ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z),}$где композиция множеств берется поэлементно. В частности, образует двусторонний идеал в . ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle B(X)}$
• Любой компактный оператор строго сингулярен , но не наоборот. ^[6]
• Ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами компактен тогда и только тогда, когда его сопряженный оператор компактен ( теорема Шаудера ). ^[7]
  • Если ограничено и компактно, то: ^{[5] [7]} ${\displaystyle T:X\to Y}$
    • замыкание диапазона является отделимым . ${\displaystyle T}$
    • если область значений замкнута в Y , то область значений конечномерна. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Если — банахово пространство и существует обратимый ограниченный компактный оператор , то обязательно конечномерно. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle X}$

Теперь предположим, что — банахово пространство, — компактный линейный оператор, а — сопряженный или транспонированный оператор T. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T\colon X\to X}$ ${\displaystyle T^{*}\colon X^{*}\to X^{*}}$

• Для любого ,   является фредгольмовым оператором индекса 0. В частности, замкнут. Это существенно для разработки спектральных свойств компактных операторов. Можно заметить сходство между этим свойством и тем фактом, что если и являются подпространствами , где замкнуто и конечномерно, то также замкнуто. ${\displaystyle T\in K(X)}$ ${\displaystyle {\operatorname {Id} _{X}}-T}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} ({\operatorname {Id} _{X}}-T)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• Если — любой ограниченный линейный оператор, то оба оператора и являются компактными. ^[5] ${\displaystyle S\colon X\to X}$ ${\displaystyle S\circ T}$ ${\displaystyle T\circ S}$
• Если , то область значений замкнута, а ядро ​​конечномерно. ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$
• Если тогда следующие числа конечны и равны: ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim {\big (}X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right){\big )}=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim {\big (}X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right){\big )}}$
• Спектр компактен , счетен и имеет не более одной предельной точки , которая обязательно будет началом координат. ^[5] ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle T}$
• Если бесконечномерно, то . ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$
• Если и то является собственным значением как и . ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}}$
• Для каждого множество конечно, и для каждого ненулевого значения диапазон является собственным подмножеством X. ^[5 ] ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$

Истоки теории интегральных уравнений

Важнейшим свойством компактных операторов является альтернатива Фредгольма , которая утверждает, что существование решения линейных уравнений вида

${\displaystyle (\lambda K+I)u=f}$

(где K — компактный оператор, f — заданная функция, а u — неизвестная функция, для которой требуется решить) ведет себя во многом так же, как и в конечных размерностях. Затем следует спектральная теория компактных операторов , и она принадлежит Фридьешу Риссу (1918). Она показывает, что компактный оператор K в бесконечномерном банаховом пространстве имеет спектр, который является либо конечным подмножеством C , которое включает 0, либо спектр является счетно бесконечным подмножеством C , которое имеет 0 в качестве своей единственной предельной точки . Более того, в любом случае ненулевые элементы спектра являются собственными значениями K с конечными кратностями (так что K − λ I имеет конечномерное ядро ​​для всех комплексных λ ≠ 0).

Важным примером компактного оператора является компактное вложение пространств Соболева , которое, наряду с неравенством Гординга и теоремой Лакса–Мильграма , может быть использовано для преобразования эллиптической краевой задачи в интегральное уравнение Фредгольма. ^[8] Существование решения и спектральных свойств затем следует из теории компактных операторов; в частности, эллиптическая краевая задача в ограниченной области имеет бесконечно много изолированных собственных значений. Одним из следствий является то, что твердое тело может вибрировать только на изолированных частотах, заданных собственными значениями, и всегда существуют произвольно высокие частоты колебаний.

Компактные операторы из банахова пространства в себя образуют двусторонний идеал в алгебре всех ограниченных операторов в этом пространстве. Действительно, компактные операторы в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве образуют максимальный идеал, поэтому фактор-алгебра , известная как алгебра Калкина , является простой . В более общем случае компактные операторы образуют операторный идеал .

Компактный оператор в гильбертовых пространствах

Для гильбертовых пространств другое эквивалентное определение компактных операторов дается следующим образом.

Оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

${\displaystyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$,

называется компактным, если его можно записать в виде

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$,

где и — ортонормированные множества (не обязательно полные), а — последовательность положительных чисел с пределом в нуле, называемых сингулярными значениями оператора, а ряд в правой части сходится по норме оператора. Сингулярные значения могут накапливаться только в нуле. Если последовательность становится стационарной в нуле, то есть для некоторых и каждого , то оператор имеет конечный ранг, т. е . конечномерный диапазон, и может быть записан как ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}}$.

Важным подклассом компактных операторов являются операторы класса следа или ядерные операторы , т.е. такие, что . Хотя все операторы класса следа являются компактными операторами, обратное не обязательно верно. Например, стремится к нулю для , пока . ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty }$ ${\textstyle \lambda _{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|=\infty }$

Полностью непрерывные операторы

Пусть X и Y — банаховы пространства. Ограниченный линейный оператор T  : X → Y называется вполне непрерывным , если для любой слабо сходящейся последовательности из X эта последовательность сходится по норме в Y (Conway 1985, §VI.3). Компактные операторы в банаховом пространстве всегда вполне непрерывны. Если X — рефлексивное банахово пространство , то любой вполне непрерывный оператор T  : X → Y компактен. ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (Tx_{n})}$

Несколько сбивает с толку тот факт, что в старой литературе компактные операторы иногда называют «полностью непрерывными», хотя они не обязательно являются полностью непрерывными по определению этого выражения в современной терминологии.

Примеры

• Каждый оператор конечного ранга компактен.
• Для и последовательности (t _n ), сходящейся к нулю, оператор умножения ( Tx ) _n = t _n x _n является компактным. ${\displaystyle \ell ^{p}}$
• Для некоторого фиксированного g  ∈  C ([0, 1];  R ) определим линейный оператор T из C ([0, 1];  R ) в C ([0, 1];  R ) с помощью формулы То, что оператор T действительно компактен, следует из теоремы Асколи . $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$$
• ^{В более общем случае, если Ω —} любая область в Rn ^, а интегральное ядро ​​k  : Ω × Ω →  R является ядром Гильберта–Шмидта , то оператор T в L2 (Ω;  R ), определяемый соотношением, является компактным оператором. $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$$
• По лемме Рисса оператор тождества является компактным оператором тогда и только тогда, когда пространство конечномерно. ^[9]

Смотрите также

• Компактное встраивание
• Компактный оператор в гильбертовом пространстве
• Альтернатива Фредгольма  – математическая теоремаСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Интегральное уравнение Фредгольма
• Оператор Фредгольма  – Часть теории Фредгольма в интегральных уравнениях
• Строго сингулярный оператор
• Спектральная теория компактных операторов

Примечания

1. Conway 1985, Раздел 2.4
2. Энфло 1973
3. Шефер и Вольф 1999, стр. 98.
4. Brézis, H. (2011). Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных. H.. Brézis. Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. OCLC  695395895.
5. Рудин 1991, стр. 103–115.
6. Н. Л. Карозерс, Краткий курс теории банахова пространства , (2005) Студенческие тексты Лондонского математического общества 64 , Издательство Кембриджского университета.
7. Conway 1990, стр. 173–177.
8. Уильям Маклин, Сильно эллиптические системы и граничные интегральные уравнения, Cambridge University Press, 2000
9. Крейциг 1978, Теоремы 2.5-3, 2.5-5.

Ссылки

• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа . Springer-Verlag. Раздел 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике . Т. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Энфло, П. (1973). «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах». Acta Mathematica . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN  0001-5962. MR  0402468.
• Крейсциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Кутателадзе, С.С. (1996). Основы функционального анализа . Тексты по математическим наукам. Том. 12 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 292. ИСБН 978-0-7923-3898-7.
• Лакс, Питер (2002). Функциональный анализ . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Ренарди, М.; Роджерс, Р. К. (2004). Введение в уравнения с частными производными . Тексты по прикладной математике. Т. 13 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 356. ISBN 978-0-387-00444-0.(Раздел 7.5)
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.