Высота (треугольник)

Perpendicular line segment from a triangle's side to opposite vertex

Высота из точки А (пунктирный отрезок) пересекает продолженное основание в точке D (точка вне треугольника).

В геометрии высота треугольника — это отрезок прямой, проходящий через данную вершину (называемую вершиной ) и перпендикулярный линии, содержащей сторону или ребро, противоположное вершине. Это (конечное) ребро и (бесконечное) продолжение линии называются, соответственно, основанием и расширенным основанием высоты. Точка на пересечении расширенного основания и высоты называется основанием высоты . Длина высоты, часто называемая просто «высотой» или «высотой», символ h , — это расстояние между основанием и вершиной. Процесс проведения высоты от вершины к основанию известен как опускание высоты в этой вершине. Это особый случай ортогональной проекции .

Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника : половина произведения длины высоты на длину ее основания (символ b ) равна площади треугольника: A = h b /2. Таким образом, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .

В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя равными сторонами) высота, имеющая неравную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве своего основания. Также высота, имеющая неравную сторону в качестве основания, будет биссектрисой угла при вершине.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c, делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q . Если обозначить длину высоты через h _c , то получим соотношение

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  ( Теорема о среднем геометрическом ; см. Особые случаи, обратная теорема Пифагора )

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из каждого острого угла, совпадает с катетом и пересекает противолежащую сторону в вершине прямого угла (имеет основание в вершине), которая является ортоцентром.

Для остроугольных треугольников все основания высот падают на стороны треугольника (не продолженные). В тупоугольном треугольнике (с тупым углом ) основание высоты к тупоугольной вершине падает внутрь противоположной стороны, но основания высот к остроугольным вершинам падают на противоположную продолженную сторону , внешнюю по отношению к треугольнику. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупоугольном треугольнике высота, опущенная перпендикулярно из верхней вершины, которая имеет острый угол, пересекает продолженную горизонтальную сторону вне треугольника.

Теоремы

Ортоцентр

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для остроугольного треугольника находится внутри треугольника.

Ортоцентр треугольника , обычно обозначаемый как H , — это точка пересечения трех (возможно, продолженных) высот. ^{[1] [2]} Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный . Для прямоугольного треугольника ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом. ^[2]

Высота по сторонам

Для любого треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром высота из стороны a (основания) определяется по формуле ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

Это следует из объединения формулы Герона для площади треугольника через стороны с формулой площади , где основанием является сторона a , а высотой — высота из вершины A (противоположной стороне a ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

Заменив a на b или c , это уравнение можно также использовать для нахождения высот h _b и h _c соответственно.

Теоремы о вписанном радиусе

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b, c и с соответствующими высотами h _a , h _b , h _c . Высоты и радиус вписанной окружности r связаны соотношением ^{[3] : Лемма 1}

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

Теорема о радиусе окружности

Обозначим высоту одной стороны треугольника как h _a , две другие стороны как b и c , а радиус описанной окружности треугольника как R , тогда высота будет определяться как ^[4]

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

Внутренняя точка

Если p ₁ , p ₂ , p ₃ — перпендикулярные расстояния от любой точки P до сторон, а h ₁ , h ₂ , h ₃ — высоты до соответствующих сторон, то ^[5]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

Теорема площади

Обозначая высоты любого треугольника, проведенные к сторонам a, b, c, соответственно как h _a , h _b , h _c , а полусумму обратных величин высот обозначив так, имеем ^[6] ${\displaystyle H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Общая точка на высоте

Если E — любая точка на высоте AD любого треугольника △ ABC , то ^{[7] : 77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

Неравенство треугольника

Так как площадь треугольника равна , то из неравенства треугольника следует ^[8] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$ ${\displaystyle a<b+c}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$.

Особые случаи

Равносторонний треугольник

Из любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани .

Прямоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до его гипотенузы является геометрическим средним длин отрезков, на которые разделена гипотенуза. Используя теорему Пифагора о 3 треугольниках со сторонами ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) и ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

Сравнение обратной теоремы Пифагора с теоремой Пифагора

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c каждый из катетов также является высотой: ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{a}=b}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle h_{b}=a}$ . Третью высоту можно найти по соотношению ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Это также известно как обратная теорема Пифагора .

Обратите внимание в частности:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Медиана (геометрия)

Примечания

1. Смарт 1998, стр. 156
2. Berele & Goldman 2001, стр. 118
3. Дорин Андрика и Дэн Стефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства для Эйлера R ≥ 2r». Форум Geometricorum , том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
4. Джонсон 2007, стр. 71, Раздел 101a
5. Джонсон 2007, стр. 74, раздел 103c
6. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
7. Альфред С. Посаментье и Чарльз Т. Салкинд, Сложные задачи по геометрии , Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996.
8. Митчелл, Дуглас В., «Формула типа Герона для обратной площади треугольника», Mathematical Gazette 89 (ноябрь 2005 г.), 494.
9. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения », Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271. ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
10. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], College Geometry , Дувр
• Береле, Аллан; Голдман, Джерри (2001), Геометрия: теоремы и конструкции , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Богомольный, Александр . "Существование ортоцентра". Cut the Knot . Получено 17.12.2022 .
• Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry , Дувр, ISBN 978-0-486-46237-0
• Смарт, Джеймс Р. (1998), Современные геометрии (5-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Высота». Математический мир .