Основная теорема о гомоморфизмах

Теорема, связывающая группу с образом и ядром гомоморфизма

В абстрактной алгебре основная теорема о гомоморфизмах , также известная как основная теорема о гомоморфизме или первая теорема об изоморфизме , связывает структуру двух объектов, между которыми задан гомоморфизм , а также ядра и образа гомоморфизма.

Теорема о гомоморфизме используется для доказательства теорем об изоморфизме .

Теоретико-групповая версия

Схема основной теоремы о гомоморфизмах, где f — гомоморфизм, N — нормальная подгруппа группы G , а e — единичный элемент группы G.

Даны две группы G и H и гомоморфизм групп f  : G → H , пусть N — нормальная подгруппа в G и φ — естественный сюръективный гомоморфизм G → G / N (где G / N — фактор -группа G по N ). Если N — подмножество ker ( f ), то существует единственный гомоморфизм h  : G / N → H такой, что f = h ∘ φ ​​.

Другими словами, естественная проекция φ универсальна среди гомоморфизмов на G , которые отображают N в единичный элемент .

Ситуация описывается следующей коммутативной диаграммой :

h инъективен тогда и только тогда, когда N = ker( f ) . Поэтому, положив N = ker( f ) , мы немедленно получаем первую теорему об изоморфизме .

Утверждение основной теоремы о гомоморфизмах групп можно записать так: «всякий гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе ».

Доказательство

Доказательство следует из двух основных фактов о гомоморфизмах, а именно, их сохранение групповой операции и их отображение элемента тождества в элемент тождества. Нам нужно показать, что если является гомоморфизмом групп, то: ${\displaystyle \phi :G\to H}$

1. ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$является подгруппой ⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$ .
2. ${\displaystyle G/\ker(\phi )}$изоморфен ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ .

Доказательство 1

Операция, которая сохраняется, является групповой операцией. Если ⁠ ⁠ , то существуют элементы, такие что и ⁠ ⁠ . Для этих и ⁠ ⁠ , мы имеем (поскольку сохраняет групповую операцию), и, таким образом, свойство замыкания выполняется в ⁠ ⁠ . Элемент тождества также находится в , поскольку отображает элемент тождества в него. Поскольку каждый элемент в имеет обратный элемент такой, что (поскольку также сохраняет свойство обратного), мы имеем обратный элемент для каждого элемента в ⁠ ⁠ , следовательно, является подгруппой  ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a,b\in {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle a',b'\in G}$ ${\displaystyle \phi (a')=a}$ ${\displaystyle \phi (b')=b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab=\phi (a')\phi (b')=\phi (a'b')\in {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle e\in H}$ ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (a')^{-1}}$ ${\displaystyle \phi ((a')^{-1})=(\phi (a'))^{-1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (a')=a}$ ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle H}$

Доказательство 2

Построить отображение по ⁠ ⁠ . Это отображение хорошо определено, как если ⁠ ⁠ , то и поэтому , что дает ⁠ ⁠ . Это отображение является изоморфизмом. является сюръективным на по определению. Чтобы показать инъективность, если , то ⁠ ⁠ , что влечет so ⁠ ⁠ . Наконец, следовательно сохраняет групповую операцию. Следовательно является изоморфизмом между и ⁠ ⁠ , что завершает доказательство. ${\displaystyle \psi :G/\ker(\phi )\to {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))=\phi (a)}$ ${\displaystyle a\ker(\phi )=b\ker(\phi )}$ ${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi )}$ ${\displaystyle \phi (b^{-1}a)=e\Rightarrow \phi (b^{-1})\phi (a)=e}$ ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$ ${\displaystyle \psi (a\ker(\phi ))=\psi (b\ker(\phi ))}$ ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)}$ ${\displaystyle b^{-1}a\in \ker(\phi )}$ ${\displaystyle a\ker(\phi )=b\ker(\phi )}$ $${\displaystyle \psi ((a\ker(\phi ))(b\ker(\phi )))=\psi (ab\ker(\phi ))=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\psi (a\ker(\phi ))\psi (b\ker(\phi )),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle G/\ker(\phi )}$ ${\displaystyle {\text{im}}(\phi )}$

Приложения

Теоретико-групповая версия фундаментальной теоремы о гомоморфизме может быть использована для того, чтобы показать, что две выбранные группы изоморфны. Ниже показаны два примера.

Целые числа по модулюн

Для каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ рассмотрим группы и и гомоморфизм групп, определяемый формулой (см. модульную арифметику ). Далее рассмотрим ядро ​​⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , которое является нормальной подгруппой в ⁠ ⁠ . Существует естественный сюръективный гомоморфизм, определяемый формулой ⁠ ⁠ . Теорема утверждает, что существует изоморфизм между и ⁠ ⁠ , или, другими словами , ⁠ ⁠ . Коммутативная диаграмма проиллюстрирована ниже. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle m\mapsto m{\text{ mod }}n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\text{ker}}(f)=n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\mapsto m+n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Н/Стеорема

Пусть будет группой с подгруппой ⁠ ⁠ . Пусть ⁠ ⁠ , и будут централизатором , нормализатором и группой автоморфизмов в ⁠ ⁠ , соответственно. Тогда теорема N / C утверждает, что изоморфна подгруппе ⁠ ⁠ . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C_{G}(H)}$ ${\displaystyle N_{G}(H)}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$

Доказательство

Мы можем найти гомоморфизм групп , определяемый как ⁠ ⁠ , для всех ⁠ ⁠ . Очевидно, ядром является ⁠ ⁠ . Следовательно, у нас есть естественный сюръективный гомоморфизм, определяемый как ⁠ ⁠ . Тогда фундаментальная теорема о гомоморфизме утверждает, что существует изоморфизм между и ⁠ ⁠ , который является подгруппой ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f:N_{G}(H)\rightarrow {\text{Aut}}(H)}$ ${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{G}(H)}$ ${\displaystyle \varphi :N_{G}(H)\rightarrow N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ ${\displaystyle g\mapsto gC(H)}$ ${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ ${\displaystyle \varphi (N_{G}(H))}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$

Другие версии

Аналогичные теоремы справедливы для моноидов , векторных пространств , модулей и колец .

Смотрите также

• Категория коэффициента

Ссылки

• Бичи, Джон А. (1999), «Теорема 1.2.7 (Фундаментальная теорема о гомоморфизме)», Вводные лекции по кольцам и модулям, Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 47, Cambridge University Press, стр. 27, ISBN 9780521644075
• Гроув, Ларри К. (2012), «Теорема 1.11 (Фундаментальная теорема о гомоморфизме)», Алгебра, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, стр. 11, ISBN 9780486142135
• Якобсон, Натан (2012), «Основная теорема о гомоморфизмах Ω-алгебр», Basic Algebra II, Dover Books on Mathematics (2-е изд.), Courier Corporation, стр. 62, ISBN 9780486135212
• Роуз, Джон С. (1994), «3.24 Основная теорема о гомоморфизмах», Курс по теории групп [перепечатка оригинала 1978 года], Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, стр. 44–45, ISBN 0-486-68194-7, г-н  1298629