Особая точка кривой

Точка на кривой, не заданная гладким вложением параметра

В геометрии особой точкой кривой является точка , кривая которой не задана плавным вложением параметра . Точное определение особой точки зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраические кривые на плоскости

Алгебраические кривые на плоскости могут быть определены как набор точек ( x , y ) , удовлетворяющих уравнению вида, где f - полиномиальная функция. Если f расширяется как ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots }$$

(0, 0)a ₀ = 0b ₁ ≠ 0теорема о неявной функцииhy = h ( x )b ₀ ≠ 0kx = k ( y ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},}$$

регулярной вчастных производных

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.}$$

Обычные баллы

Предположим, что кривая проходит через начало координат, и напишите Тогда f можно записать ${\displaystyle y=mx.}$

$${\displaystyle f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .}$$

f = 0x = 0f = 0x ²x ³точкой перегибаx ²x ³точкой волнистости^[1] ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle b_{0}+mb_{1}=0}$ ${\displaystyle y=mx,}$ ${\displaystyle b_{0}x+b_{1}y=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}}$ ${\displaystyle y=mx.}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},}$

Двойные баллы

Три лимасона , иллюстрирующие типы двойной точки. При преобразовании в декартовы координаты левая кривая приобретает акнод в начале координат, который представляет собой изолированную точку на плоскости. Центральная кривая, кардиоида , имеет вершину в начале. Правая кривая имеет кривую в начале координат, и кривая пересекает сама себя, образуя петлю. ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

Если b ₀ и b ₁ оба равны 0 в приведенном выше разложении, но хотя бы один из c ₀ , c ₁ , c ₂ не равен 0, то начало координат называется двойной точкой кривой. Опять поставив f можно записать ${\displaystyle y=mx,}$

$${\displaystyle f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .}$$

${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Круноды

Если имеет два вещественных решения для m , то есть начало координат называется крюнодой . Кривая в этом случае пересекает себя в начале координат и имеет две различные касательные, соответствующие двум решениям функции f в этом случае имеет седловую точку в начале координат. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

Акноды

If не имеет действительных решений для m , то есть если тогда начало координат называется акнодом . В реальной плоскости начало координат представляет собой изолированную точку кривой; однако, если рассматривать ее как комплексную кривую, начало координат не изолировано и имеет две мнимые касательные, соответствующие двум комплексным решениям функции f в этом случае имеет локальный экстремум в начале координат. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.}$

выступы

Если имеет единственное решение кратности 2 для m , то есть если тогда начало координат называется точкой возврата . Кривая в этом случае меняет направление в начале координат, создавая острую точку. Кривая имеет одну касательную в начале координат, которую можно рассматривать как две совпадающие касательные. ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,}$

Дальнейшая классификация

Термин « узел» используется для обозначения либо крюнода, либо акнода, другими словами, двойной точки, которая не является точкой возврата. Число узлов и количество точек возврата на кривой — два инварианта, используемые в формулах Плюкера .

Если одно из решений является также решением то соответствующая ветвь кривой имеет точку перегиба в начале координат. В этом случае начало координат называется flecnode . Если обе касательные обладают этим свойством, то и начало координат называется бифлекнодом . ^[2] ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,}$ ${\displaystyle c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}}$ ${\displaystyle d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},}$

Несколько точек

Кривая с тройной точкой в ​​начале координат: x ( t ) = sin(2 t ) + cos( t ) , y ( t ) = sin( t ) + cos(2 t )

В общем, если все члены степени меньше k равны 0 и хотя бы один член степени k не равен 0 в f , то говорят, что кривая имеет кратную точку порядка k или k-ple точку . Как правило, кривая будет иметь k касательных в начале координат, хотя некоторые из этих касательных могут быть мнимыми. ^[3]

Параметрические кривые

Параметризованная кривая определяется как образ функции. Особые точки — это те точки, в которых ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).}$

$${\displaystyle {\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.}$$

Острие полукубической параболы ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$

Многие кривые могут быть определены любым способом, но эти два определения могут не совпадать. Например, точка возврата может быть определена на алгебраической кривой или на параметризованной кривой. Оба определения дают особую точку в начале координат. Однако узел, такой как узел в начале координат, является особенностью кривой, рассматриваемой как алгебраическая кривая, но если мы параметризуем его как, то он никогда не обращается в нуль, и, следовательно, узел не является особенностью параметризованной кривой, как определено выше. ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2},t^{3}).}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),}$ ${\displaystyle g'(t)}$

При выборе параметризации следует проявлять осторожность. Например, можно параметризовать прямую линию y = 0 , которая имеет особенность в начале координат. В параметризованном виде он несингулярен. Следовательно, технически правильнее здесь говорить об особых точках гладкого отображения , а не об особых точках кривой. ${\displaystyle g(t)=(t^{3},0),}$ ${\displaystyle g(t)=(t,0),}$

Приведенные выше определения можно расширить, чтобы охватить неявные кривые , которые определяются как нулевое множество гладкой функции , и нет необходимости просто рассматривать алгебраические многообразия. Определения могут быть расширены, чтобы охватить кривые более высоких измерений. ${\displaystyle f^{-1}(0)}$

Теорема Хасслера-Уитни ^{[4] [5]} гласит :

Теорема  .  Любое замкнутое множество встречается как множество решений некоторой гладкой функции. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .}$

Любую параметризованную кривую можно также определить как неявную кривую, а классификацию особых точек кривых можно изучать как классификацию особых точек алгебраического многообразия .

Типы особых точек

Некоторые из возможных особенностей:

• Изолированная точка : акнод ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0,}$
• Пересечение двух линий: крюнода ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0,}$
• Сборка : также называется спинодом ${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
• Такнод : _ ${\displaystyle x^{4}-y^{2}=0}$
• Рамфоидный бугорок : ${\displaystyle x^{5}-y^{2}=0.}$

Смотрите также

• Особая точка алгебраического многообразия
• Теория сингулярности
• Теория Морса

Рекомендации

1. Хилтон Глава II §1
2. Хилтон Глава II §2
3. Хилтон Глава II §3
4. Че. Брёкер, Дифференцируемые микробы и катастрофы , Лондонское математическое общество. Конспект лекций 17. Кембридж, (1975).
5. Брюс и Гиблин, Кривые и особенности , (1984, 1992) ISBN  0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (мягкая обложка) 

• Хилтон, Гарольд (1920). «Глава II: Особые точки». Плоские алгебраические кривые. Оксфорд.