Полезность

Концепция в экономике и теории игр

В экономике полезность — это мера удовлетворения, которое получает определенный человек от определенного состояния мира. Со временем этот термин стал использоваться в двух разных значениях.

• Этот термин был первоначально введен как мера удовольствия или счастья как часть теории утилитаризма философами-моралистами, такими как Джереми Бентам и Джон Стюарт Милль . В этом контексте полезности разных людей в одном и том же государстве сопоставимы. В частности, можно вычислить сумму полезностей всех людей в каждом штате и выбрать состояние, в котором эта сумма максимальна; это приводит к утилитарному правилу социального выбора.
• Этот термин был адаптирован и повторно применен в рамках неоклассической экономики , которая доминирует в современной экономической теории, как представление порядковых предпочтений потребителя по сравнению с набором вариантов выбора. В этом контексте полезность не сравнима между разными потребителями и не имеет кардинальной интерпретации. Фактически, каждое монотонное преобразование функции полезности представляет собой один и тот же порядковый номер альтернатив и, таким образом, эквивалентно с точки зрения неоклассической экономики. В теории игр полезность употребляется в том же значении. Эта концепция полезности является личной и основана на выборе, а не на полученном удовольствии, и поэтому требует меньше поведенческих предположений, чем исходная концепция.

Вспомогательная функция

Рассмотрим набор альтернатив, среди которых человек имеет порядок предпочтений. Функция полезности представляет собой такое упорядочение, если можно присвоить вещественное число каждой альтернативе таким образом, что альтернативе a будет присвоено число, большее, чем альтернативе b, тогда и только тогда, когда индивид предпочитает альтернативу a альтернативе b . В этой ситуации тот, кто выбирает наиболее предпочтительную альтернативу, обязательно также выбирает альтернативу, которая максимизирует соответствующую функцию полезности.

Предположим, у Джеймса есть функция полезности, равная количеству яблок и количеству шоколадных конфет. В альтернативе А есть яблоки и шоколад; альтернатива Б включает яблоки и шоколад. Включение значений в функцию полезности дает результаты для альтернативы A и для B, поэтому Джеймс предпочитает альтернативу B. В общих экономических терминах функция полезности ранжирует предпочтения в отношении набора товаров и услуг. ${\displaystyle U={\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=9}$ ${\displaystyle y=16}$ ${\displaystyle x=13}$ ${\displaystyle y=13}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle {\sqrt {9\times 16}}=12}$ ${\displaystyle {\sqrt {13\times 13}}=13}$

Жерар Дебре вывел условия, необходимые для того, чтобы порядок предпочтений был представлен функцией полезности. ^[1] Для конечного набора альтернатив требуется только, чтобы порядок предпочтений был полным (чтобы человек мог определить, какая из любых двух альтернатив является предпочтительной или что они безразличны), и чтобы порядок предпочтений был транзитивным .

Если набор альтернатив не конечен (например, потому, что даже если количество товаров конечно, выбранное количество может быть любым действительным числом на интервале), существует непрерывная функция полезности, представляющая предпочтения потребителя тогда и только тогда, когда предпочтения потребителя являются полными, переходными и непрерывными. ^[2]

Приложения

Полезность может быть представлена ​​через наборы кривых безразличия , которые являются кривыми уровня самой функции и отображают комбинацию товаров, которые индивидуум принял бы для поддержания заданного уровня удовлетворения. Сочетание кривых безразличия с бюджетными ограничениями позволяет получить индивидуальные кривые спроса .

Схема общей кривой безразличия показана ниже (рис. 1). Вертикальные и горизонтальные оси представляют индивидуальное потребление товаров Y и X соответственно. Все комбинации товаров X и Y на одной и той же кривой безразличия рассматриваются индивидами безразлично, что означает, что все комбинации на кривой безразличия приводят к одной и той же стоимости полезности.

Рисунок 1

Индивидуальную полезность и социальную полезность можно истолковать как значение функции полезности и функции общественного благосостояния соответственно. В сочетании с производственными или товарными ограничениями при некоторых предположениях эти функции можно использовать для анализа эффективности Парето , например, как это показано в ячейках Эджворта на кривых контрактов . Такая эффективность является основной концепцией экономики благосостояния .

Предпочтение

Хотя предпочтения являются общепринятой основой теории выбора в микроэкономике , часто бывает удобно представить предпочтения с помощью функции полезности . Пусть X будет набором потребления , набором всех взаимоисключающих корзин, которые потребитель может предположительно потребить. Функция полезности потребителя ранжирует каждый возможный результат в наборе потребления. Если потребитель строго предпочитает x по сравнению с y или безразличен между ними, то . ${\displaystyle u\colon X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u(x)\geq u(y)}$

Например, предположим, что потребительский набор потребителя равен X = {ничего, 1 яблоко, 1 апельсин, 1 яблоко и 1 апельсин, 2 яблока, 2 апельсина}, а его функция полезности равна u (ничего) = 0, u (1 яблоко). = 1, u (1 апельсин) = 2, u (1 яблоко и 1 апельсин) = 5, u (2 яблока) = 2 и u (2 апельсина) = 4. Тогда этот потребитель предпочитает 1 апельсин 1 яблоку, но предпочитает по одному каждому по 2 апельсина.

В микроэкономических моделях обычно имеется ограниченный набор L товаров, и потребитель может потреблять произвольное количество каждого товара. Это дает набор потребления , а каждая упаковка представляет собой вектор, содержащий количество каждого товара. Например, есть два товара: яблоки и апельсины. Если мы скажем, что яблоки — это первый товар, а апельсины — второй, то потребительский набор таков: и u (0, 0) = 0, u (1, 0) = 1, u (0, 1) = 2, u (1 , 1) = 5, u (2, 0) = 2, u (0, 2) = 4, как и раньше. Однако для того , чтобы u была функцией полезности для  X , она должна быть определена для каждого пакета в  X , поэтому теперь функцию необходимо определить и для дробных яблок и апельсинов. Одна функция, которая соответствует этим числам, — это ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{L}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}^{L}}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}^{2}}$ ${\displaystyle u(x_{apples},x_{oranges})=x_{apples}+2x_{oranges}+2x_{apples}x_{oranges}.}$

Предпочтения имеют три основных свойства :

• Полнота

Предположим, у человека есть два выбора: A и B. При ранжировании этих двух вариантов становится верным одно и только одно из следующих отношений: человек строго предпочитает A (A>B); индивид строго предпочитает В (В>А); индивидууму безразлично между А и В (А=В). Либо a ≥ b ИЛИ b ≥ a (ИЛИ оба) для всех (a,b)

• Транзитивность

Предпочтения отдельных людей по пакетам одинаковы. Если человек предпочитает набор A набору B и предпочитает набор B набору C, то можно предположить, что человек предпочитает набор A набору C. (Если a ≥ b и b ≥ c, то a ≥ c для всех ( а,б,в)).

• Ненасыщение

Выявленные предпочтения

Было признано, что полезность нельзя измерить или наблюдать напрямую, поэтому вместо этого экономисты разработали способ делать выводы об относительной полезности на основе наблюдаемого выбора. Эти «выявленные предпочтения», как их назвал Пол Самуэльсон , проявляются, например, в готовности людей платить:

Предполагается, что полезность коррелирует с Желанием или Желанием. Уже утверждалось, что желания не могут быть измерены непосредственно, а только косвенно, по внешним явлениям, которые они вызывают; и что в тех случаях, которыми в основном занимается экономика, мера находится в цене, которую человек готов заплатить за исполнение или удовлетворение его желания. ^{[3] : 78}

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Функции

Функции полезности , выражающие полезность как функцию количества различных потребляемых товаров, рассматриваются как кардинальные или порядковые , в зависимости от того, интерпретируются они или нет как предоставляющие больше информации, чем просто ранжирование предпочтений среди наборов товаров. например, информация о силе предпочтений.

Кардинал

Кардинальная полезность утверждает, что полезности, полученные от потребления, можно измерить и ранжировать объективно и представить в числах. ^[4] Существуют фундаментальные предположения о кардинальной полезности. Экономические агенты должны иметь возможность ранжировать различные наборы товаров на основе своих собственных предпочтений или полезностей, а также сортировать различные переходы двух наборов товаров. ^[5]

Кардинальную функцию полезности можно преобразовать в другую функцию полезности с помощью положительного линейного преобразования (умножения на положительное число и добавления другого числа); однако обе функции полезности представляют одни и те же предпочтения. ^[6]

Когда предполагается кардинальная полезность, величина различий в полезности рассматривается как этически или поведенчески значимая величина. Например, предположим, что полезность чашки апельсинового сока равна 120 единицам полезности, полезность чашки чая равна 80 единицам полезности, а полезность чашки воды равна 40 единицам полезности. Учитывая кардинальную полезность, можно заключить, что чашка апельсинового сока лучше, чем чашка чая, ровно на столько же, на сколько чашка чая лучше, чем чашка воды. Формально это означает, что если у человека есть чашка чая, он или она будут готовы принять любую ставку с вероятностью p больше 0,5 получить чашку сока с риском получить чашку воды. равен 1-п. Однако нельзя заключить, что чашка чая составляет две трети полезности чашки сока, потому что этот вывод будет зависеть не только от величины различий в полезности, но и от «нуля» полезности. Например, если «нуль» полезности находится на уровне -40, то чашка апельсинового сока будет на 160 единиц больше нуля, чашка чая — на 120 единиц больше нуля. Кардинальную полезность можно рассматривать как предположение о том, что полезность можно измерить с помощью количественных характеристик, таких как рост, вес, температура и т. д.

Неоклассическая экономика в значительной степени отказалась от использования кардинальных функций полезности в качестве основы экономического поведения. Заметным исключением является контекст анализа выбора с учетом условий риска (см. ниже).

Иногда кардинальная полезность используется для агрегирования полезностей между людьми, чтобы создать функцию социального благосостояния .

Порядковый номер

Вместо того, чтобы давать фактические цифры по различным наборам, порядковые полезности представляют собой лишь ранжирование полезностей, полученных от различных наборов товаров или услуг. ^[4] Например, порядковая полезность может сказать, что наличие двух мороженых приносит индивиду большую полезность по сравнению с одним мороженым, но не может точно сказать, какую дополнительную полезность получает человек. Порядковая полезность: индивиды не обязаны указывать, какую дополнительную полезность они получили от предпочтительного набора товаров или услуг по сравнению с другими наборами. От них требуется только сообщить, какие пакеты они предпочитают.

Когда используются порядковые полезности, различия в полезностях (значениях, принимаемых функцией полезности) рассматриваются как этически или поведенчески бессмысленные: индекс полезности кодирует полное поведенческое упорядочение между членами набора выбора, но ничего не говорит о связанной с этим силе предпочтений . В приведенном выше примере можно было бы сказать только то, что сок предпочтительнее чая, чем воды. Таким образом, порядковая полезность использует сравнения, такие как «предпочтительно», «не больше», «меньше чем» и т. д.

Если функция порядковая и неотрицательная, она эквивалентна функции , поскольку возведение в квадрат является возрастающим монотонным (или монотонным) преобразованием . Это означает, что порядковое предпочтение, индуцированное этими функциями, одинаково (хотя это две разные функции). Напротив, если кардинально, то оно не эквивалентно . ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)^{2}}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle u(x)^{2}}$

Примеры

Чтобы упростить расчеты, были сделаны различные альтернативные предположения относительно деталей человеческих предпочтений, которые подразумевают различные альтернативные функции полезности, такие как:

• CES ( постоянная эластичность замещения ).
• Изоэластичная полезность
• Экспоненциальная полезность
• Квазилинейная полезность
• Гомотетические предпочтения
• Функция полезности Стоуна – Гири
• Полярная форма Гормана
  • Предпочтения Гринвуда-Герковица-Хаффмана
  • Предпочтения Кинга-Плоссера-Ребело
• Гиперболическое абсолютное неприятие риска

Большинство функций полезности, используемых для моделирования или теории, ведут себя хорошо. Они обычно монотонны и квазивогнуты. Однако рациональные предпочтения могут не быть представлены функцией полезности. Примером являются лексикографические предпочтения , которые не являются непрерывными и не могут быть представлены непрерывной функцией полезности. ^[7]

Предельная полезность

Экономисты различают общую полезность и предельную полезность. Общая полезность — это полезность альтернативы, всего потребительского набора или ситуации в жизни. Скорость изменения полезности при изменении количества потребляемого товара называется предельной полезностью этого товара. Таким образом, предельная полезность измеряет наклон функции полезности по отношению к изменениям одного товара. ^[8] Предельная полезность обычно уменьшается с потреблением товара, идея «уменьшения предельной полезности». В обозначениях исчисления предельная полезность товара X равна . Когда предельная полезность товара положительна, дополнительное его потребление увеличивает полезность; если ноль, потребитель сыт и безразличен к потреблению большего; если он отрицательный, потребитель заплатит за сокращение своего потребления. ^[9] ${\displaystyle MU_{x}={\frac {\partial U}{\partial X}}}$

Закон убывающей предельной полезности

Рациональные люди потребляют дополнительные единицы товара только в том случае, если это увеличивает предельную полезность. Однако закон убывающей предельной полезности означает, что дополнительная потребляемая единица приносит меньшую предельную полезность, чем та, которую принесла предыдущая потребленная единица. Например, выпитая одна бутылка воды насыщает жаждущего человека; по мере увеличения потребления воды он может почувствовать себя плохо, в результате чего предельная полезность упадет до нуля или даже станет отрицательной. Кроме того, это также используется для анализа прогрессивных налогов, поскольку более высокие налоги могут привести к потере полезности.

Предельная норма замещения (MRS)

Предельная норма замещения — это наклон кривой безразличия, который измеряет, насколько человек готов переключиться с одного товара на другой. Используя математическое уравнение, сохраняя U (x1,x2) постоянным. Таким образом, MRS — это то, сколько человек готов заплатить за потребление большего количества x1. ${\displaystyle MRS=-\operatorname {d} \!x_{2}/\operatorname {d} \!x_{1}}$

MRS связана с предельной полезностью. Связь между предельной полезностью и MRS такова: ^[8] ${\displaystyle MRS={\frac {MU_{1}}{MU_{2}}}}$

Ожидаемая полезность

Теория ожидаемой полезности занимается анализом выбора среди рискованных проектов с множественными (возможно, многомерными) результатами.

Парадокс Санкт-Петербурга был впервые предложен Николаем Бернулли в 1713 году и решен Даниэлем Бернулли в 1738 году. Д. Бернулли утверждал, что парадокс можно разрешить, если лица, принимающие решения, проявят неприятие риска и приведут доводы в пользу логарифмической кардинальной функции полезности. (Анализ данных международных опросов XXI века показал, что, поскольку полезность представляет собой счастье, что касается утилитаризма , она действительно пропорциональна логарифму дохода.)

Первым важным применением теории ожидаемой полезности было использование Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна , которые использовали предположение о максимизации ожидаемой полезности в своей формулировке теории игр .

При нахождении средневзвешенного по вероятности полезности от каждого возможного результата:

${\displaystyle {\text{EU}}=\Pr(z)\cdot u({\text{Value}}(z))+\Pr(y)\cdot u({\text{Value}}(y))}$

фон Нейман – Моргенштерн

Фон Нейман и Моргенштерн рассматривали ситуации, в которых результаты выбора не известны с уверенностью, но с ними связаны вероятности.

Обозначение лотереи следующее : если варианты A и B имеют вероятность p и 1 −  p в лотерее, мы записываем ее в виде линейной комбинации:

${\displaystyle L=pA+(1-p)B}$

В более общем смысле, для лотереи со многими возможными вариантами:

${\displaystyle L=\sum _{i}p_{i}A_{i},}$

где . ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$

Сделав некоторые разумные предположения о том, как ведет себя выбор, фон Нейман и Моргенштерн показали, что если агент может выбирать между лотереями, то у этого агента есть функция полезности, так что желательность произвольной лотереи можно вычислить как линейную комбинацию полезности его частей, где веса представляют собой вероятности их появления.

Это называется теоремой об ожидаемой полезности . Требуемые предположения представляют собой четыре аксиомы о свойствах отношения предпочтения агента по сравнению с «простыми лотереями», которые представляют собой лотереи всего с двумя вариантами выбора. Аксиомы , означающие «А слабо предпочтительнее Б» («А предпочтительнее, по крайней мере, в такой же степени, как и Б»), таковы: ${\displaystyle B\preceq A}$

1. полнота: для любых двух простых лотерей и , либо или (или обоих, в этом случае они считаются одинаково желательными). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\preceq M}$ ${\displaystyle M\preceq L}$
2. транзитивность: для любых трех лотерей , если и , то . ${\displaystyle L,M,N}$ ${\displaystyle L\preceq M}$ ${\displaystyle M\preceq N}$ ${\displaystyle L\preceq N}$
3. выпуклость/непрерывность (свойство Архимеда): Если , то между 0 и 1 существует такое, что лотерея одинаково желательна, как и . ${\displaystyle L\preceq M\preceq N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle pL+(1-p)N}$ ${\displaystyle M}$
4. независимость: для любых трех лотерей и любой вероятности p тогда и только тогда, когда . Интуитивно понятно, что если лотерея, образованная вероятностной комбинацией и , не более предпочтительна, чем лотерея, образованная той же вероятностной комбинацией, и тогда и только тогда . ${\displaystyle L,M,N}$ ${\displaystyle L\preceq M}$ ${\displaystyle pL+(1-p)N\preceq pM+(1-p)N}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle L\preceq M}$

Аксиомы 3 и 4 позволяют нам принять решение об относительной полезности двух активов или лотерей.

Говоря более формальным языком: функция полезности фон Неймана – Моргенштерна — это функция от выбора до действительных чисел:

${\displaystyle u\colon X\to \mathbb {R} }$

который присваивает реальное число каждому результату таким образом, чтобы отражать предпочтения агента по сравнению с простыми лотереями. Используя четыре упомянутых выше предположения, агент предпочтет лотерею лотерее тогда и только тогда, когда для функции полезности, характеризующей этого агента, ожидаемая полезность больше, чем ожидаемая полезность : ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$

${\displaystyle L_{1}\preceq L_{2}{\text{ iff }}u(L_{1})\leq u(L_{2})}$.

Из всех аксиом чаще всего отбрасывают независимость. Возникло множество обобщенных теорий ожидаемой полезности , большинство из которых опускают или ослабляют аксиому независимости.

Косвенная полезность

Косвенная функция полезности дает оптимально достижимое значение данной функции полезности, которое зависит от цен на товары и уровня дохода или богатства, которым обладает человек.

Деньги

Одним из применений концепции косвенной полезности является понятие полезности денег. (Косвенная) функция полезности для денег — это нелинейная функция, ограниченная и асимметричная относительно начала координат. Функция полезности имеет вогнутую положительную область, что представляет собой явление убывающей предельной полезности . Ограниченность представляет собой тот факт, что за пределами определенной суммы деньги вообще перестают быть полезными, поскольку размер любой экономики в это время сам по себе ограничен. Асимметрия происхождения отражает тот факт, что получение и потеря денег могут иметь совершенно разные последствия как для частных лиц, так и для бизнеса. Нелинейность функции полезности для денег имеет глубокие последствия в процессах принятия решений: в ситуациях, когда результаты выбора влияют на полезность посредством выигрыша или потери денег, что является нормой для большинства условий бизнеса, оптимальный выбор для данного решения зависит от возможных результатов всех других решений в тот же период времени. ^[10]

Ограничения бюджета

Потребление людей ограничивается их бюджетными пособиями. График бюджетной линии представляет собой линейную, наклоненную вниз линию между осями X и Y. Все пакеты потребления в рамках бюджетной линии позволяют людям потреблять, не используя весь бюджет, поскольку общий бюджет превышает общую стоимость пакетов (рис. 2). Если рассматривать только цены и количества двух товаров в одном наборе, бюджетное ограничение можно сформулировать как , где и – цены двух товаров, а – количества двух товаров. ${\displaystyle p_{1}X_{1}+p_{2}X_{2}=Y}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

фигура 2

${\displaystyle {\text{Slope}}={\frac {-P(x)}{P(y)}}}$

Ограниченная оптимизация полезности

Рациональные потребители желают максимизировать свою полезность. Однако, поскольку у них есть бюджетные ограничения, изменение цены повлияет на объем спроса. Эту ситуацию можно объяснить двумя факторами:

• Покупательная способность. Индивиды приобретают большую покупательную способность, когда цена товара снижается. Снижение цены позволяет людям увеличить свои сбережения, чтобы они могли позволить себе покупать другие продукты.
• Эффект замещения. Если цена товара А снижается, то этот товар становится относительно дешевле по сравнению с его заменителями. Таким образом, люди будут потреблять больше товара А, поскольку при этом полезность увеличится.

Обсуждение и критика

Экономист из Кембриджа Джоан Робинсон, как известно, раскритиковала полезность за замкнутость концепции: «Полезность — это качество товаров , которое заставляет людей хотеть их покупать, и тот факт, что люди хотят покупать товары, показывает, что они обладают полезностью». ^{[11] : 48} Робинсон также заявил, что, поскольку теория предполагает, что предпочтения фиксированы, это означает, что полезность не является проверяемым предположением. Это так, потому что, если мы наблюдаем изменения в поведении людей в связи с изменением цен или изменением бюджетного ограничения, мы никогда не сможем быть уверены, в какой степени изменение в поведении было вызвано изменением цены или бюджетного ограничения и насколько произошло из-за смены предпочтений. ^{[12] [ ненадежный источник ]} Эта критика аналогична критике философа Ганса Альберта , который утверждал, что условия ceteris paribus (при прочих равных условиях), на которых зиждется маржиналистская теория спроса, превратили саму теорию в бессмысленную тавтологию , не поддающуюся проверке. экспериментально. ^{[13] [ ненадежный источник ]} По сути, кривая спроса и предложения (теоретическая линия количества продукта, который был бы предложен или запрошен по данной цене) является чисто онтологическим и никогда не могла быть продемонстрирована эмпирически ^{[ сомнительно ]} .

На другие вопросы о том, какие аргументы следует включать в функцию полезности, ответить трудно, но они кажутся необходимыми для понимания полезности. Получают ли люди полезность от согласованности желаний , убеждений или чувства долга , важно для понимания их поведения в органоне полезности . ^[14] Аналогичным образом, выбор между альтернативами сам по себе является процессом определения того, что считать альтернативами, вопросом выбора в условиях неопределенности. ^[15]

Теория эволюционной психологии заключается в том, что полезность лучше рассматривать как обусловленную предпочтениями, которые максимизировали эволюционную приспособленность в среде предков, но не обязательно в нынешней. ^[16]

Измерение функций полезности

Существует множество эмпирических работ, пытающихся оценить форму функций полезности агентов по отношению к деньгам. ^[17]

Смотрите также

• Портал бизнеса и экономики

• Экономика счастья
• Закон спроса
• Предельная полезность
• Проблема максимизации полезности - проблема, с которой сталкиваются потребители на рынке: как максимизировать свою полезность с учетом своего бюджета.
• Оценка полезности - процессы оценки функций полезности людей.

Рекомендации

1. Дебре, Жерар (1954), «Представление порядка предпочтений с помощью числовой функции», в Тралле, Роберт М.; Кумбс, Клайд Х .; Райффа, Ховард (ред.), Процессы принятия решений , Нью-Йорк: Wiley, стр. 159–167, OCLC  639321.
2. Джеле, Джеффри; Рени, Филипп (2011), Передовая микроэкономическая теория , Прентис Холл, Financial Times, стр. 13–16, ISBN 978-0-273-73191-7.
3. Маршалл, Альфред (1920). Принципы экономики. Вводный том (8-е изд.). Лондон: Макмиллан.
4. Доминик, Сальваторе (2008). Принципы микроэкономики . Нью-Дели: Оксфордское высшее образование/Издательство Оксфордского университета. п. 60. ИСБН 9780198062301.
5. Лин, Чунг-Ченг; Пэн, Ши-Шу (2019). «Роль убывающей предельной полезности в теориях порядковой и кардинальной полезности». Австралийские экономические документы . 58 (3): 233–246. дои : 10.1111/1467-8454.12151. S2CID  159308055 — через онлайн-библиотеку Wiley.
6. Москати, Иван (2013). «Как кардинальная полезность вошла в экономический анализ, 1909–1944». Электронный журнал ССРН . дои : 10.2139/ssrn.2296881 . HDL : 10419/149700 . ISSN  1556-5068. S2CID 55651414 . Архивировано из оригинала 20 октября 2023 года. 
7. Ингерсолл, Джонатан Э. младший (1987). Теория принятия финансовых решений . Тотова: Роуман и Литтлфилд. п. 21. ISBN 0-8476-7359-6.
8. Кастро, Луис Карвалью; Араужо, Антониу Соуза (2019). «Предельная полезность и методы ее уменьшения» (PDF) . Международный журнал налоговой экономики и управления : 36–47. eISSN  2618-1118.
9. Блументаль, Эндрю. «Предельная полезность». Инвестопедия . Проверено 25 апреля 2021 г.
10. Бергер, Дж. О. (1985). «Полезность и потеря». Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-96098-8.
11. Робинсон, Джоан (1962). Экономическая философия . Хармондсворт, средний пол, Великобритания: Penguin Books.
12. Пилкингтон, Филип (17 февраля 2014 г.). «Критика теории предельной полезности Джоан Робинсон». Исправление экономистов . Архивировано из оригинала 13 июля 2015 года.
13. Пилкингтон, Филип (27 февраля 2014 г.). «Полезность Ганс Альберт расширяет критику теории предельной полезности Робинсона до закона спроса». Исправление экономистов . Архивировано из оригинала 19 июля 2015 года.
14. Кляйн, Дэниел (май 2014 г.). «Профессор» (PDF) . Экономический журнал Watch . 11 (2): 97–105. Архивировано (PDF) из оригинала 5 октября 2014 года . Проверено 15 ноября 2014 г.
15. Берк, Кеннет (1932). На пути к лучшей жизни . Беркли, Калифорния: Издательство Калифорнийского университета.
16. Капра, К. Моника; Рубин, Пол Х. (2011). «Эволюционная психология экономики». Прикладная эволюционная психология . Издательство Оксфордского университета. doi :10.1093/acprof:oso/9780199586073.003.0002. ISBN 9780191731358.
17. Кирби, Крис Н. (2011). «Эмпирическая оценка формы функций полезности». psycnet.apa.org . Проверено 31 октября 2023 г.

дальнейшее чтение

• Ананд, Пол (1993). Основы рационального выбора в условиях риска . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-823303-5.
• Фишберн, Питер К. (1970). Теория полезности для принятия решений . Хантингтон, Нью-Йорк: Роберт Э. Кригер. ISBN 0-88275-736-9.
• Джорджеску-Роген, Николас (август 1936 г.). «Чистая теория поведения потребителя». Ежеквартальный экономический журнал . 50 (4): 545–593. дои : 10.2307/1891094. JSTOR  1891094.
• Гильбоа, Ицхак (2009). Теория принятия решений в условиях неопределенности . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-74123-1.
• Крепс, Дэвид М. (1988). Заметки по теории выбора . Боулдер, Колорадо: West-view Press. ISBN 0-8133-7553-3.
• Нэш, Джон Ф. (1950). «Проблема переговоров». Эконометрика . 18 (2): 155–162. дои : 10.2307/1907266. JSTOR  1907266. S2CID  153422092.
• Нойман, Джон фон и Моргенштерн, Оскар (1944). Теория игр и экономического поведения. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория (второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. стр. 53–87. ISBN 0-03-020831-9.
• Плюс, С. (1993). Психология суждений и принятия решений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-050477-6.

Внешние ссылки

• Определение полезности от Investopedia
• Анатомия функций полезности типа Кобба-Дугласа в 3D
• Анатомия служебных функций типа CES в 3D
• Упрощенное определение на примере из Investopedia
• Максимизация оригинальности – новое определение классической полезности
• Полезная модель маркетинга — форма, место. Архивировано 12 ноября 2015 г. в Wayback Machine , Time.

Архивировано 30 октября 2015 года в Wayback Machine , Possession и, возможно, Task.