Эквивариантная карта

В математике эквивариантность — это форма симметрии для функций из одного пространства с симметрией в другое (например, симметричные пространства ). Функция называется эквивариантным отображением , когда на ее область определения и кодомен действует одна и та же группа симметрии , и когда функция коммутирует с действием группы. То есть применение преобразования симметрии и последующее вычисление функции дает тот же результат, что и вычисление функции и последующее применение преобразования.

Эквивариантные отображения обобщают концепцию инвариантов , функций, значение которых не изменяется при преобразовании симметрии их аргумента. Значение эквивариантного отображения часто (неточно) называют инвариантом.

В статистическом выводе эквивариантность при статистических преобразованиях данных является важным свойством различных методов оценки; см. подробности в разделе инвариантная оценка . В чистой математике эквивариантность является центральным объектом изучения в эквивариантной топологии и ее подразделах эквивариантные когомологии и эквивариантная стабильная гомотопическая теория .

Примеры

Элементарная геометрия

Центроид треугольника (где встречаются три красных сегмента) эквивариантен относительно аффинных преобразований : центроид преобразованного треугольника — это та же точка, что и преобразование центроида треугольника.

В геометрии треугольников площадь и периметр треугольника являются инвариантами относительно евклидовых преобразований : перенос, поворот или отражение треугольника не изменяют его площадь или периметр. Однако центры треугольников , такие как центроид , центр описанной окружности , инцентр и ортоцентр, не являются инвариантами, поскольку перемещение треугольника также приведет к перемещению его центров. Вместо этого эти центры являются эквивариантными: применение любой евклидовой конгруэнции (комбинации переноса и поворота) к треугольнику, а затем построение его центра, дает ту же точку, что и построение центра, а затем применение той же конгруэнции к центру. В более общем смысле, все центры треугольников также эквивариантны относительно преобразований подобия (комбинации переноса, поворота, отражения и масштабирования), ^[1] а центроид является эквивариантным относительно аффинных преобразований . ^[2]

Одна и та же функция может быть инвариантной для одной группы симметрий и эквивариантной для другой группы симметрий. Например, при преобразованиях подобия вместо конгруэнтности площадь и периметр больше не инвариантны: масштабирование треугольника также изменяет его площадь и периметр. Однако эти изменения происходят предсказуемым образом: если треугольник масштабируется в s раз $,$ периметр также масштабируется в $s$ , а площадь масштабируется в $s 2$ . Таким образом, функция, отображающая каждый треугольник в его площадь или периметр, может рассматриваться как эквивариантная для мультипликативного группового действия масштабирующих преобразований на положительных действительных числах.

Статистика

Другой класс простых примеров исходит из статистической оценки . Среднее значение выборки (набора действительных чисел) обычно используется в качестве центральной тенденции выборки. Оно эквивариантно относительно линейных преобразований действительных чисел, поэтому, например, на него не влияет выбор единиц, используемых для представления чисел. Напротив, среднее значение не эквивариантно относительно нелинейных преобразований, таких как экспоненциальные.

Медиана выборки является эквивариантной для гораздо большей группы преобразований, (строго) монотонных функций действительных чисел. Этот анализ показывает, что медиана более устойчива к определенным видам изменений в наборе данных, и что (в отличие от среднего) она имеет смысл для порядковых данных . ^[3]

Для формализации этого стиля анализа были использованы концепции инвариантной оценки и эквивариантной оценки.

Теория представления

В теории представлений конечных групп векторное пространство, снабженное группой, которая действует линейными преобразованиями пространства, называется линейным представлением группы. Линейное отображение , которое коммутирует с действием, называется интертвинером . То есть интертвинер — это просто эквивариантное линейное отображение между двумя представлениями. С другой стороны, интертвинер для представлений группы $G$ над полем $K$ — это то же самое, что и гомоморфизм модулей K $[G] -$ модулей , где $K [G]$ — групповое кольцо группы G . ^[4]

При некоторых условиях, если X и Y являются неприводимыми представлениями , то переплетчик (отличный от нулевого отображения ) существует только в том случае, если два представления эквивалентны (то есть изоморфны как модули ). Тогда этот переплетчик уникален с точностью до мультипликативного множителя (ненулевого скаляра из $K$ ). Эти свойства выполняются, когда образ $K [G]$ является простой алгеброй с центром $K$ (по так называемой лемме Шура : см. простой модуль ). Как следствие, в важных случаях построения переплетчика достаточно, чтобы показать, что представления фактически одинаковы. ^[5]

Формализация

Эквивариантность можно формализовать с помощью концепции $G$ -множества для группы $G.$ Это математический объект, состоящий из математического множества $S$ и группового действия (слева) $G$ на $S.$ Если $X$ и $Y$ оба являются $G$ -множествами для одной и той же группы $G$ , то функция $f : X \to Y$ называется эквивариантной, если

f (г \cdot х) = г \cdot f (х)

для всех $g \in G$ и всех $x в X.$ ^[6 ]

Если одно или оба действия являются правильными, условие эквивариантности может быть соответствующим образом изменено:

f (x \cdot g) = f (x)\cdot g

; (вправо-вправо)

f (x \cdot g) = g -1 \cdot f (x)

; (справа налево)

f (g \cdot x) = f (x)\cdot g -1

; (слева направо)

Эквивариантные отображения являются гомоморфизмами в категории G -множеств (для фиксированного G ). ^[7] Поэтому они также известны как G -морфизмы , ^[7] G -отображения , ^[8] или G -гомоморфизмы . ^[9] Изоморфизмы G -множеств являются просто биективными эквивариантными отображениями . ^[7]

Условие эквивариантности можно также понимать как следующую коммутативную диаграмму . Обратите внимание, что обозначает отображение, которое берет элемент и возвращает . $g\cdot$ $z$ $g\cdot z$

Обобщение

Эквивариантные отображения могут быть обобщены на произвольные категории простым способом. Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом ( морфизмы в этой категории являются просто элементами G ). Если задана произвольная категория C , представление G в категории C является функтором из G в C. Такой функтор выбирает объект C и подгруппу автоморфизмов этого объекта . Например, G - множество эквивалентно функтору из G в категорию множеств Set , а линейное представление эквивалентно функтору в категорию векторных пространств над полем Vect _K.

Если даны два представления, ρ и σ, группы G в C , то эквивариантное отображение между этими представлениями — это просто естественное преобразование из ρ в σ. Используя естественные преобразования в качестве морфизмов, можно сформировать категорию всех представлений группы G в C . Это просто категория функторов C ^G .

В качестве другого примера возьмем C = Top , категорию топологических пространств . Представление G в Top — это топологическое пространство, на котором G действует непрерывно . Тогда эквивариантное отображение — это непрерывное отображение f : X → Y между представлениями, которое коммутирует с действием G .

Смотрите также

Теорема Кертиса–Хедлунда–Линдона , характеристика клеточных автоматов в терминах эквивариантных отображений

Ссылки

^ Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi :10.2307/2690608, JSTOR 2690608, MR 1573021. «Подобные треугольники имеют аналогично расположенные центры», стр. 164.
^ Центроид является единственным аффинно-эквивариантным центром треугольника, но более общие выпуклые тела могут иметь другие аффинно-эквивариантные центры; см., например, Neumann, BH (1939), "On some affine invariants of closed convex regions", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 14 (4): 262–272, doi :10.1112/jlms/s1-14.4.262, MR 0000978.
^ Сарл, Уоррен С. (14 сентября 1997 г.), Теория измерений: часто задаваемые вопросы (версия 3) (PDF) , SAS Institute Inc.. Пересмотр главы в Disseminations of the International Statistical Applications Institute (4-е изд.), т. 1, 1995, Wichita: ACG Press, стр. 61–66.
^ Фукс, Юрген; Швайгерт, Кристоф (1997), Симметрии, алгебры Ли и представления: курс для аспирантов физиков, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 70, ISBN 0-521-56001-2, г-н 1473220.
^ Сексл, Роман У.; Урбантке, Хельмут К. (2001), Относительность, группы, частицы: Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц, Springer Physics, Вена: Springer-Verlag, стр. 165, doi :10.1007/978-3-7091-6234-7, ISBN 3-211-83443-5, г-н 1798479.
^ Питтс, Эндрю М. (2013), Номинальные множества: имена и симметрия в информатике, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, т. 57, Cambridge University Press, Определение 1.2, стр. 14, ISBN 9781107244689.
^ abc Ауслендер, Морис; Бухсбаум, Дэвид (2014), Группы, кольца, модули, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, стр. 86–87, ISBN 9780486490823.
^ Сигал, Великобритания (1971), «Эквивариантная стабильная гомотопическая теория», Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970), Том 2 , Готье-Виллар, Париж, стр. 59–63, MR 0423340.
^ Адхикари, Махима Ранджан; Адхикари, Авишек (2014), Основная современная алгебра с приложениями, Нью-Дели: Springer, с. 142, номер домена : 10.1007/978-81-322-1599-8, ISBN 978-81-322-1598-1, МР 3155599.