Закрытое множество

Подмножество, которое является как открытым, так и закрытым

В топологии открыто-замкнутое множество ( контраманто от закрыто -открытое множество ) в топологическом пространстве — это множество, которое одновременно открыто и замкнуто . То, что это возможно, может показаться нелогичным, поскольку общие значения открытого и закрытого являются антонимами, но их математические определения не являются взаимоисключающими . Множество замкнуто, если его дополнение открыто, что оставляет возможность открытого множества, дополнение которого также открыто, делая оба множества как открытыми , так и замкнутыми, и, следовательно, открыто-замкнутыми. Как описал тополог Джеймс Манкрес , в отличие от двери , «множество может быть открытым, или замкнутым, или обоими, или ни тем, ни другим!» ^[1], подчеркивая, что значение «открыто»/«закрыто» для дверей не связано с их значением для множеств (и поэтому дихотомия открытая/закрытая дверь не переносится на открытые/закрытые множества). Это отличие от дверей дало классу топологических пространств, известных как « пространства дверей », их название.

Примеры

В любом топологическом пространстве пустое множество и все пространство являются открыто-замкнутыми. ^{[2] [3]} ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Теперь рассмотрим пространство , состоящее из объединения двух открытых интервалов и Топология на наследуется как топология подпространства от обычной топологии на действительной прямой В множество открыто-замкнуто, как и множество Это довольно типичный пример: всякий раз , когда пространство состоит из конечного числа непересекающихся связных компонент таким образом, компоненты будут открыто-замкнутыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (2,3).}$

Теперь пусть будет бесконечным множеством в дискретной метрике  – то есть, две точки имеют расстояние 1, если они не являются одной и той же точкой, и 0 в противном случае. В результирующем метрическом пространстве любое одноэлементное множество открыто; следовательно, любое множество, будучи объединением отдельных точек, открыто. Поскольку любое множество открыто, дополнение любого множества также открыто, и, следовательно, любое множество замкнуто. Таким образом, все множества в этом метрическом пространстве являются открыто-замкнутыми. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p,q\in X}$

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство всех рациональных чисел с их обычной топологией и множество всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что не принадлежит одному, можно довольно легко показать, что является открыто-замкнутым подмножеством ( не является открыто-замкнутым подмножеством действительной прямой ; оно не является ни открытым, ни замкнутым в ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Характеристики

• Топологическое пространство связно тогда и только тогда , когда единственными открыто-замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Множество является открыто-замкнутым тогда и только тогда, когда его граница пуста. ^[4]
• Любое открыто-замкнутое множество представляет собой объединение (возможно, бесконечного числа) связных компонент.
• Если все компоненты связности открыты (например, если имеет только конечное число компонентов или если является локально связным ), то множество является открыто-замкнутым в тогда и только тогда, когда оно является объединением компонент связности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда все его подмножества открыто-замкнуты. ${\displaystyle X}$
• Используя объединение и пересечение в качестве операций, открыто-замкнутые подмножества данного топологического пространства образуют булеву алгебру . Каждая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства: см. теорему Стоуна о представлении для булевых алгебр . ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Список тождеств и отношений множеств  – Равенства для комбинаций множеств

Примечания

1. Манкрес 2000, стр. 91.
2. Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348.(относительно действительных чисел и пустого множества в R)
3. Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 56.(относительно топологических пространств)
4. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 87. ISBN 0-486-66352-3. Пусть — подмножество топологического пространства. Докажите, что тогда и только тогда, когда — открыто и замкнуто. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Bdry} (A)=\varnothing }$ ${\displaystyle A}$(Представлено как упражнение 7)

Ссылки

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Моррис, Сидни А. "Топология без слез". Архивировано из оригинала 19 апреля 2013 г.