Вращательная инвариантность

В математике говорят , что функция, определенная на пространстве внутренних произведений, обладает вращательной инвариантностью , если ее значение не изменяется при применении к ее аргументу произвольных вращений .

Математика

Функции

Например, функция

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

инвариантен относительно поворотов плоскости вокруг начала координат, поскольку для повернутого набора координат на любой угол θ

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

функция, после некоторого сокращения членов, принимает точно такой же вид

${\displaystyle f(x',y')={x'}^{2}+{y'}^{2}}$

Вращение координат можно выразить в матричной форме с использованием матрицы вращения ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.}$

или символически x' ′ = Rx' . Символически инвариантность вращения действительной функции двух действительных переменных равна

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )}$

На словах функция повернутой координаты принимает точно такую ​​же форму, как и с исходными координатами, единственное отличие в том, что повернутые координаты заменяют исходные. Для действительной функции трех или более действительных переменных это выражение легко расширяется с помощью соответствующих матриц поворота.

Эта концепция также распространяется на векторную функцию f одной или нескольких переменных;

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )}$

Во всех вышеперечисленных случаях вращаются аргументы (здесь для конкретности называемые «координатами»), а не сама функция.

Операторы

Для функции

${\displaystyle f:X\rightarrow X}$

который отображает элементы из подмножества X действительной прямой в себя, вращательная инвариантность может также означать, что функция коммутирует с вращениями элементов в X. Это также применимо к оператору , который действует на такие функции. Примером является двумерный оператор Лапласа ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$

который действует на функцию f, чтобы получить другую функцию ∇ ² f . Этот оператор инвариантен относительно вращений.

Если g — это функция g ( p ) = f ( R ( p )), где R — любое вращение, то (∇ ² g )( p ) = (∇ ² f )( R ( p )); то есть вращение функции просто вращает ее Лапласиан.

Физика

В физике , если система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, то ее лагранжиан инвариантен относительно вращения. Согласно теореме Нётер , если действие (интеграл по времени от ее лагранжиана) физической системы инвариантно относительно вращения, то угловой момент сохраняется .

Применение к квантовой механике

В квантовой механике инвариантность вращения — это свойство, при котором после вращения новая система все еще подчиняется уравнению Шредингера . То есть [пожалуйста, будьте вежливы с читателем и определите E и H]

${\displaystyle [R,E-H]=0}$

для любого вращения R . Поскольку вращение не зависит явно от времени, оно коммутирует с оператором энергии. Таким образом, для инвариантности вращения мы должны иметь [ R ,  H ] = 0.

Для бесконечно малых поворотов (в плоскости xy для этого примера; это можно сделать аналогичным образом для любой плоскости) на угол dθ оператор (бесконечно малого) поворота равен

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \,,}$

затем

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,}$

таким образом

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,}$

Другими словами, момент импульса сохраняется.

Смотрите также

• Аксиальная симметрия
• Инвариантная мера
• Изотропия
• Теорема Максвелла
• Вращательная симметрия

Ссылки

• Стенгер, Виктор Дж. (2000). Вневременная реальность . Книги Прометея. Особенно гл. 12. Нетехнический.