Коэффициент шансов

Статистика, количественно определяющая связь между двумя событиями

Отношение шансов ( OR ) — это статистика , которая количественно определяет силу связи между двумя событиями, A и B. Отношение шансов определяется как отношение шансов A в присутствии B и шансов A в отсутствие B или, что то же самое (из-за симметрии), отношение шансов B в присутствии A и шансов B в отсутствие A. Два события независимы тогда и только тогда, когда OR равно 1, т.е. Шансы на одно событие одинаковы как при наличии, так и при отсутствии другого события. Если OR больше 1, то A и B связаны (коррелируют) в том смысле, что по сравнению с отсутствием B присутствие B повышает шансы A, а симметрично наличие A повышает шансы B. И наоборот, если OR меньше 1, то A и B отрицательно коррелируют, и наличие одного события снижает вероятность другого события.

Обратите внимание, что отношение шансов симметрично в двух событиях, и здесь не подразумевается причинно-следственная связь ( корреляция не подразумевает причинно-следственную связь ): OR больше 1 не устанавливает, что B вызывает A или что A вызывает B. ^[1]

Двумя схожими статистическими данными, которые часто используются для количественной оценки связей, являются относительный риск (RR) и абсолютное снижение риска (ARR). Зачастую наиболее интересным параметром на самом деле является RR, который представляет собой отношение вероятностей, аналогичное шансам, используемым в OR. Однако имеющиеся данные часто не позволяют рассчитать RR или ARR, но позволяют рассчитать OR, как в исследованиях «случай-контроль» , как поясняется ниже. С другой стороны, если одно из свойств (А или В) достаточно редкое (в эпидемиологии это называется предположением о редком заболевании ), то OR примерно равен соответствующему RR.

OR играет важную роль в логистической модели .

Определение и основные свойства

Интуиция на примере для непрофессионалов

Если мы подбросим непредвзятую монету, вероятность выпадения орла и вероятность выпадения решки равны — обе равны 50%. Представьте, что у нас есть смещенная монета, из-за которой вероятность выпадения орла увеличивается в два раза. Но что означает «вдвое более вероятно» с точки зрения вероятности? Это не может буквально означать удвоение значения вероятности, потому что 50% становятся 100%. Скорее, шансы удваиваются : с шансов 1:1 до шансов 2:1.

Мотивирующий пример в контексте предположения о редком заболевании.

Предположим, утечка радиации в деревне с населением 1000 человек увеличила заболеваемость редким заболеванием. Из общего числа людей, подвергшихся радиационному воздействию, составило число тех, у кого развилось заболевание и которые остались здоровыми. Из общего числа не подвергшихся воздействию людей было отмечено, что у них развилось заболевание и они остались здоровыми. Мы можем организовать это в таблице непредвиденных обстоятельств : ${\displaystyle V_{E}=400,}$ ${\displaystyle D_{E}=20}$ ${\displaystyle H_{E}=380}$ ${\displaystyle V_{N}=600,}$ ${\displaystyle D_{N}=6}$ ${\displaystyle H_{N}=594}$

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&380\\{\text{ Not exposed }}&6&594\\\hline \end{array}}}$

Риск развития заболевания при воздействии составляет, а риск развития заболевания при отсутствии воздействия составляет . Один очевидный способ сравнить риски — использовать соотношение этих двух факторов, относительный риск . ${\displaystyle D_{E}/V_{E}=20/400=.05}$ ${\displaystyle D_{N}/V_{N}=6/600=.01}$

${\displaystyle {\text{Relative risk}}={\frac {D_{E}/(D_{E}+H_{E})}{D_{N}/(D_{N}+H_{N})}}={\frac {D_{E}/V_{E}}{D_{N}/V_{N}}}={\frac {20/400}{6/600}}={\frac {.05}{.01}}=5\,.}$

Соотношение шансов другое. Шансы заболеть в случае заражения равны, а шансы в случае отсутствия заражения равны . Отношение шансов представляет собой соотношение двух ${\displaystyle D_{E}/H_{E}=20/380\approx .053,}$ ${\displaystyle D_{N}/H_{N}=6/594\approx .010\,.}$

${\displaystyle {\text{Odds ratio}}={\frac {D_{E}/H_{E}}{D_{N}/H_{N}}}={\frac {20/380}{6/594}}\approx {\frac {.053}{.010}}=5.3\,.}$

Как показано на этом примере, в таком случае редкого заболевания относительный риск и отношение шансов почти одинаковы. По определению редкое заболевание подразумевает, что и . Таким образом, знаменатели относительного риска и отношения шансов практически совпадают ( и . ${\displaystyle V_{E}\approx H_{E}}$ ${\displaystyle V_{N}\approx H_{N}}$ ${\displaystyle 400\approx 380}$ ${\displaystyle 600\approx 594)}$

Относительный риск легче понять, чем отношение шансов, но одна из причин использования отношения шансов заключается в том, что обычно данные обо всей совокупности недоступны, и необходимо использовать случайную выборку . В приведенном выше примере, если бы опрос жителей деревни и выяснение того, подвергались ли они воздействию радиации, были бы очень дорогостоящими, тогда не была бы известна распространенность радиационного воздействия, равно как и значения или . Можно было бы взять случайную выборку из пятидесяти сельских жителей, но вполне возможно, что в такую ​​случайную выборку не войдет ни один человек с этим заболеванием, поскольку только 2,6% населения больны. Вместо этого можно использовать исследование «случай-контроль» ^[2] , в котором опрашиваются все 26 заболевших жителей деревни, а также случайная выборка из 26 человек, у которых нет заболевания. Результаты могут оказаться следующими («возможно», поскольку это случайная выборка): ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle V_{N}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|r|cc|}\hline &{\text{ Diseased }}&{\text{ Healthy }}\\\hline {\text{ Exposed }}&20&10\\{\text{ Not exposed }}&6&16\\\hline \end{array}}}$

Шансы на заражение в этой выборке с учетом того, что кто-то подвергся воздействию, составляют 20/10, а шансы с учетом того, что кто-то не заразился, составляют 6/16. Таким образом, соотношение шансов составляет . Однако относительный риск не может быть рассчитан, потому что это соотношение рисков заражения заболеванием, и нам нужно будет их выяснить. Поскольку исследование было выбрано для людей с этим заболеванием, половина людей в выборке страдает этим заболеванием, и известно, что это больше, чем распространенность среди населения. ${\displaystyle {\frac {20/10}{6/16}}\approx 5.3}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle V_{N}}$

В медицинской литературе принято рассчитывать отношение шансов, а затем использовать предположение о редком заболевании (что обычно разумно) и утверждать, что относительный риск примерно равен ему. Это не только позволяет использовать исследования «случай-контроль», но и упрощает контроль искажающих переменных, таких как вес или возраст, с помощью регрессионного анализа, а также обладает желательными свойствами, обсуждаемыми в других разделах этой статьи, а именно инвариантностью и нечувствительностью к типу выборки. ^[3]

Определение с точки зрения групповых шансов

Отношение шансов — это отношение шансов того , что событие произойдет в одной группе, к шансам того, что оно произойдет в другой группе. Этот термин также используется для обозначения оценок этого соотношения на основе выборки. Этими группами могут быть мужчины и женщины, экспериментальная группа и контрольная группа или любая другая дихотомическая классификация. Если вероятности события в каждой из групп равны p ₁ (первая группа) и p ₂ (вторая группа), то отношение шансов равно:

${\displaystyle {\frac {p_{1}/(1-p_{1})}{p_{2}/(1-p_{2})}}={\frac {p_{1}/q_{1}}{p_{2}/q_{2}}}={\frac {\;p_{1}q_{2}\;}{\;p_{2}q_{1}\;}},}$

где q _{Икс знак}  равно 1 -  п _Икс . Отношение шансов, равное 1, указывает на то, что изучаемое состояние или событие с одинаковой вероятностью произойдет в обеих группах. Отношение шансов больше 1 указывает на то, что состояние или событие с большей вероятностью произойдет в первой группе. А отношение шансов менее 1 указывает на то, что условие или событие с меньшей вероятностью произойдет в первой группе. Отношение шансов должно быть неотрицательным, если оно определено. Неопределенно, если p ₂ q ₁ равно нулю, т. е. если p ₂ равно нулю или q ₁ равно нулю.

Определение с точки зрения совместных и условных вероятностей.

Отношение шансов также можно определить как совместное распределение вероятностей двух двоичных случайных величин . Совместное распределение бинарных случайных величин X и Y можно записать

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{11}&p_{10}\\X=0&p_{01}&p_{00}\end{array}}}$

где p ₁₁ , p ₁₀ , p ₀₁ и p ₀₀ представляют собой неотрицательные «вероятности ячеек», сумма которых равна единице. Шансы на Y внутри двух подгрупп, определяемых X = 1 и X = 0, определяются в терминах условных вероятностей, заданных X , т . е . P ( Y  | X ) :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {p_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}}$

Таким образом, отношение шансов равно

${\displaystyle {\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{10})}{p_{10}/(p_{11}+p_{10})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{01}/(p_{01}+p_{00})}{p_{00}/(p_{01}+p_{00})}}={\frac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}}$

Простое выражение справа выше легко запомнить как произведение вероятностей «согласованных ячеек» ( X  =  Y ) , деленное на произведение вероятностей «несогласных ячеек» ( X  ≠  Y ) . Однако в некоторых приложениях маркировка категорий как ноль и единица является произвольной, поэтому в этих приложениях нет ничего особенного в согласованных и несогласованных значениях.

Симметрия

Если бы мы рассчитали отношение шансов на основе условных вероятностей, заданных Y ,

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {p_{11}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{10}}{p_{10}+p_{00}}}\\X=0&{\frac {p_{01}}{p_{11}+p_{01}}}&{\frac {p_{00}}{p_{10}+p_{00}}}\end{array}}}$

мы бы получили тот же результат

${\displaystyle {\dfrac {p_{11}/(p_{11}+p_{01})}{p_{01}/(p_{11}+p_{01})}}{\bigg /}{\dfrac {p_{10}/(p_{10}+p_{00})}{p_{00}/(p_{10}+p_{00})}}={\dfrac {p_{11}p_{00}}{p_{10}p_{01}}}.}$

Другие меры размера эффекта для двоичных данных , такие как относительный риск, не обладают этим свойством симметрии.

Отношение к статистической независимости

Если X и Y независимы, их совместные вероятности могут быть выражены через их предельные вероятности p _x  =  P ( X  = 1) и p _y  =  P ( Y  = 1) следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&p_{x}p_{y}&p_{x}(1-p_{y})\\X=0&(1-p_{x})p_{y}&(1-p_{x})(1-p_{y})\end{array}}}$

В этом случае отношение шансов равно единице, и наоборот, отношение шансов может равняться только единице, если совместные вероятности могут быть учтены таким образом. Таким образом , отношение шансов равно единице тогда и только тогда, когда X и Y независимы .

Восстановление вероятностей ячеек из отношения шансов и предельных вероятностей

Отношение шансов является функцией вероятностей ячеек, и наоборот, вероятности ячеек можно восстановить, зная отношение шансов и предельные вероятности P ( X  = 1) =  p ₁₁  +  p ₁₀ и P ( Y  = 1) =  п ₁₁  +  п ₀₁ . Если отношение шансов R отличается от 1, то

${\displaystyle p_{11}={\frac {1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1)-S}{2(R-1)}}}$

где p _1•  =  p ₁₁  +  p ₁₀ ,   p _{• 1}  =  p ₁₁  +  p ₀₁ и

${\displaystyle S={\sqrt {(1+(p_{1\cdot }+p_{\cdot 1})(R-1))^{2}+4R(1-R)p_{1\cdot }p_{\cdot 1}}}.}$

В случае, когда R  = 1 , мы имеем независимость, поэтому p ₁₁  =  p _1• p _•1 .

Как только мы получим p ₁₁ , остальные три вероятности ячеек можно легко восстановить из предельных вероятностей.

Пример

График , показывающий, как логарифм отношения шансов связан с основными вероятностями исхода X , происходящего в двух группах, обозначенных A и B. Показанное здесь логарифмическое отношение шансов основано на шансах события, происходящего в группе B , относительно шансов события, происходящего в группе A. Таким образом, когда вероятность появления X в группе B больше, чем вероятность появления X в группе A , отношение шансов больше 1, а логарифм отношения шансов больше 0.

Предположим, что из выборки из 100 мужчин 90 пили вино на предыдущей неделе (то есть 10 не пили), тогда как в выборке из 80 женщин только 20 пили вино за тот же период (то есть 60 не пили). Это формирует таблицу непредвиденных обстоятельств:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&M=1&M=0\\\hline D=1&90&20\\D=0&10&60\end{array}}}$

Отношение шансов (OR) можно рассчитать непосредственно из этой таблицы как:

${\displaystyle {OR}={\frac {\;90\times 60\;}{\;10\times 20\;}}=27}$

Альтернативно, вероятность того, что мужчина выпьет вино, составляет 90 к 10, или 9:1, тогда как вероятность того, что женщина выпьет вино, составляет всего 20 к 60, или 1:3 = 0,33. Таким образом, отношение шансов составляет 9/0,33, или 27, что показывает, что мужчины гораздо чаще пьют вино, чем женщины. Подробный расчет таков:

${\displaystyle {0.9/0.1 \over 0.2/0.6}={\frac {\;0.9\times 0.6\;}{\;0.1\times 0.2\;}}={0.54 \over 0.02}=27}$

Этот пример также показывает, насколько чувствительны отношения шансов при определении относительного положения: в этой выборке мужчины (90/100)/(20/80) = в 3,6 раза чаще выпивали вино, чем женщины, но у них в 27 раз больше шансов. Логарифм отношения шансов, разность логитов вероятностей смягчает этот эффект, а также делает меру симметричной относительно порядка групп. Например, при использовании натуральных логарифмов отношение шансов 27/1 соответствует 3,296, а отношение шансов 1/27 соответствует -3,296.

Статистические выводы

График, показывающий минимальное значение статистики отношения шансов журнала выборки, которое должно соблюдаться, чтобы считаться значимым на уровне 0,05 для данного размера выборки. Три линии соответствуют различным настройкам предельных вероятностей в таблице непредвиденных обстоятельств 2 × 2 (предельные вероятности в строке и столбце на этом графике равны).

Было разработано несколько подходов к статистическим выводам для отношений шансов.

Один из подходов к выводу использует аппроксимации большой выборки выборочного распределения логарифма отношения шансов ( натуральный логарифм отношения шансов). Если мы используем обозначение совместной вероятности, определенное выше, отношение шансов журнала совокупности будет равно

${\displaystyle {\log \left({\frac {p_{11}p_{00}}{p_{01}p_{10}}}\right)=\log(p_{11})+\log(p_{00}{\big )}-\log(p_{10})-\log(p_{01})}.\,}$

Если мы наблюдаем данные в виде таблицы сопряженности

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&n_{11}&n_{10}\\X=0&n_{01}&n_{00}\end{array}}}$

тогда вероятности совместного распределения можно оценить как

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\hat {p}}_{11}&{\hat {p}}_{10}\\X=0&{\hat {p}}_{01}&{\hat {p}}_{00}\end{array}}}$

где︿п_ij  =  n _ij  /  n , где n  =  n ₁₁  +  n ₁₀  +  n ₀₁  +  n ₀₀ является суммой всех четырех подсчетов ячеек. Отношение шансов выборочного журнала равно

${\displaystyle {L=\log \left({\dfrac {{\hat {p}}_{11}{\hat {p}}_{00}}{{\hat {p}}_{10}{\hat {p}}_{01}}}\right)=\log \left({\dfrac {n_{11}n_{00}}{n_{10}n_{01}}}\right)}}$.

Распределение логарифмического отношения шансов примерно нормальное :

${\displaystyle L\ \sim \ {\mathcal {N}}(\log(OR),\,\sigma ^{2}).\,}$

Стандартная ошибка для логарифмического отношения шансов составляет приблизительно

${\displaystyle {{\rm {SE}}={\sqrt {{\dfrac {1}{n_{11}}}+{\dfrac {1}{n_{10}}}+{\dfrac {1}{n_{01}}}+{\dfrac {1}{n_{00}}}}}}}$.

Это асимптотическое приближение, которое не даст значимого результата, если количество ячеек очень мало. Если L — отношение шансов журнала выборки, приблизительный 95% доверительный интервал для отношения шансов журнала совокупности составляет L  ± 1,96SE . ^[4] Это можно сопоставить с exp( L  − 1,96SE), exp( L  + 1,96SE) , чтобы получить 95% доверительный интервал для отношения шансов. Если мы хотим проверить гипотезу о том, что отношение шансов населения равно единице, двустороннее значение p равно 2 P ( Z  < −| L |/SE) , где P обозначает вероятность, а Z обозначает стандартную нормальную случайную величину. .

Альтернативный подход к выводу для отношений шансов рассматривает распределение данных условно на предельных частотах X и Y . Преимущество этого подхода состоит в том, что выборочное распределение отношения шансов может быть выражено точно.

Роль в логистической регрессии

Логистическая регрессия — это один из способов обобщить отношение шансов за пределы двух двоичных переменных. Предположим, у нас есть бинарная переменная отклика Y и бинарная переменная-предиктор X , а кроме того, у нас есть другие переменные-предсказатели Z ₁ , ..., Z _p , которые могут быть или не быть двоичными. _{Если мы} используем множественную логистическую регрессию для регрессии Y по X, Z1,...,Zp , то расчетный коэффициент для X _связан с условным отношением шансов. В частности, на уровне населения ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{x}}$

${\displaystyle e^{\beta _{x}}=\exp(\beta _{x})={\frac {P(Y=1\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=1,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}{P(Y=1\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})/P(Y=0\mid X=0,Z_{1},\ldots ,Z_{p})}},}$

то же самое относится и к оценке этого условного отношения шансов. Интерпретация представляет собой оценку отношения шансов между Y и X , когда значения Z ₁ , ..., Z _p остаются фиксированными. ${\displaystyle \exp({\hat {\beta }}_{x})}$ ${\displaystyle \exp({\hat {\beta }}_{x})}$

Нечувствительность к типу отбора проб

Если данные образуют «выборку населения», то вероятности ячеек интерпретируются как частоты каждой из четырех групп в популяции, определяемые их значениями X и Y. Во многих случаях непрактично получить генеральную выборку, поэтому используется отобранная выборка. Например, мы можем выбрать единицы выборки с X  = 1 с заданной вероятностью f , независимо от их частоты в совокупности (что потребует выборки единиц с X  = 0 с вероятностью 1 −  f ). В этой ситуации наши данные будут соответствовать следующим совместным вероятностям: ${\displaystyle {\widehat {p\,}}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}&Y=1&Y=0\\\hline X=1&{\frac {fp_{11}}{p_{11}+p_{10}}}&{\frac {fp_{10}}{p_{11}+p_{10}}}\\X=0&{\frac {(1-f)p_{01}}{p_{01}+p_{00}}}&{\frac {(1-f)p_{00}}{p_{01}+p_{00}}}\end{array}}}$

Отношение шансов p ₁₁ p ₀₀  /  p ₀₁ p ₁₀ для этого распределения не зависит от значения f . Это показывает, что отношение шансов (и, следовательно, логарифм отношения шансов) инвариантно к неслучайной выборке, основанной на одной из изучаемых переменных. Однако обратите внимание, что стандартная ошибка логарифмического отношения шансов зависит от значения f . ^{[ нужна цитата ]}

Этот факт используется в двух важных ситуациях:

• Предположим, неудобно или непрактично получать выборку генеральной совокупности, но практично получить удобную выборку единиц с разными значениями X , так чтобы в подвыборках X  = 0 и X  = 1 значения Y были репрезентативными для генеральной совокупности (т. е. они следуют правильным условным вероятностям).
• Предположим, предельное распределение одной переменной, скажем, X , очень искажено. Например, если мы изучаем взаимосвязь между высоким потреблением алкоголя и раком поджелудочной железы среди населения в целом, заболеваемость раком поджелудочной железы будет очень низкой, поэтому потребуется очень большая выборка населения, чтобы получить скромное количество случаев рака поджелудочной железы. Однако мы могли бы использовать данные из больниц, чтобы связаться с большинством или со всеми их пациентами с раком поджелудочной железы, а затем случайным образом выбрать равное количество субъектов без рака поджелудочной железы (это называется «исследование случай-контроль»).

В обоих этих случаях отношение шансов можно рассчитать на основе выбранной выборки, не искажая результаты по сравнению с тем, что было бы получено для генеральной выборки.

Использование в количественных исследованиях

Благодаря широкому использованию логистической регрессии отношение шансов широко используется во многих областях медицинских и социальных исследований. Отношение шансов обычно используется в обзорных исследованиях , в эпидемиологии и для выражения результатов некоторых клинических испытаний , например, в исследованиях «случай-контроль» . В отчетах его часто называют сокращением «ИЛИ». Когда данные нескольких опросов объединяются, они часто выражаются как «объединенное ИЛИ».

Связь с относительным риском

Отношение риска против отношения шансов

Как поясняется в разделе «Мотивирующий пример», относительный риск обычно лучше, чем отношение шансов, для понимания связи между риском и некоторой переменной, такой как радиация или новый препарат. В этом разделе также объясняется, что если предположение о редком заболевании справедливо, то отношение шансов является хорошим приближением к относительному риску ^[5] и что оно имеет некоторые преимущества по сравнению с относительным риском. Когда предположение о редком заболевании не выполняется, нескорректированное отношение шансов может переоценить относительный риск, ^{[6] [7] [8]} , но новые методы могут легко использовать те же данные для оценки относительного риска, различий в рисках, базовых вероятностей или другие количества. ^[9]

Если доступен абсолютный риск в группе, не подвергавшейся воздействию, конверсия между ними рассчитывается по формуле: ^[6]

${\displaystyle {\text{Relative risk}}\approx {\frac {\text{Odds ratio}}{1-R_{C}+(R_{C}\times {\text{Odds ratio}})}}}$

где R _C — абсолютный риск необлученной группы.

Если предположение о редком заболевании неприменимо, отношение шансов может сильно отличаться от относительного риска и может вводить в заблуждение.

Рассмотрим уровень смертности среди пассажиров мужчин и женщин, когда корабль затонул. ^[3] Из 462 женщин 154 умерли и 308 выжили. Из 851 мужчины 709 погибли и 142 выжили. Очевидно, что мужчина на корабле погибнет с большей вероятностью, чем женщина, но насколько это более вероятно? Поскольку более половины пассажиров умерли, предположение о редком заболевании сильно нарушается.

Чтобы вычислить отношение шансов, обратите внимание, что для женщин шансы умереть составляли 1 к 2 (154/308). Для мужчин шансы были 5 к 1 (709/142). Отношение шансов составляет 9,99 (4,99/0,5). У мужчин было в десять раз больше шансов умереть, чем у женщин.

Для женщин вероятность смерти составила 33% (154/462). Для мужчин вероятность составила 83% (709/851). Относительный риск смерти составляет 2,5 (0,83/0,33). Вероятность смерти мужчины была в 2,5 раза выше, чем у женщины.

Какое число правильно отражает, насколько опаснее было находиться на затонувшем корабле человеку? Преимущество относительного риска состоит в том, что его легче понять и он лучше отражает мышление людей.

Путаница и преувеличение

В медицинской литературе отношение шансов часто путают с относительным риском. Для тех, кто не занимается статистикой, отношение шансов является трудной для понимания концепцией, и оно дает более впечатляющую цифру эффекта. ^[10] Однако большинство авторов считают, что относительный риск легко понять. ^[11] В одном исследовании члены национального фонда по борьбе с болезнями на самом деле в 3,5 раза чаще, чем нечлены, слышали о обычном методе лечения этого заболевания, но отношение шансов составляло 24, а в документе говорилось, что членов было «более 20». с большей вероятностью слышали об этом лечении. ^[12] Исследование статей, опубликованных в двух журналах, показало, что 26% статей, в которых использовалось отношение шансов, интерпретировали его как отношение риска. ^[13]

Это может отражать простой процесс, когда непонимающие авторы выбирают наиболее впечатляющую и достойную публикации фигуру. ^[11] Однако в некоторых случаях его использование может быть намеренно вводящим в заблуждение. ^[14] Было высказано предположение, что отношение шансов должно быть представлено как мера размера эффекта только тогда, когда отношение риска не может быть оценено напрямую, ^[10] но с помощью новых доступных методов всегда возможно оценить отношение риска, что должно обычно вместо этого используется. ^[9]

Обратимость и инвариантность

Отношение шансов имеет еще одно уникальное свойство: оно математически обратимо независимо от того, анализируется ли ОШ как выживаемость при заболевании или заболеваемость началом заболевания – где ОШ для выживаемости прямо обратно пропорционально 1/ОШ для риска. Это известно как «инвариантность отношения шансов». Напротив, относительный риск не обладает этим математически обратимым свойством при изучении выживаемости заболевания по сравнению с заболеваемостью началом. Этот феномен обратимости OR по сравнению с необратимостью RR лучше всего иллюстрируется примером:

Предположим, что в клиническом исследовании риск нежелательных явлений составляет 4/100 в группе препарата и 2/100 в группе плацебо... что дает RR=2 и OR=2,04166 для риска нежелательных явлений по сравнению с плацебо. Однако если бы анализ был инвертирован, а нежелательные явления вместо этого анализировались как выживаемость без событий, то в группе препарата показатель был бы 96/100, а в группе плацебо — 98/100, что давало бы соотношение препарата против плацебо. ОР=0,9796 для выживания, но ОШ=0,48979. Как можно видеть, RR 0,9796 явно не является обратной величиной RR 2. Напротив, OR 0,48979 действительно является прямой обратной величиной OR 2,04166.

Это снова то, что называется «инвариантностью отношения шансов», и почему ОР для выживания не то же самое, что ОР для риска, в то время как OR обладает этим симметричным свойством при анализе либо выживания, либо неблагоприятного риска. Опасность для клинической интерпретации ОШ возникает, когда частота нежелательных явлений не является редкой, что приводит к преувеличению различий, когда предположение о редком заболевании ОШ не выполняется. С другой стороны, когда заболевание встречается редко, использование ОР для выживаемости (например, ОР=0,9796 из приведенного выше примера) может клинически скрыть и скрыть важное удвоение неблагоприятного риска, связанного с препаратом или воздействием. ^{[ нужна цитата ]}

Оценщики отношения шансов

Пример отношения шансов

Отношение шансов выборки n ₁₁ n ₀₀  /  n ₁₀ n ₀₁ легко рассчитать, и для средних и больших выборок оно хорошо работает в качестве оценки отношения шансов генеральной совокупности. Когда одна или несколько ячеек в таблице непредвиденных обстоятельств могут иметь небольшое значение, отношение шансов выборки может быть смещенным и иметь высокую дисперсию .

Альтернативные оценки

Был предложен ряд альтернативных оценок отношения шансов для устранения ограничений выборочного отношения шансов. Одним из альтернативных средств оценки является условная оценка максимального правдоподобия, которая учитывает поля строк и столбцов при формировании вероятности максимизации (как в точном тесте Фишера ). ^[15] Другой альтернативной оценкой является оценка Мантеля-Хэнзеля . ^{[ нужна цитата ]}

Числовые примеры

Следующие четыре таблицы непредвиденных обстоятельств содержат наблюдаемое количество клеток, а также соответствующее отношение шансов выборки ( OR ) и отношение шансов журнала выборки ( LOR ):

Следующие совместные распределения вероятностей содержат вероятности ячеек популяции, а также соответствующее отношение шансов популяции ( OR ) и отношение шансов журнала популяции ( LOR ):

Численный пример

Связанная статистика

Существуют различные другие сводные статистические данные для таблиц непредвиденных обстоятельств , которые измеряют связь между двумя событиями, например Yule's Y , Yule's Q ; эти два нормализованы, поэтому они равны 0 для независимых событий, 1 для идеально коррелированных, -1 для абсолютно отрицательно коррелированных. Эдвардс (1963) изучил их и утверждал, что эти меры связи должны быть функциями отношения шансов, которое он назвал перекрестным отношением . ^{[ нужна цитата ]}

Отношение шансов для исследования «случай-контроль»

Исследование «случай-контроль» включает в себя отбор репрезентативных выборок случаев и контрольной группы, у которых имеется или нет какое-либо заболевание соответственно. Эти образцы обычно независимы друг от друга. У испытуемых обеих выборок наблюдается априорная распространенность воздействия того или иного фактора риска. Это позволяет оценить отношение шансов заболевания у подвергшихся и не подвергшихся воздействию людей, как отмечалось выше. ^[16] Однако иногда имеет смысл сопоставить наблюдения с контрольными показателями по одной или нескольким мешающим переменным. ^[17] В этом случае предварительное воздействие, представляющее интерес, определяется для каждого случая и соответствующего контроля. Данные можно свести в следующую таблицу.

Таблица совпадений 2х2

В этой таблице показан статус воздействия подобранных пар субъектов. Существуют пары, в которых подвергались воздействию как пациент, так и соответствующий контрольный субъект, пары, в которых пациент-случай подвергался воздействию, а субъект контрольной группы — нет, пары, где субъект-контроль подвергался воздействию, а пациент-случай — нет, и пары, в которых ни один субъект не подвергался воздействию. незащищенный. Воздействие совпадающих пар случаев и контроля коррелирует из-за схожих значений их общих искажающих переменных. ${\displaystyle n_{11}}$ ${\displaystyle n_{10}}$ ${\displaystyle n_{01}}$ ${\displaystyle n_{00}}$

Следующий вывод принадлежит Бреслоу и Дэю . ^[17] Мы рассматриваем каждую пару как принадлежащую страту с одинаковыми значениями вмешивающихся переменных. В зависимости от принадлежности к одному и тому же слою статус воздействия случаев и мер контроля не зависит друг от друга. Для любой пары случай-контроль внутри одной страты пусть

${\displaystyle p_{1}}$быть вероятностью того, что пациент заразится,

${\displaystyle p_{0}}$быть вероятностью того, что пациент из контрольной группы подвергнется воздействию,

${\displaystyle q_{1}=1-p_{1}}$быть вероятностью того, что пациент не заразится, и

${\displaystyle q_{0}=1-p_{0}}$быть вероятностью того, что пациент из контрольной группы не подвергнется облучению.

Тогда вероятность того, что случай раскрыт, а контроль нет, равна , а вероятность того, что контроль раскрыт, а случай нет, равна . Отношение шансов внутри слоя для воздействия в случаях по сравнению с контролем равно ${\displaystyle p_{1}q_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}q_{1}}$

${\displaystyle \psi =(p_{1}/q_{1})/(p_{0}/q_{0})=p_{1}q_{0}/(q_{1}p_{0})}$

Мы предполагаем, что оно является постоянным для всех слоев. ^[17] ${\displaystyle \psi }$

Теперь согласованные пары, в которых подвергаются воздействию и случай, и контрольная группа, или ни один из них, ничего не говорят нам о шансах заражения в случаях по сравнению с шансами воздействия среди контрольных групп. Вероятность того, что случай раскрыт и не задан контроль, что пара несогласна, равна

${\displaystyle \pi =(p_{1}q_{0})/(p_{1}q_{0}+q_{1}p_{0})=\psi /(\psi +1)}$

Распределение заданного количества несогласованных пар является биномиальным  ~ B , а оценка максимального правдоподобия равна ${\displaystyle n_{10}}$ ${\displaystyle (n_{10}+n_{01},\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\hat {\pi }}=n_{10}/(n_{10}+n_{01})={\hat {\psi }}/({\hat {\psi }}+1)}$

Умножение обеих частей этого уравнения на и вычитание дает ${\displaystyle (n_{10}+n_{01})({\hat {\psi }}+1)}$ ${\displaystyle n_{10}{\hat {\psi }}}$

${\displaystyle n_{10}={\hat {\psi }}(n_{10}+n_{01}-n_{10})}$и поэтому

${\displaystyle {\hat {\psi }}=n_{10}/n_{01}}$.

Теперь – оценка максимального правдоподобия , и является монотонной функцией . Отсюда следует, что это условная оценка максимального правдоподобия для данного количества несогласованных пар. Ротман и др. ^[18] дают альтернативный вывод, показывая, что это частный случай оценки Мантеля-Хэнзеля отношения шансов внутри страты для стратифицированных таблиц 2x2. ^[18] Они также ссылаются на Бреслоу и Дэя ^[17] , которые предоставили приведенный здесь вывод. ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$

Согласно нулевой гипотезе, что . ${\displaystyle \psi =1,\pi =1/(1+1)=0.5}$

Следовательно, мы можем проверить нулевую гипотезу о том, что, проверив нулевую гипотезу о том, что . Это делается с помощью теста Макнемара . ${\displaystyle \psi =1}$ ${\displaystyle \pi =0.5}$

Существует несколько способов расчета доверительного интервала для . Пусть и обозначают нижнюю и верхнюю границу доверительного интервала для соответственно. Поскольку , соответствующий доверительный интервал для равен ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{LB}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{UB}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \psi =\pi /(1-\pi )}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ({\frac {{\hat {\pi }}_{LB}}{1-{\hat {\pi }}_{LB}}},{\frac {{\hat {\pi }}_{UB}}{1-{\hat {\pi }}_{UB}}})}$.

Сопоставленные таблицы 2х2 также можно анализировать с использованием условной логистической регрессии . ^[19] Преимущество этого метода заключается в том, что он позволяет пользователям регрессировать статус «случай-контроль» по множеству факторов риска на основе сопоставленных данных «случай-контроль».

Пример

МакЭвой и др.^[20] изучили использование сотовых телефонов водителями как фактор риска автомобильных аварий в перекрестном исследовании. ^[16] Все участники исследования попали в автомобильную аварию, потребовавшую госпитализации. Использование мобильного телефона каждым водителем во время аварии сравнивалось с использованием им/его мобильного телефона в контрольный интервал в то же время дня неделей ранее. Мы ожидаем, что использование человеком мобильного телефона во время катастрофы будет коррелировать с его использованием неделей ранее. Сравнение использования во время аварии и интервалов контроля учитывает характеристики водителя, а также время суток и день недели. Данные можно свести в следующую таблицу.

Было 5 водителей, которые использовали свои телефоны в обоих интервалах, 27, которые использовали их во время аварии, но не в контрольном интервале, 6, которые использовали их в контрольном, но не в контрольном интервале, и 288, которые не использовали их ни в одном из интервалов. Отношение шансов аварии при использовании телефона по сравнению с вождением автомобиля, когда телефон не используется, составило

${\displaystyle {\hat {\psi }}=27/6=4.5}$.

Проверка нулевой гипотезы аналогична проверке нулевой гипотезы, в которой даны 27 из 33 несогласованных пар, в которых водитель пользовался своим телефоном во время аварии. Макнемара . Эта статистика имеет одну степень свободы и дает значение P , равное 0,0003. Это позволяет нам отвергнуть гипотезу о том, что использование сотового телефона не влияет на риск автомобильных аварий ( ) с высоким уровнем статистической значимости. ${\displaystyle {\hat {\psi }}=1}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}=0.5}$ ${\displaystyle \chi ^{2}=13.36}$ ${\displaystyle \psi =1}$

Используя метод Уилсона , 95% доверительный интервал равен (0,6561, 0,9139). Следовательно, 95% доверительный интервал для равен ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle ({\frac {0.6561}{1-0.6561}},{\frac {0.9139}{1-0.9139}})=(1.9,10.6)}$

(МакЭвой и др. ^[20] проанализировали свои данные с использованием условной логистической регрессии и получили почти идентичные результатам, приведенным здесь. См. последнюю строку таблицы 3 в их статье.)

Смотрите также

• Коэн ч
• Перекрестное соотношение
• Диагностическое соотношение шансов
• Лесной участок
• Коэффициент опасности
• Отношение правдоподобия
• Коэффициент ставок

Рекомендации

Цитаты

1. Шумилас М (август 2010 г.). «Объяснение коэффициентов шансов». Журнал Канадской академии детской и подростковой психиатрии . 19 (3): 227–229. ISSN  1719-8429. ПМЦ  2938757 . ПМИД  20842279.
2. LaMorte WW (13 мая 2013 г.), Исследования «случай-контроль», Школа общественного здравоохранения Бостонского университета , получено 2 сентября 2013 г.
3. Саймон С (июль – август 2001 г.). «Понимание отношения шансов и относительного риска». Журнал андрологии . 22 (4): 533–536. дои : 10.1002/j.1939-4640.2001.tb02212.x . PMID  11451349. S2CID  6150799.
4. Моррис Дж. А., Гарднер М. Дж. (май 1988 г.). «Расчет доверительных интервалов для относительных рисков (отношений шансов) и стандартизированных отношений и ставок». Британский медицинский журнал (под ред. Клинических исследований) . 296 (6632): 1313–6. дои : 10.1136/bmj.296.6632.1313. ПМЦ 2545775 . ПМИД  3133061. 
5. Виера AJ (июль 2008 г.). «Отношения шансов и коэффициенты риска: в чем разница и почему это важно?». Южный медицинский журнал . 101 (7): 730–4. дои : 10.1097/SMJ.0b013e31817a7ee4. ПМИД  18580722.
6. Чжан Дж, Ю К.Ф. (ноябрь 1998 г.). «Каков относительный риск? Метод коррекции отношения шансов в когортных исследованиях распространенных результатов». ДЖАМА . 280 (19): 1690–1. дои : 10.1001/jama.280.19.1690. PMID  9832001. S2CID  30509187.
7. Роббинс А.С., Чао С.Ю., вице-президент Фонсека (октябрь 2002 г.). «Каков относительный риск? Метод прямой оценки соотношения рисков в когортных исследованиях распространенных результатов». Анналы эпидемиологии . 12 (7): 452–4. дои : 10.1016/S1047-2797(01)00278-2. ПМИД  12377421.
8. Нурминен М (август 1995 г.). «Использовать или не использовать отношение шансов в эпидемиологическом анализе?». Европейский журнал эпидемиологии . 11 (4): 365–71. дои : 10.1007/BF01721219. PMID  8549701. S2CID  11609059.
9. Кинг Г, Цзэн Л (30 мая 2002 г.). «Оценка уровней риска и частоты, соотношений и различий в исследованиях случай-контроль» (PDF) . Статистика в медицине . 21 (10): 1409–1427. дои : 10.1002/сим.1032. ISSN  0277-6715. PMID  12185893. S2CID  11387977.
10. Taeger D, Sun Y, Straif K (10 августа 1998 г.). «Об использовании, неправильном использовании и интерпретации отношений шансов».
11. A'Court C, Стивенс Р., Хенеган С (март 2012 г.). «Вопреки всему? Улучшение понимания отчетности о рисках». Британский журнал общей практики . 62 (596): е220-3. дои : 10.3399/bjgp12X630223. ПМК 3289830 . ПМИД  22429441. 
12. Нейстен Т., Ролстад Т., Фельдман С.Р., Стерн Р.С. (январь 2005 г.). «Члены национального фонда псориаза: более обширное заболевание и лучшая информированность о вариантах лечения». Архив дерматологии . 141 (1): 19–26. дои : 10.1001/archderm.141.1.19. ПМИД  15655138.
13. Холкомб В. (2001). «Странная мера риска: использование и неправильное использование отношения шансов». Акушерство и гинекология . 98 (4): 685–688. дои : 10.1016/S0029-7844(01)01488-0. PMID  11576589. S2CID  44782438.
14. Тейлор Х.Г. (январь 1975 г.). «Социальное восприятие умственно отсталых». Журнал клинической психологии . 31 (1): 100–2. дои : 10.1136/bmj.316.7136.989. ПМЦ 1112884 . ПМИД  9550961. 
15. Ротман К.Дж., Гренландия С., Лэш Т.Л. (2008). Современная эпидемиология . Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. ISBN 978-0-7817-5564-1.^{[ нужна страница ]}
16. Челентано Д.Д., Шкло М., Гордис Л. (2019). Гордис Эпидемиология, шестое издание . Филадельфия, Пенсильвания: Эльзевир. п. 149-177.
17. Бреслоу, Северная Каролина, Дэй, Северная Каролина (1980). Статистические методы в исследовании рака: Том. 1 – Анализ исследований «случай-контроль» . Лион, Франция: Научные публикации МАИР. п. 162-189.
18. Ротман К.Дж., Гренландия С., Лэш Т.Л. (2008). Современная эпидемиология, третье издание . Филадельфия, Пенсильвания: Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. п. 287 288.
19. Бреслоу Н.Э., Дэй Н.Э., Халворсен К.Т., Прентис Р.Л., Сабай С. (1978). «Оценка множественных функций относительного риска в сопоставленных исследованиях случай-контроль». Am J Epidemiol . 108 (4): 299–307. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a112623. ПМИД  727199.
20. МакЭвой С.П., Стивенсон М.Р., Маккартт А.Т., Вудворд М., Хаворт С., Паламара П., Серкарелли Р. (2005). «Роль мобильных телефонов в автомобильных авариях, приводящих к обращению в больницу: перекрестное исследование». БМЖ . 331 (7514): 428. doi : 10.1136/bmj.38537.397512.55 . ПМК 1188107 . ПМИД  16012176. 

Источники

• Эдвардс А.В. (1963). «Мера ассоциации в таблице 2 × 2». Журнал Королевского статистического общества . Генерал). 126 (1): 109–114. дои : 10.2307/2982448. JSTOR  2982448.

Внешние ссылки

• Калькулятор коэффициента шансов – веб-сайт
• Калькулятор коэффициента шансов с различными тестами – сайт
• OpenEpi, веб-программа, которая рассчитывает соотношение шансов, как несовпадающих, так и парно совпадающих.