Соотношение серебра

Соотношение цифр, примерно 1:2,4.

Соотношение серебра в восьмиугольнике

В математике две величины относятся к соотношению серебра (или среднему серебру ) ^{[1] [2]} , если отношение меньшей из этих двух величин к большей величине такое же, как отношение большей величины к сумме меньшее количество и вдвое большее количество (см. ниже). Это определяет соотношение серебра как иррациональную математическую константу , значение которой, равное единице плюс квадратный корень из 2, составляет примерно 2,4142135623. Его название является намеком на золотое сечение ; аналогично тому, как золотое сечение является предельным соотношением последовательных чисел Фибоначчи , серебряное сечение является предельным соотношением последовательных чисел Пелла . Коэффициент серебра обозначается δ _S .

Математики изучали соотношение серебра со времен греков (хотя, возможно, до недавнего времени не давая специального названия) из-за его связи с квадратным корнем из 2, его дробями, квадратными треугольными числами , числами Пелла, восьмиугольниками и тому подобным.

Описанное выше соотношение можно выразить алгебраически:

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

или эквивалентно,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

Коэффициент серебра также можно определить с помощью простой цепной дроби [2; 2, 2, 2, ...]:

${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}=\delta _{S}}$

Подходящие дроби этой цепной дроби (2/1,5/2,12/5,29/12,70/29, ...) представляют собой отношения последовательных чисел Пелля. Эти дроби обеспечивают точные рациональные аппроксимации соотношения серебра, аналогично аппроксимации золотого сечения отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Серебряный прямоугольник соединен с правильным восьмиугольником . _{Если правильный восьмиугольник разбить на две равнобедренные трапеции и прямоугольник} , то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1: δS , а 4 стороны трапеций находятся в соотношении 1:1:1: δ. _С. _ Если длина ребра правильного восьмиугольника равна t , то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен δ _S t , а площадь восьмиугольника равна 2 δ _S t ² . ^[3]

Расчет

Для сравнения, две величины a , b с a  >  b  > 0 называются золотым сечением φ , если:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

Однако они находятся в соотношении серебра δ _S , если

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}.}$

Эквивалентно,

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}}$

Поэтому,

${\displaystyle 2+{\frac {1}{\delta _{S}}}=\delta _{S}.}$

Умножение на δ _S и перестановка дает

${\displaystyle {\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=0.}$

Используя квадратичную формулу , можно получить два решения. Поскольку δ _S представляет собой отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому

${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2.41421356237\dots }$

Характеристики

Если отрезать два самых больших квадрата из серебряного прямоугольника, то останется серебряный прямоугольник, с которым процесс можно повторить...

Серебряные спирали внутри серебряного прямоугольника

Теоретико-числовые свойства

Отношение серебра представляет собой число Писо – Виджаярагхавана (число PV), как его сопряженное 1 - √ 2 =−1/δ _С≈ -0,41421 имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе наименьшее квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает расстояние от δ ^н
_Сдо ближайшего целого числа1/δ ^н
_С≈ 0,41421 ^н . Таким образом, последовательность дробных частей δ ^н
_С, n = 1, 2, 3, ... (принимаемые за элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не является равнораспределенной по модулю 1 .

Полномочия

Низшие степени отношения серебра равны

${\displaystyle \delta _{S}^{-1}=1\delta _{S}-2=[0;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 0.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{0}=0\delta _{S}+1=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$

Полномочия продолжаются по образцу

${\displaystyle \delta _{S}^{n}=K_{n}\delta _{S}+K_{n-1}}$

где

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

Например, используя это свойство:

${\displaystyle \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$

Используя K ₀ = 1 и K ₁ = 2 в качестве начальных условий, формула типа Бине получается в результате решения рекуррентного соотношения

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

который становится

${\displaystyle K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1}\right)}$

Тригонометрические свойства

Соотношение серебра тесно связано с тригонометрическими соотношениями дляπ/8= 22,5° .

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника со стороной a определяется выражением

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2\delta _{s}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

Смотрите также

• Металлические средства
• Разбиение Аммана – Бинкера
• Золотое сечение

Рекомендации

1. Вера В. де Шпинадель (1999). Семейство металлических средств, Висмат 1(3) из Математического института Сербской академии наук и искусств .
2. де Шпинадель, Вера В. (1998). Уильямс, Ким (ред.). «Металлические средства и дизайн». Нексус II: Архитектура и математика . Фучеккьо (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.
3. Капуста, Янош (2004), «Квадрат, круг и золотая пропорция: новый класс геометрических построений» (PDF) , Форма , 19 : 293–313.

дальнейшее чтение

• Буитраго, Антония Редондо (2008). «Многоугольники, диагонали и бронзовое среднее», Nexus Network Journal 9,2: Архитектура и математика , стр.321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993 . 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Серебряное сечение». Математический мир .
• «Введение в непрерывные дроби: серебряные средние, заархивированные 8 декабря 2018 г. в Wayback Machine », числа Фибоначчи и золотое сечение .
• «Серебряный прямоугольник и его последовательность» в Тартапелаго Джорджо Пьетрокола.