Распределение коэффициентов

Распределение вероятностей

Распределение отношения ( также известное как распределение фактора ) — это распределение вероятностей, построенное как распределение отношения случайных величин, имеющих два других известных распределения. При наличии двух (обычно независимых ) случайных величин X и Y распределение случайной величины Z , сформированное как отношение Z = X / Y, является распределением отношения .

Примером является распределение Коши (также называемое нормальным распределением отношения ), которое возникает как отношение двух нормально распределенных переменных с нулевым средним. Два других распределения, часто используемые в тестовой статистике, также являются распределениями отношения: t -распределение возникает из гауссовой случайной величины, деленной на независимую хи-распределенную случайную величину, в то время как F -распределение возникает из отношения двух независимых хи-квадрат распределенных случайных величин. Более общие распределения отношения были рассмотрены в литературе. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}

Часто распределения отношений имеют тяжелый хвост , и может быть сложно работать с такими распределениями и разрабатывать связанный статистический тест . Метод, основанный на медиане, был предложен в качестве «обходного пути». ^[10]

Алгебра случайных величин

Отношение — это один из типов алгебры для случайных величин: С распределением отношения связаны распределение произведения , распределение суммы и распределение разности. В более общем смысле можно говорить о комбинациях сумм, разностей, произведений и отношений. Многие из этих распределений описаны в книге Мелвина Д. Спрингера 1979 года «Алгебра случайных величин» . ^[8]

Алгебраические правила, известные для обычных чисел, не применяются к алгебре случайных величин. Например, если произведение C = AB , а отношение D = C/A, это не обязательно означает, что распределения D и B одинаковы. Действительно, для распределения Коши наблюдается своеобразный эффект : произведение и отношение двух независимых распределений Коши (с тем же параметром масштаба и параметром местоположения, установленным в ноль) дадут то же самое распределение. ^[8] Это становится очевидным, если рассматривать распределение Коши как само по себе распределение отношения двух гауссовых распределений с нулевыми средними: рассмотрим две случайные величины Коши, и каждая из них построена из двух гауссовых распределений , а затем ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}=G_{1}/G_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}=G_{3}/G_{4}}$

${\displaystyle {\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {{G_{1}}/{G_{2}}}{{G_{3}}/{G_{4}}}}={\frac {G_{1}G_{4}}{G_{2}G_{3}}}={\frac {G_{1}}{G_{2}}}\times {\frac {G_{4}}{G_{3}}}=C_{1}\times C_{3},}$

где . Первый член представляет собой отношение двух распределений Коши, а последний член — произведение двух таких распределений. ${\displaystyle C_{3}=G_{4}/G_{3}}$

Вывод

Способом получения распределения отношения из совместного распределения двух других случайных величин X, Y , с совместной функцией плотности вероятности , является интегрирование следующей формы ^[3] ${\displaystyle Z=X/Y}$ ${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)}$

${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X,Y}(zy,y)\,dy.}$

Если две переменные независимы, то это становится ${\displaystyle p_{XY}(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y)}$

${\displaystyle p_{Z}(z)=\int _{-\infty }^{+\infty }|y|\,p_{X}(zy)p_{Y}(y)\,dy.}$

Это может быть не так просто. В качестве примера возьмем классическую задачу соотношения двух стандартных гауссовых выборок. Совместная pdf равна

${\displaystyle p_{X,Y}(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)}$

Определяя, мы имеем ${\displaystyle Z=X/Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{Z}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {\left(zy\right)^{2}}{2}}\right)\,\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)\,dy\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,|y|\,\exp \left(-{\frac {y^{2}\left(z^{2}+1\right)}{2}}\right)\,dy\end{aligned}}}$

Используя известный определенный интеграл, получаем ${\textstyle \int _{0}^{\infty }\,x\,\exp \left(-cx^{2}\right)\,dx={\frac {1}{2c}}}$

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi (z^{2}+1)}}}$

что является распределением Коши или распределением Стьюдента при n = 1

Преобразование Меллина также было предложено для вывода распределений отношений. ^[8]

В случае положительных независимых переменных действуйте следующим образом. На диаграмме показано разделимое двумерное распределение , которое имеет поддержку в положительном квадранте , и мы хотим найти функцию распределения вероятности отношения . Заштрихованный объем над линией представляет собой кумулятивное распределение функции, умноженной на логическую функцию . Плотность сначала интегрируется в горизонтальные полосы; горизонтальная полоса на высоте y простирается от x = 0 до x = Ry и имеет возрастающую вероятность . Во-вторых, интегрирование горизонтальных полос вверх по всем y дает объем вероятности над линией ${\displaystyle f_{x,y}(x,y)=f_{x}(x)f_{y}(y)}$ ${\displaystyle x,y>0}$ ${\displaystyle R=X/Y}$ ${\displaystyle y=x/R}$ ${\displaystyle f_{x,y}(x,y)}$ ${\displaystyle X/Y\leq R}$ ${\textstyle f_{y}(y)dy\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)\,dx}$

${\displaystyle F_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$

Наконец, продифференцируем по , чтобы получить PDF-файл . ${\displaystyle F_{R}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{R}(R)}$

${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left[\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy\right]}$

Перенесем дифференциал внутрь интеграла:

${\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left({\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx\right)dy}$

и с тех пор

${\displaystyle {\frac {d}{dR}}\int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=yf_{x}(Ry)}$

затем

${\displaystyle f_{R}(R)=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\;f_{x}(Ry)\;y\;dy}$

В качестве примера найдите функцию PDF отношения R, когда

${\displaystyle f_{x}(x)=\alpha e^{-\alpha x},\;\;\;\;f_{y}(y)=\beta e^{-\beta y},\;\;\;x,y\geq 0}$

Оценка кумулятивного распределения отношения

У нас есть

${\displaystyle \int _{0}^{Ry}f_{x}(x)dx=-e^{-\alpha x}\vert _{0}^{Ry}=1-e^{-\alpha Ry}}$

таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(R)&=\int _{0}^{\infty }f_{y}(y)\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy=\int _{0}^{\infty }\beta e^{-\beta y}\left(1-e^{-\alpha Ry}\right)dy\\&=1-{\frac {\alpha R}{\beta +\alpha R}}\\&={\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\end{aligned}}}$

Дифференцирование по R дает функцию плотности вероятности R

${\displaystyle f_{R}(R)={\frac {d}{dR}}\left({\frac {R}{{\tfrac {\beta }{\alpha }}+R}}\right)={\frac {\tfrac {\beta }{\alpha }}{\left({\tfrac {\beta }{\alpha }}+R\right)^{2}}}}$

Моменты случайных соотношений

Из теории преобразования Меллина для распределений, существующих только на положительной полупрямой , мы имеем тождество произведения, предоставленное независимыми. Для случая отношения выборок, например , для того, чтобы использовать это тождество, необходимо использовать моменты обратного распределения. Задайте таким образом, что . Таким образом, если моменты и могут быть определены по отдельности, то моменты могут быть найдены. Моменты определяются из обратной функции плотности вероятности , что часто является поддающимся решению упражнением. В простейшем случае . ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [(UV)^{p}]=\operatorname {E} [U^{p}]\;\;\operatorname {E} [V^{p}]}$ ${\displaystyle U,\;V}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]}$ ${\displaystyle 1/Y=Z}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [(XZ)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{-p}]}$ ${\displaystyle X^{p}}$ ${\displaystyle Y^{-p}}$ ${\displaystyle X/Y}$ ${\displaystyle Y^{-p}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle \operatorname {E} [Y^{-p}]=\int _{0}^{\infty }y^{-p}f_{y}(y)\,dy}$

Для иллюстрации возьмем выборку из стандартного гамма-распределения ${\displaystyle X}$

${\displaystyle x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha )}$-й момент которого равен . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Gamma (\alpha +p)/\Gamma (\alpha )}$

${\displaystyle Z=Y^{-1}}$выбирается из обратного гамма-распределения с параметром и имеет pdf . Моменты этой pdf равны ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \;\Gamma ^{-1}(\beta )z^{1+\beta }e^{-1/z}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{p}]=\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}$

Умножение соответствующих моментов дает

${\displaystyle \operatorname {E} [(X/Y)^{p}]=\operatorname {E} [X^{p}]\;\operatorname {E} [Y^{-p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\beta )}},\;p<\beta .}$

Независимо от этого известно, что соотношение двух образцов Гаммы следует распределению Бета-Прайм: ${\displaystyle R=X/Y}$

${\displaystyle f_{\beta '}(r,\alpha ,\beta )=B(\alpha ,\beta )^{-1}r^{\alpha -1}(1+r)^{-(\alpha +\beta )}}$чьи моменты ${\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +p,\beta -p)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}$

Подставляя, получаем , что согласуется с произведением моментов выше. ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [R^{p}]={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha +\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}={\frac {\Gamma (\alpha +p)\Gamma (\beta -p)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}}$

Средние значения и дисперсии случайных соотношений

В разделе «Распределение продукта» и на основе теории преобразования Меллина (см. раздел выше) обнаружено, что среднее значение произведения независимых переменных равно произведению их средних значений. В случае отношений мы имеем

${\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (1/Y)}$

что с точки зрения распределения вероятностей эквивалентно

${\displaystyle \operatorname {E} (X/Y)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)\,dx\times \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy}$

Обратите внимание, что , т.е., ${\displaystyle \operatorname {E} (1/Y)\neq {\frac {1}{\operatorname {E} (Y)}}}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }y^{-1}f_{y}(y)\,dy\neq {\frac {1}{\int _{-\infty }^{\infty }yf_{y}(y)\,dy}}}$

Дисперсия отношения независимых переменных равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X/Y)&=\operatorname {E} ([X/Y]^{2})-\operatorname {E^{2}} (X/Y)\\&=\operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (1/Y^{2})-\operatorname {E} ^{2}(X)\operatorname {E} ^{2}(1/Y)\end{aligned}}}$

Нормальное распределение отношений

Некоррелированное центральное нормальное отношение

Когда X и Y независимы и имеют гауссовское распределение с нулевым средним, форма их распределения отношения является распределением Коши . Это можно вывести, установив, а затем показав, что имеет круговую симметрию. Для двумерного некоррелированного гауссова распределения мы имеем ${\displaystyle Z=X/Y=\tan \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x,y)&={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\\&={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})}\\&={\tfrac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}r^{2}}{\text{ with }}r^{2}=x^{2}+y^{2}\end{aligned}}}$

Если является функцией только r, то равномерно распределено на с плотностью, поэтому задача сводится к нахождению распределения вероятностей Z при отображении ${\displaystyle p(x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle 1/2\pi }$

${\displaystyle Z=X/Y=\tan \theta }$

Имеем, по закону сохранения вероятности

${\displaystyle p_{z}(z)|dz|=p_{\theta }(\theta )|d\theta |}$

и с тех пор ${\displaystyle dz/d\theta =1/\cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {p_{\theta }(\theta )}{|dz/d\theta |}}={\tfrac {1}{2\pi }}{\cos ^{2}\theta }}$

и установив мы получаем ${\textstyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{1+(\tan \theta )^{2}}}={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/2\pi }{1+z^{2}}}}$

Здесь есть ложный множитель 2. На самом деле, два значения разнесены по карте на одно и то же значение z , плотность удваивается, и конечный результат равен ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle p_{z}(z)={\frac {1/\pi }{1+z^{2}}},\;\;-\infty <z<\infty }$

Когда любое из двух нормальных распределений не является центральным, то результат для распределения отношения гораздо сложнее и приведен ниже в сжатой форме, представленной Дэвидом Хинкли . ^[6] Тригонометрический метод для отношения, однако, распространяется на радиальные распределения, такие как двумерные нормали или двумерное распределение Стьюдента t , в котором плотность зависит только от радиуса . Он не распространяется на отношение двух независимых распределений Стьюдента t , которые дают отношение Коши, показанное в разделе ниже для одной степени свободы. ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Некоррелированное нецентральное нормальное отношение

При отсутствии корреляции функция плотности вероятности двух нормальных переменных X = N ( μ _X , σ _X ² ) и Y = N ( μ _Y , σ _Y ² ) отношения Z = X / Y в точности задается следующим выражением, выведенным из нескольких источников: ^[6] ${\displaystyle (\operatorname {cor} (X,Y)=0)}$

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {b(z)\cdot d(z)}{a^{3}(z)}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{x}\sigma _{y}}}\left[\Phi \left({\frac {b(z)}{a(z)}}\right)-\Phi \left(-{\frac {b(z)}{a(z)}}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}(z)\cdot \pi \sigma _{x}\sigma _{y}}}e^{-{\frac {c}{2}}}}$

где

${\displaystyle a(z)={\sqrt {{\frac {1}{\sigma _{x}^{2}}}z^{2}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}}}}$

${\displaystyle b(z)={\frac {\mu _{x}}{\sigma _{x}^{2}}}z+{\frac {\mu _{y}}{\sigma _{y}^{2}}}}$

${\displaystyle c={\frac {\mu _{x}^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\mu _{y}^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}}$

${\displaystyle d(z)=e^{\frac {b^{2}(z)-ca^{2}(z)}{2a^{2}(z)}}}$

и является нормальной кумулятивной функцией распределения : ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (t)=\int _{-\infty }^{t}\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}\ du\,.}$

• При нескольких предположениях (обычно выполняемых в практических приложениях) можно получить высокоточное твердое приближение к PDF. Главными преимуществами являются снижение сложности формул, замкнутая форма CDF, простое определение медианы, четкое управление ошибками и т. д... Для простоты введем параметры: , и . Тогда так называемое твердое приближение к некоррелированному нецентральному нормальному отношению PDF выражается уравнением ^[11] ${\displaystyle p={\frac {\mu _{x}}{{\sqrt {2}}\sigma _{x}}}}$ ${\displaystyle q={\frac {\mu _{y}}{{\sqrt {2}}\sigma _{y}}}}$ ${\displaystyle r={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}}$ ${\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)}$

${\displaystyle p_{Z}^{\dagger }(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {p}{\mathrm {erf} [q]}}{\frac {1}{r}}{\frac {1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}{\frac {z}{r}}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {p^{2}\left({\frac {z}{r}}-1\right)^{2}}{1+{\frac {p^{2}}{q^{2}}}\left[{\frac {z}{r}}\right]^{2}}}}}$

• При определенных условиях возможна нормальная аппроксимация с дисперсией: ^[12]

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}={\frac {\mu _{x}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\left({\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\right)}$

Коррелированное центральное нормальное отношение

Вышеприведенное выражение становится более сложным, когда переменные X и Y коррелируют. Если но и получается более общее распределение Коши ${\displaystyle \mu _{x}=\mu _{y}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{X}\neq \sigma _{Y}}$ ${\displaystyle \rho \neq 0}$

${\displaystyle p_{Z}(z)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\beta }{(z-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}},}$

где ρ — коэффициент корреляции между X и Y и

${\displaystyle \alpha =\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}},}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}.}$

Сложное распределение также выражается с помощью конфлюэнтной гипергеометрической функции Куммера или функции Эрмита . ^[9]

Коррелированное нецентральное нормальное отношение

Это было показано в задаче 4.28 Springer 1979.

Преобразование в логарифмическую область было предложено Кацем (1978) (см. раздел биномиальных функций ниже). Пусть отношение будет

${\displaystyle T\sim {\frac {\mu _{x}+\mathbb {N} (0,\sigma _{x}^{2})}{\mu _{y}+\mathbb {N} (0,\sigma _{y}^{2})}}={\frac {\mu _{x}+X}{\mu _{y}+Y}}={\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}{\frac {1+{\frac {X}{\mu _{x}}}}{1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}}}}$.

Возьмите логи, чтобы получить

${\displaystyle \log _{e}(T)=\log _{e}\left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+\log _{e}\left(1+{\frac {X}{\mu _{x}}}\right)-\log _{e}\left(1+{\frac {Y}{\mu _{y}}}\right).}$

С тех пор асимптотически ${\displaystyle \log _{e}(1+\delta )=\delta -{\frac {\delta ^{2}}{2}}+{\frac {\delta ^{3}}{3}}+\cdots }$

${\displaystyle \log _{e}(T)\approx \log _{e}\left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+{\frac {X}{\mu _{x}}}-{\frac {Y}{\mu _{y}}}\sim \log _{e}\left({\frac {\mu _{x}}{\mu _{y}}}\right)+\mathbb {N} \left(0,{\frac {\sigma _{x}^{2}}{\mu _{x}^{2}}}+{\frac {\sigma _{y}^{2}}{\mu _{y}^{2}}}\right).}$

В качестве альтернативы Гири (1930) предположил, что

${\displaystyle t\approx {\frac {\mu _{y}T-\mu _{x}}{\sqrt {\sigma _{y}^{2}T^{2}-2\rho \sigma _{x}\sigma _{y}T+\sigma _{x}^{2}}}}}$

имеет приблизительно стандартное гауссовское распределение : ^[1] Это преобразование было названо преобразованием Гири–Хинкли ; ^[7] приближение является хорошим, если Y вряд ли примет отрицательные значения, в принципе . ${\displaystyle \mu _{y}>3\sigma _{y}}$

Точное коррелированное нецентральное нормальное отношение

Это разработано Дейлом (Springer 1979, задача 4.28) и Хинкли 1969. Гири показал, как коррелированное отношение может быть преобразовано в почти гауссову форму, и разработал приближение для в зависимости от вероятности того, что отрицательные значения знаменателя будут исчезающе малыми. Более поздний анализ коррелированного отношения Файллера является точным, но необходима осторожность при объединении современных математических пакетов с вербальными условиями в старой литературе. Фам-Гиа исчерпывающе обсудил эти методы. Коррелированные результаты Хинкли являются точными, но ниже показано, что условие коррелированного отношения также может быть преобразовано в некоррелированное, поэтому требуются только упрощенные уравнения Хинкли выше, а не полная версия коррелированного отношения. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x+\mu _{x}<0}$

Пусть соотношение будет:

${\displaystyle z={\frac {x+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}}$

в котором есть нулевое среднее коррелированные нормальные переменные с дисперсиями и имеют средние Запишите так, чтобы стали некоррелированными и имели стандартное отклонение ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \sigma _{x}^{2},\sigma _{y}^{2}}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle \mu _{x},\mu _{y}.}$ ${\displaystyle x'=x-\rho y\sigma _{x}/\sigma _{y}}$ ${\displaystyle x',y}$ ${\displaystyle x'}$

${\displaystyle \sigma _{x}'=\sigma _{x}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}.}$

Соотношение:

${\displaystyle z={\frac {x'+\rho y\sigma _{x}/\sigma _{y}+\mu _{x}}{y+\mu _{y}}}}$

инвариантен относительно этого преобразования и сохраняет ту же pdf. Член в числителе, по-видимому, становится разделимым путем расширения: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {x'+\rho y\sigma _{x}/\sigma _{y}+\mu _{x}}=x'+\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}+\rho (y+\mu _{y}){\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$

получить

${\displaystyle z={\frac {x'+\mu _{x}'}{y+\mu _{y}}}+\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$

в котором и z теперь стало отношением некоррелированных нецентральных нормальных выборок с инвариантным z -смещением (это формально не доказано, хотя, по-видимому, использовалось Гири), ${\textstyle \mu '_{x}=\mu _{x}-\rho \mu _{y}{\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$

Наконец, чтобы быть точным, функция PDF отношения для коррелированных переменных находится путем ввода измененных параметров и в уравнение Хинкли выше, которое возвращает функцию PDF для коррелированного отношения с постоянным смещением на . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \sigma _{x}',\mu _{x}',\sigma _{y},\mu _{y}}$ ${\displaystyle \rho '=0}$ ${\displaystyle -\rho {\frac {\sigma _{x}}{\sigma _{y}}}}$ ${\displaystyle z}$

На рисунках выше показан пример положительно коррелированного отношения с , в котором заштрихованные клинья представляют собой приращение площади, выбранной заданным отношением , которое накапливает вероятность там, где они перекрывают распределение. Теоретическое распределение, полученное из обсуждаемых уравнений в сочетании с уравнениями Хинкли, в высокой степени согласуется с результатом моделирования с использованием 5000 образцов. На верхнем рисунке ясно, что для отношения клин почти полностью обошел основную массу распределения, и это объясняет локальный минимум в теоретической pdf . И наоборот, по мере того, как клин движется либо к одному, либо от одного, он охватывает большую часть центральной массы, накапливая более высокую вероятность. ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}=1,\mu _{x}=0,\mu _{y}=0.5,\rho =0.975}$ ${\displaystyle x/y\in [r,r+\delta ]}$ ${\displaystyle z=x/y\approx 1}$ ${\displaystyle p_{Z}(x/y)}$ ${\displaystyle x/y}$

Комплексное нормальное отношение

Соотношение коррелированных нулевым средним круговым симметричным комплексным нормально распределенным переменным было определено Бэксли и др. ^[13] и с тех пор было распространено на случай ненулевого среднего и несимметричного случая. ^[14] В случае коррелированного нулевого среднего совместное распределение x , y равно

${\displaystyle f_{x,y}(x,y)={\frac {1}{\pi ^{2}|\Sigma |}}\exp \left(-{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}^{H}\Sigma ^{-1}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)}$

где

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\rho \sigma _{x}\sigma _{y}\\\rho ^{*}\sigma _{x}\sigma _{y}&\sigma _{y}^{2}\end{bmatrix}},\;\;x=x_{r}+ix_{i},\;\;y=y_{r}+iy_{i}}$

${\displaystyle (\cdot )^{H}}$является эрмитовым транспонированием и

${\displaystyle \rho =\rho _{r}+i\rho _{i}=\operatorname {E} {\bigg (}{\frac {xy^{*}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}{\bigg )}\;\;\in \;\left|\mathbb {C} \right|\leq 1}$

PDF-файл оказался следующим: ${\displaystyle Z=X/Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}(z_{r},z_{i})&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}{\Biggr (}{\frac {|z|^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {1}{\sigma _{y}^{2}}}-2{\frac {\rho _{r}z_{r}-\rho _{i}z_{i}}{\sigma _{x}\sigma _{y}}}{\Biggr )}^{-2}\\&={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \sigma _{x}^{2}\sigma _{y}^{2}}}{\Biggr (}\;\;{\Biggr |}{\frac {z}{\sigma _{x}}}-{\frac {\rho ^{*}}{\sigma _{y}}}{\Biggr |}^{2}+{\frac {1-|\rho |^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}{\Biggr )}^{-2}\end{aligned}}}$

В обычном случае, когда мы получаем ${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}}$

${\displaystyle f_{z}(z_{r},z_{i})={\frac {1-|\rho |^{2}}{\pi \left(\;\;|z-\rho ^{*}|^{2}+1-|\rho |^{2}\right)^{2}}}}$

Также приведены дополнительные результаты в аналитическом виде для CDF.

Распределение отношения коррелированных комплексных переменных, rho = 0,7 exp(i pi/4).

График показывает pdf отношения двух комплексных нормальных переменных с коэффициентом корреляции . Пик pdf приходится примерно на комплексное сопряжение уменьшенного масштаба . ${\displaystyle \rho =0.7\exp(i\pi /4)}$ ${\displaystyle \rho }$

Отношение логарифмически нормального распределения

Отношение независимых или коррелированных логнормальных величин является логнормальным. Это следует из того, что если и распределены логнормально , то и распределены нормально. Если они независимы или их логарифмы следуют бивариантному нормальному распределению , то логарифм их отношения является разностью независимых или коррелированных нормально распределенных случайных величин, которая распределена нормально. ^{[примечание 1]} ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \ln(X_{1})}$ ${\displaystyle \ln(X_{2})}$

Это важно для многих приложений, требующих отношения случайных величин, которые должны быть положительными, где совместное распределение и адекватно аппроксимируется логнормальным распределением. Это общий результат мультипликативной центральной предельной теоремы , также известной как закон Жибрата , когда является результатом накопления многих небольших процентных изменений и должно быть положительным и приблизительно логнормально распределенным. ^[15] ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Равномерное распределение коэффициентов

С двумя независимыми случайными величинами, имеющими равномерное распределение , например,

${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}1&0<x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

распределение отношения становится

${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}1/2\qquad &0<z<1\\{\frac {1}{2z^{2}}}\qquad &z\geq 1\\0\qquad &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Распределение коэффициента Коши

Если две независимые случайные величины X и Y следуют распределению Коши с медианой, равной нулю, и коэффициентом формы ${\displaystyle a}$

${\displaystyle p_{X}(x|a)={\frac {a}{\pi (a^{2}+x^{2})}}}$

тогда распределение отношения для случайной величины равно ^[16] ${\displaystyle Z=X/Y}$

${\displaystyle p_{Z}(z|a)={\frac {1}{\pi ^{2}(z^{2}-1)}}\ln(z^{2}).}$

Это распределение не зависит от и результат, указанный Springer ^[8] (стр. 158, вопрос 4.6), неверен. Распределение отношения похоже, но не совпадает с распределением произведения случайной величины : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle W=XY}$

${\displaystyle p_{W}(w|a)={\frac {a^{2}}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{4})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{4}}}\right).}$^[8]

В более общем случае, если две независимые случайные величины X и Y следуют распределению Коши с медианой, равной нулю, и коэффициентом формы и соответственно, то: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

1. Распределение отношения для случайной величины равно ^[16] ${\displaystyle Z=X/Y}$ $${\displaystyle p_{Z}(z|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(b^{2}z^{2}-a^{2})}}\ln \left({\frac {b^{2}z^{2}}{a^{2}}}\right).}$$
2. Распределение произведения для случайной величины равно ^[16] ${\displaystyle W=XY}$ $${\displaystyle p_{W}(w|a,b)={\frac {ab}{\pi ^{2}(w^{2}-a^{2}b^{2})}}\ln \left({\frac {w^{2}}{a^{2}b^{2}}}\right).}$$

Результат для распределения отношения можно получить из распределения произведения, заменив на ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b}}.}$

Соотношение стандартного нормального к стандартному равномерному

Если X имеет стандартное нормальное распределение, а Y имеет стандартное равномерное распределение, то Z  =  X  /  Y имеет распределение, известное как косое распределение , с функцией плотности вероятности

${\displaystyle p_{Z}(z)={\begin{cases}\left[\varphi (0)-\varphi (z)\right]/z^{2}\quad &z\neq 0\\\varphi (0)/2\quad &z=0,\\\end{cases}}}$

где φ( z ) — функция плотности вероятности стандартного нормального распределения. ^[17]

Распределения хи-квадрат, гамма, бета

Пусть G — нормальное (0,1) распределение, Y и Z — распределения хи-квадрат с m и n степенями свободы соответственно, все независимые, с . Тогда ${\displaystyle f_{\chi }(x,k)={\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}}$

${\displaystyle {\frac {G}{\sqrt {Y/m}}}\sim t_{m}}$распределение Стьюдента​​

${\displaystyle {\frac {Y/m}{Z/n}}=F_{m,n}}$т.е. распределение F-критерия Фишера

${\displaystyle {\frac {Y}{Y+Z}}\sim \beta ({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$бета -распределение

${\displaystyle \;\;{\frac {Y}{Z}}\sim \beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}})}$стандартное бета-простое распределение

Если , нецентральное распределение хи-квадрат , и и не зависит от , то ${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$ ${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$

${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )}$, нецентральное F-распределение .

${\displaystyle {\frac {m}{n}}F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}}){\text{ or }}F'_{m,n}=\beta '({\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})}$ определяет распределение плотности Фишера F, плотность вероятности отношения двух хи-квадрат с m, n степенями свободы. ${\displaystyle F'_{m,n}}$

CDF плотности Фишера, найденная в F -таблицах, определена в статье о бета-простом распределении . Если мы введем таблицу F -теста с m = 3, n = 4 и 5% вероятностью в правом хвосте, критическое значение будет равно 6,59. Это совпадает с интегралом

${\displaystyle F_{3,4}(6.59)=\int _{6.59}^{\infty }\beta '(x;{\tfrac {m}{2}},{\tfrac {n}{2}},1,{\tfrac {n}{m}})dx=0.05}$

Для гамма-распределений U и V с произвольными параметрами формы α ₁ и α ₂ и их масштабными параметрами, оба из которых установлены равными единице, то есть, , где , тогда ${\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},1),V\sim \Gamma (\alpha _{2},1)}$ ${\displaystyle \Gamma (x;\alpha ,1)={\frac {x^{\alpha -1}e^{-x}}{\Gamma (\alpha )}}}$

${\displaystyle {\frac {U}{U+V}}\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2}),\qquad {\text{ expectation }}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2}),\qquad \qquad {\text{ expectation }}={\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}},\;\alpha _{2}>1}$

${\displaystyle {\frac {V}{U}}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1}),\qquad \qquad {\text{ expectation }}={\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{1}-1}},\;\alpha _{1}>1}$

Если , то . Обратите внимание, что здесь θ — параметр масштаба , а не параметр скорости. ${\displaystyle U\sim \Gamma (x;\alpha ,1)}$ ${\displaystyle \theta U\sim \Gamma (x;\alpha ,\theta )={\frac {x^{\alpha -1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}}$

Если , то, приведя параметр к единице, имеем ${\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1}),\;V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{{\frac {U}{\theta _{1}}}+{\frac {V}{\theta _{2}}}}}={\frac {\theta _{2}U}{\theta _{2}U+\theta _{1}V}}\sim \beta (\alpha _{1},\alpha _{2})}$

${\displaystyle {\frac {\frac {U}{\theta _{1}}}{\frac {V}{\theta _{2}}}}={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2})}$

Таким образом

${\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})\quad {\text{ and }}\operatorname {E} \left[{\frac {U}{V}}\right]={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{2}-1}}}$

в котором представляет собой обобщенное бета-простое распределение . ${\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$

Из вышеизложенного очевидно, что если то . Более конкретно, поскольку ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,1)\equiv \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2})}$ ${\displaystyle \theta X\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,\theta )}$

${\displaystyle \beta '(x;\alpha _{1},\alpha _{2},1,R)={\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})}$

если тогда ${\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1}),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})}$

${\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim {\frac {1}{R}}\beta '({\frac {x}{R}};\alpha _{1},\alpha _{2})={\frac {\left({\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}-1}}{\left(1+{\frac {x}{R}}\right)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}}}}\cdot {\frac {1}{\;R\;B(\alpha _{1},\alpha _{2})}},\;\;x\geq 0}$

где

${\displaystyle R={\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}},\;\;\;B(\alpha _{1},\alpha _{2})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2})}}}$

Распределения Рэлея

Если X , Y — независимые выборки из распределения Рэлея , то отношение Z = X / Y следует распределению ^[18] ${\displaystyle f_{r}(r)=(r/\sigma ^{2})e^{-r^{2}/2\sigma ^{2}},\;\;r\geq 0}$

${\displaystyle f_{z}(z)={\frac {2z}{(1+z^{2})^{2}}},\;\;z\geq 0}$

и имеет cdf

${\displaystyle F_{z}(z)=1-{\frac {1}{1+z^{2}}}={\frac {z^{2}}{1+z^{2}}},\;\;\;z\geq 0}$

Распределение Рэлея имеет масштабирование в качестве единственного параметра. Распределение следует ${\displaystyle Z=\alpha X/Y}$

${\displaystyle f_{z}(z,\alpha )={\frac {2\alpha z}{(\alpha +z^{2})^{2}}},\;\;z>0}$

и имеет cdf

${\displaystyle F_{z}(z,\alpha )={\frac {z^{2}}{\alpha +z^{2}}},\;\;\;z\geq 0}$

Дробные гамма-распределения (включая хи-распределение, хи-квадрат, экспоненциальное, Рэлея и Вейбулла)

Обобщенное гамма-распределение :

${\displaystyle f(x;a,d,r)={\frac {r}{\Gamma (d/r)a^{d}}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{r}}\;x\geq 0;\;\;a,\;d,\;r>0}$

который включает в себя регулярные гамма, хи, хи-квадрат, экспоненциальное, Рэлея, Накагами и Вейбулла распределения, включающие дробные мощности. Обратите внимание, что здесь a — параметр масштаба , а не параметр скорости; d — параметр формы.

Если ${\displaystyle U\sim f(x;a_{1},d_{1},r),\;\;V\sim f(x;a_{2},d_{2},r){\text{ are independent, and }}W=U/V}$

затем ^[19] ${\textstyle g(w)={\frac {r\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{d_{2}}}{B\left({\frac {d_{1}}{r}},{\frac {d_{2}}{r}}\right)}}{\frac {w^{-d_{2}-1}}{\left(1+\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{-r}w^{-r}\right)^{\frac {d_{1}+d_{2}}{r}}}},\;\;w>0}$

где ${\displaystyle B(u,v)={\frac {\Gamma (u)\Gamma (v)}{\Gamma (u+v)}}}$

Моделирование смеси различных масштабных факторов

В приведенных выше соотношениях гамма-выборки, U , V могут иметь разные размеры выборки , но должны быть взяты из одного и того же распределения с одинаковым масштабированием . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ ${\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (\alpha )}}}$ ${\displaystyle \theta }$

В ситуациях, когда U и V масштабируются по-разному, преобразование переменных позволяет определить модифицированное случайное отношение pdf. Пусть где произвольно и, из вышесказанного, . ${\displaystyle X={\frac {U}{U+V}}={\frac {1}{1+B}}}$ ${\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta ),V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta ),\theta }$ ${\displaystyle X\sim Beta(\alpha _{1},\alpha _{2}),B=V/U\sim Beta'(\alpha _{2},\alpha _{1})}$

Произвольно масштабировать V , определяя ${\displaystyle Y\sim {\frac {U}{U+\varphi V}}={\frac {1}{1+\varphi B}},\;\;0\leq \varphi \leq \infty }$

Имеем и подстановка в Y дает ${\displaystyle B={\frac {1-X}{X}}}$ ${\displaystyle Y={\frac {X}{\varphi +(1-\varphi )X}},dY/dX={\frac {\varphi }{(\varphi +(1-\varphi )X)^{2}}}}$

Преобразование X в Y дает ${\displaystyle f_{Y}(Y)={\frac {f_{X}(X)}{|dY/dX|}}={\frac {\beta (X,\alpha _{1},\alpha _{2})}{\varphi /[\varphi +(1-\varphi )X]^{2}}}}$

Отмечая, что мы наконец-то имеем ${\displaystyle X={\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}}}$

${\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )={\frac {\varphi }{[1-(1-\varphi )Y]^{2}}}\beta \left({\frac {\varphi Y}{1-(1-\varphi )Y}},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq 1}$

Таким образом, если и тогда распределяется как с ${\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha _{1},\theta _{1})}$ ${\displaystyle V\sim \Gamma (\alpha _{2},\theta _{2})}$
${\displaystyle Y={\frac {U}{U+V}}}$ ${\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}$

Распределение Y здесь ограничено интервалом [0,1]. Его можно обобщить путем масштабирования таким образом, что если то ${\displaystyle Y\sim f_{Y}(Y,\varphi )}$

${\displaystyle \Theta Y\sim f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )}$

где ${\displaystyle f_{Y}(Y,\varphi ,\Theta )={\frac {\varphi /\Theta }{[1-(1-\varphi )Y/\Theta ]^{2}}}\beta \left({\frac {\varphi Y/\Theta }{1-(1-\varphi )Y/\Theta }},\alpha _{1},\alpha _{2}\right),\;\;\;0\leq Y\leq \Theta }$

${\displaystyle \Theta Y}$тогда это образец из ${\displaystyle {\frac {\Theta U}{U+\varphi V}}}$

Обратные величины выборок из бета-распределений

Хотя следующие тождества не являются относительными распределениями двух переменных, они полезны для одной переменной:

Если тогда ${\displaystyle X\sim \beta (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$

Если тогда ${\displaystyle \mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle y={\frac {1}{\mathbf {Y} }}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}$

Объединение последних двух уравнений дает

Если тогда . ${\displaystyle X\sim \beta (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{X}}-1\sim \beta '(\beta ,\alpha )}$

Если тогда ${\displaystyle \mathbf {Y} \sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle y={\frac {\mathbf {Y} }{1+\mathbf {Y} }}\sim \beta (\alpha ,\beta )}$

Следствие

${\displaystyle {\frac {1}{1+\mathbf {Y} }}={\frac {\mathbf {Y} ^{-1}}{\mathbf {Y} ^{-1}+1}}\sim \beta (\beta ,\alpha )}$

${\displaystyle 1+\mathbf {Y} \sim \{\;\beta (\beta ,\alpha )\;\}^{-1}}$, распределение обратных величин выборок. ${\displaystyle \beta (\beta ,\alpha )}$

Если тогда и ${\displaystyle U\sim \Gamma (\alpha ,1),V\sim \Gamma (\beta ,1)}$ ${\displaystyle {\frac {U}{V}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle {\frac {U/V}{1+U/V}}={\frac {U}{V+U}}\sim \beta (\alpha ,\beta )}$

Дополнительные результаты можно найти в статье «Обратное распределение» .

• Если — независимые экспоненциальные случайные величины со средним значением μ , то X  −  Y — дважды экспоненциальная случайная величина со средним значением 0 и масштабом  μ . ${\displaystyle X,\;Y}$

Биномиальное распределение

Этот результат был получен Кацем и др. ^[20]

Предположим , что и и независимы. Пусть . ${\displaystyle X\sim {\text{Binomial}}(n,p_{1})}$ ${\displaystyle Y\sim {\text{Binomial}}(m,p_{2})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T={\frac {X/n}{Y/m}}}$

Тогда имеет приблизительно нормальное распределение со средним значением и дисперсией . ${\displaystyle \log(T)}$ ${\displaystyle \log(p_{1}/p_{2})}$ ${\displaystyle {\frac {(1/p_{1})-1}{n}}+{\frac {(1/p_{2})-1}{m}}}$

Распределение биномиального отношения имеет значение в клинических испытаниях: если распределение T известно, как указано выше, можно оценить вероятность возникновения данного отношения чисто случайно, т. е. ложноположительного испытания. В ряде работ сравнивается надежность различных приближений для биномиального отношения. ^{[ необходима цитата ]}

Распределение Пуассона и усеченное распределение Пуассона

В отношении переменных Пуассона R = X/Y есть проблема, что Y равен нулю с конечной вероятностью, поэтому R не определено. Чтобы противостоять этому, рассмотрим усеченное или цензурированное отношение R' = X/Y' , где нулевая выборка Y не учитывается. Более того, во многих медицинских обследованиях существуют систематические проблемы с надежностью нулевых выборок как X, так и Y, и может быть хорошей практикой игнорировать нулевые выборки в любом случае.

Вероятность нулевой выборки Пуассона равна , общая плотность вероятности левого усеченного распределения Пуассона равна ${\displaystyle e^{-\lambda }}$

${\displaystyle {\tilde {p}}_{x}(x;\lambda )={\frac {1}{1-e^{-\lambda }}}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}},\;\;\;x\in 1,2,3,\cdots }$

что в сумме дает единицу. Согласно Коэну ^[21] для n независимых испытаний многомерная усеченная pdf равна

${\displaystyle {\tilde {p}}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\lambda )={\frac {1}{(1-e^{-\lambda })^{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{i}}}{x_{i}!}},\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots }$

и логарифм правдоподобия становится

${\displaystyle L=\ln({\tilde {p}})=-n\ln(1-e^{-\lambda })-n\lambda +\ln(\lambda )\sum _{1}^{n}x_{i}-\ln \prod _{1}^{n}(x_{i}!),\;\;\;x_{i}\in 1,2,3,\cdots }$

При дифференцировании получаем

${\displaystyle dL/d\lambda ={\frac {-n}{1-e^{-\lambda }}}+{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

а установка на ноль дает оценку максимального правдоподобия ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{ML}}$

${\displaystyle {\frac {{\hat {\lambda }}_{ML}}{1-e^{-{\hat {\lambda }}_{ML}}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\bar {x}}}$

Обратите внимание, что как тогда так и усеченная оценка максимального правдоподобия , хотя и верна как для усеченных, так и для неусеченных распределений, дает усеченное среднее значение, которое сильно смещено относительно неусеченного. Тем не менее, кажется, что является достаточной статистикой для поскольку зависит от данных только через выборочное среднее в предыдущем уравнении, что согласуется с методологией обычного распределения Пуассона . ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\to 0}$ ${\displaystyle {\bar {x}}\to 1}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{ML}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

При отсутствии каких-либо решений в замкнутой форме следующее приблизительное возвращение для усеченного значения справедливо во всем диапазоне . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq \infty ;\;1\leq {\bar {x}}\leq \infty }$

${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\bar {x}}-e^{-({\bar {x}}-1)}-0.07({\bar {x}}-1)e^{-0.666({\bar {x}}-1)}+\epsilon ,\;\;\;|\epsilon |<0.006}$

что сравнимо с необрезанной версией, которая просто . Взятие отношения является допустимой операцией, хотя может использовать необрезанную модель, в то время как имеет усеченную слева. ${\displaystyle {\hat {\lambda }}={\bar {x}}}$ ${\displaystyle R={\hat {\lambda }}_{X}/{\hat {\lambda }}_{Y}}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{X}}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{Y}}$

Асимптотическая большая граница (и граница Крамера–Рао ) равна ${\displaystyle n\lambda {\text{ variance of }}{\hat {\lambda }}}$

${\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq -\left(\mathbb {E} \left[{\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}\right]_{\lambda ={\hat {\lambda }}}\right)^{-1}}$

в котором замена L дает

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}L}{\delta \lambda ^{2}}}=-n\left[{\frac {\bar {x}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {e^{-\lambda }}{(1-e^{-\lambda })^{2}}}\right]}$

Затем, подставляя из уравнения выше, получаем оценку дисперсии Коэна ${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})\geq {\frac {\hat {\lambda }}{n}}{\frac {(1-e^{-{\hat {\lambda }}})^{2}}{1-({\hat {\lambda }}+1)e^{-{\hat {\lambda }}}}}}$

Дисперсия точечной оценки среднего значения на основе n испытаний асимптотически уменьшается до нуля по мере увеличения n до бесконечности. Для малых значений она расходится с усеченной дисперсией pdf в Springael ^[22] , например, который приводит дисперсию ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbb {Var} (\lambda )={\frac {\lambda /n}{1-e^{-\lambda }}}\left[1-{\frac {\lambda e^{-\lambda }}{1-e^{-\lambda }}}\right]}$

для n выборок в усеченной слева pdf, показанной в верхней части этого раздела. Коэн показал, что дисперсия оценки относительно дисперсии pdf, , варьируется от 1 для больших значений (100% эффективности) до 2 по мере приближения к нулю (50% эффективности). ${\displaystyle \mathbb {Var} ({\hat {\lambda }})/\mathbb {Var} (\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Эти оценки параметров среднего и дисперсии, вместе с параллельными оценками для X , могут быть применены к нормальным или биномиальным приближениям для коэффициента Пуассона. Выборки из испытаний могут не очень хорошо подходить для процесса Пуассона; дальнейшее обсуждение усечения Пуассона приведено Дитцем и Бонингом ^[23] , и в Википедии есть запись о распределении Пуассона с нулевым усечением .

Двойное распределение Ломакса

Это распределение является отношением двух распределений Лапласа . ^[24] Пусть X и Y будут стандартными одинаково распределенными по Лапласу случайными величинами и пусть z = X / Y. Тогда распределение вероятностей z равно

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2(1+|z|)^{2}}}}$

Пусть среднее значение X и Y равно a . Тогда стандартное двойное распределение Ломакса симметрично относительно a .

Это распределение имеет бесконечное среднее значение и дисперсию.

Если Z имеет стандартное двойное распределение Ломакса, то 1/ Z также имеет стандартное двойное распределение Ломакса.

Стандартное распределение Ломакса является унимодальным и имеет более тяжелые хвосты, чем распределение Лапласа.

При 0 < a < 1 существует a -й момент.

${\displaystyle E(Z^{a})={\frac {\Gamma (1+a)}{\Gamma (1-a)}}}$

где Γ — гамма-функция .

Распределения коэффициентов в многомерном анализе

Распределения отношений также появляются в многомерном анализе . ^[25] Если случайные матрицы X и Y следуют распределению Уишарта , то отношение определителей

${\displaystyle \varphi =|\mathbf {X} |/|\mathbf {Y} |}$

пропорционально произведению независимых случайных величин F. В случае, когда X и Y являются независимыми стандартизированными распределениями Уишарта , то отношение

${\displaystyle \Lambda ={|\mathbf {X} |/|\mathbf {X} +\mathbf {Y} |}}$

имеет лямбда-распределение Уилкса .

Соотношения квадратичных форм с использованием матриц Уишарта

В отношении распределений матрицы Уишарта, если — выборочная матрица Уишарта, а вектор — произвольный, но статистически независимый, следствие 3.2.9 Мьюирхеда ^[26] гласит: ${\displaystyle S\sim W_{p}(\Sigma ,\nu +1)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {V^{T}SV}{V^{T}\Sigma V}}\sim \chi _{\nu }^{2}}$

Расхождение в единицу в числах выборки возникает из-за оценки выборочного среднего при формировании выборочной ковариации, что является следствием теоремы Кохрана . Аналогично

${\displaystyle {\frac {V^{T}\Sigma ^{-1}V}{V^{T}S^{-1}V}}\sim \chi _{\nu -p+1}^{2}}$

что является теоремой 3.2.12 Мьюирхеда ^[26]

Смотрите также

• Взаимосвязи между распределениями вероятностей
• Обратное распределение (также известное как взаимное распределение)
• Распределение продукции
• Оценщик отношения
• Распределение косой черты

Примечания

1. Обратите внимание, однако, что и могут быть индивидуально распределены логнормально , не имея двумерного логнормального распределения. По состоянию на 2022-06-08 статья Википедии о « Копуле (теория вероятностей) » включает в себя график плотности и контура двух нормальных маргиналов, соединенных с копулой Гумбеля, где совместное распределение не является двумерным нормальным. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Ссылки

1. Geary, RC (1930). «Частотное распределение частного двух нормальных переменных». Журнал Королевского статистического общества . 93 (3): 442–446. doi :10.2307/2342070. JSTOR  2342070.
2. Fieller, EC (ноябрь 1932 г.). «Распределение индекса в нормальной двумерной популяции». Biometrika . 24 (3/4): 428–440. doi :10.2307/2331976. JSTOR  2331976.
3. Curtiss, JH (декабрь 1941 г.). «О распределении частного двух случайных переменных». Анналы математической статистики . 12 (4): 409–421. doi : 10.1214/aoms/1177731679 . JSTOR  2235953.
4. Джордж Марсалья (апрель 1964 г.). Отношения нормальных переменных и отношения сумм однородных переменных . Центр технической информации Министерства обороны .
5. Марсалья, Джордж (март 1965 г.). «Отношения нормальных переменных и отношения сумм однородных переменных». Журнал Американской статистической ассоциации . 60 (309): 193–204. doi :10.2307/2283145. JSTOR  2283145. Архивировано из оригинала 23 сентября 2017 г.
6. Hinkley, DV (декабрь 1969). «О соотношении двух коррелированных нормальных случайных величин». Biometrika . 56 (3): 635–639. doi :10.2307/2334671. JSTOR  2334671.
7. Hayya, Jack ; Armstrong, Donald ; Gressis, Nicolas (июль 1975 г.). «Заметка о соотношении двух нормально распределенных переменных». Management Science . 21 (11): 1338–1341. doi :10.1287/mnsc.21.11.1338. JSTOR  2629897.
8. Springer, Melvin Dale (1979). Алгебра случайных величин . Wiley . ISBN 0-471-01406-0.
9. Pham-Gia, T.; Turkkan, N.; Marchand, E. (2006). «Плотность отношения двух нормальных случайных величин и ее применение». Communications in Statistics – Theory and Methods . 35 (9). Taylor & Francis : 1569–1591. doi : 10.1080/03610920600683689. S2CID  120891296.
10. Броди, Джеймс П.; Уильямс, Брайан А.; Уолд, Барбара Дж.; Квейк, Стивен Р. (октябрь 2002 г.). «Значимость и статистические ошибки в анализе данных ДНК-микрочипов» (PDF) . Proc Natl Acad Sci USA . 99 (20): 12975–12978. Bibcode : 2002PNAS...9912975B. doi : 10.1073 /pnas.162468199 . PMC 130571. PMID  12235357. 
11. Шимон, Ян; Фторек, Бранислав (2022-09-15). "Основные статистические свойства эффективности узла". Симметрия . 14 (9). MDPI: 1926. doi : 10.3390/sym14091926 . ISSN  2073-8994.
12. Диас-Франсес, Элоиза; Рубио, Франциско Х. (2012-01-24). «О существовании нормального приближения к распределению отношения двух независимых нормальных случайных величин». Статистические документы . 54 (2). Springer Science and Business Media LLC: 309–323. doi :10.1007/s00362-012-0429-2. ISSN  0932-5026. S2CID  122038290.
13. Baxley, RT; Waldenhorst, BT; Acosta-Marum, G (2010). «Комплексное гауссовское распределение отношений с приложениями для расчета коэффициента ошибок в каналах с замираниями и несовершенной CSI». 2010 IEEE Global Telecommunications Conference GLOBECOM 2010. стр. 1–5. doi :10.1109/GLOCOM.2010.5683407. ISBN 978-1-4244-5636-9. S2CID  14100052.
14. Sourisseau, M.; Wu, H.-T.; Zhou, Z. (октябрь 2022 г.). «Асимптотический анализ преобразования синхронного сжатия — к статистическому выводу с помощью частотно-временного анализа нелинейного типа». Annals of Statistics . 50 (5): 2694–2712. arXiv : 1904.09534 . doi :10.1214/22-AOS2203.
15. Конечно, любое применение центральной предельной теоремы предполагает подходящие, обычно встречающиеся условия регулярности, например, конечную дисперсию.
16. Кермонд, Джон (2010). «Введение в алгебру случайных величин». Труды 47-й ежегодной конференции Математической ассоциации Виктории – Новая учебная программа. Новые возможности . Математическая ассоциация Виктории: 1–16. ISBN 978-1-876949-50-1.
17. "SLAPPF". Статистическое инженерное отделение, Национальный институт науки и технологий . Получено 2009-07-02 .
18. Хамедани, ГГ (октябрь 2013 г.). «Характеристики распределения отношения случайных величин Рэлея». Pakistan Journal of Statistics . 29 (4): 369–376.
19. Раджа Рао, Б.; Гарг., М. Л. (1969). «Заметка об обобщенном (положительном) распределении Коши». Канадский математический бюллетень . 12 (6): 865–868. doi : 10.4153/CMB-1969-114-2 .
20. Katz D. et al . (1978) Получение доверительных интервалов для отношения рисков в когортных исследованиях. Биометрия 34:469–474
21. Коэн, А. Клиффорд (июнь 1960 г.). «Оценка параметра в условном распределении Пуассона». Биометрия . 60 (2): 203–211. doi :10.2307/2527552. JSTOR  2527552.
22. Спрингаэль, Йохан (2006). "О сумме независимых пуассоновских случайных величин с усеченным нулевым распределением" (PDF) . Университет Антверпена, Факультет бизнеса и экономики .
23. Dietz, Ekkehart; Bohning, Dankmar (2000). «Об оценке параметра Пуассона в моделях Пуассона с нулевым изменением». Computational Statistics & Data Analysis . 34 (4): 441–459. doi :10.1016/S0167-9473(99)00111-5.
24. Bindu P и Sangita K (2015) Двойное распределение Ломакса и его приложения. Statistica LXXV (3) 331–342
25. Бреннан, LE; Рид, IS (январь 1982). «Алгоритм обработки сигналов адаптивной решетки для связи». Труды IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . AES-18 № 1: 124–130. Bibcode : 1982ITAES..18..124B. doi : 10.1109/TAES.1982.309212. S2CID  45721922.
26. Muirhead, Robb (1982). Аспекты многомерной статистической теории . США: Wiley. стр. 96, теорема 3.2.12.

Внешние ссылки

• Распределение отношений в MathWorld
• Нормальное распределение отношения в MathWorld
• Распределения отношений в MathPages