Гребенчатый фильтр

Фильтр обработки сигнала

Структура гребенчатого фильтра прямой связи

В обработке сигналов гребенчатый фильтр — это фильтр, реализованный путем добавления задержанной версии сигнала к себе, что приводит к конструктивным и деструктивным помехам . Частотная характеристика гребенчатого фильтра состоит из ряда регулярно расположенных вырезов между регулярно расположенными пиками (иногда называемыми зубцами ), создающими вид гребенки .

Гребенчатые фильтры существуют в двух формах: с прямой связью и с обратной связью ; они определяют направление, в котором сигналы задерживаются перед добавлением к входу.

Гребенчатые фильтры могут быть реализованы в дискретной или непрерывной временной форме, которые очень похожи.

Приложения

Расширенный гребенчатый фильтр PAL-II (APCF-II, Motorola MC141627FT)

Гребенчатые фильтры используются в различных приложениях обработки сигналов, включая:

• Каскадные интеграторно-гребенчатые фильтры (CIC) обычно используются для сглаживания во время операций интерполяции и прореживания , которые изменяют частоту дискретизации дискретной системы.
• Гребенчатые фильтры 2D и 3D, реализованные на аппаратном уровне (а иногда и на программном) в декодерах аналогового телевидения PAL и NTSC , уменьшают такие артефакты, как смещение точек .
• Обработка аудиосигнала , включая задержку , флэнжер , синтез физического моделирования и синтез цифрового волновода . Если задержка установлена ​​на несколько миллисекунд, гребенчатый фильтр может моделировать эффект акустических стоячих волн в цилиндрической полости или в вибрирующей струне .
• В астрономии астро-гребень обещает повысить точность существующих спектрографов почти в сто раз.

В акустике гребенчатая фильтрация может возникнуть как нежелательный артефакт. Например, два громкоговорителя, воспроизводящие один и тот же сигнал на разных расстояниях от слушателя, создают эффект гребенчатой ​​фильтрации звука. ^[1] В любом замкнутом пространстве слушатели слышат смесь прямого звука и отраженного звука. Отраженный звук проходит более длинный, задержанный путь по сравнению с прямым звуком, и создается гребенчатый фильтр, где они смешиваются у слушателя. ^[2] Аналогично, гребенчатая фильтрация может возникнуть в результате монофонического смешивания нескольких микрофонов, отсюда правило 3:1, согласно которому соседние микрофоны должны быть разнесены на расстояние, по крайней мере в три раза превышающее расстояние от их источника до микрофона. ^{[ требуется ссылка ]}

Реализация дискретного времени

Форма прямой связи

Структура гребенчатого фильтра прямой связи в дискретном времени

Общая структура гребенчатого фильтра прямой связи описывается разностным уравнением :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha x[n-K]}$

где — длина задержки (измеряется в отсчетах), а α — масштабный коэффициент, применяемый к задержанному сигналу. Преобразование z обеих сторон уравнения дает: ${\displaystyle K}$

${\displaystyle Y(z)=\left(1+\alpha z^{-K}\right)X(z)}$

Передаточная функция определяется как:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}=1+\alpha z^{-K}={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

Частотная характеристика

Реакция амплитуды прямой связи для различных положительных значений α и K = 1 в дискретном времени

Реакция амплитуды прямой связи для различных отрицательных значений α и K = 1 в дискретном времени

Частотная характеристика дискретной системы, выраженная в z -области, получается путем подстановки , где — мнимая единица , а — угловая частота . Таким образом, для гребенчатого фильтра прямой связи: ${\displaystyle z=e^{j\omega },}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)=1+\alpha e^{-j\omega K}}$

Используя формулу Эйлера , частотная характеристика также определяется выражением

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\bigl [}1+\alpha \cos(\omega K){\bigr ]}-j\alpha \sin(\omega K)}$

Часто интерес представляет амплитудный отклик, который игнорирует фазу. Он определяется как:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\sqrt {\Re \left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}+\Im \left\{H\left(e^{j\omega }\right)\right\}^{2}}}}$

В случае гребенчатого фильтра прямой связи это:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|H(e^{j\omega })\right|&={\sqrt {(1+\alpha \cos(\omega K))^{2}+(\alpha \sin(\omega K))^{2}}}\\&={\sqrt {(1+\alpha ^{2})+2\alpha \cos(\omega K)}}\end{aligned}}}$

Член является постоянным, тогда как член периодически изменяется . Следовательно, амплитудная характеристика гребенчатого фильтра является периодической. ${\displaystyle (1+\alpha ^{2})}$ ${\displaystyle 2\alpha \cos(\omega K)}$

Графики показывают периодическую зависимость амплитуды для различных значений некоторых важных свойств: ${\displaystyle \alpha .}$

• Реакция периодически падает до локального минимума (иногда называемого выемкой ) и периодически поднимается до локального максимума (иногда называемого пиком или зубцом ).
• При положительных значениях первый минимум возникает на половине периода задержки и повторяется с четными кратностями частоты задержки в дальнейшем: ${\displaystyle \alpha ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {1}{2K}},{\frac {3}{2K}},{\frac {5}{2K}}\cdots \\\omega &={\frac {\pi }{K}},{\frac {3\pi }{K}},{\frac {5\pi }{K}}\cdots \,\end{aligned}}}$$

• Уровни максимумов и минимумов всегда равноудалены от 1.
• Когда минимумы имеют нулевую амплитуду. В этом случае минимумы иногда называют нулями . ${\displaystyle \alpha =\pm 1,}$
• Максимумы для положительных значений совпадают с минимумами для отрицательных значений , и наоборот. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Импульсный ответ

Гребенчатый фильтр прямой связи является одним из простейших фильтров с конечной импульсной характеристикой . ^[3] Его отклик представляет собой просто начальный импульс со вторым импульсом после задержки.

Интерпретация полюса и нуля

Снова рассмотрим передаточную функцию z -области гребенчатого фильтра прямой связи:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}+\alpha }{z^{K}}}}$

числитель равен нулю, когда z ^K = − α . Это имеет K решений, равномерно распределенных по окружности в комплексной плоскости ; это нули передаточной функции. Знаменатель равен нулю при z ^K = 0 , что дает K полюсов при z = 0 . Это приводит к графику полюс–ноль, подобному показанному.

Форма обратной связи

Структура гребенчатого фильтра обратной связи в дискретном времени

Аналогично, общая структура гребенчатого фильтра с обратной связью описывается разностным уравнением :

${\displaystyle y[n]=x[n]+\alpha y[n-K]}$

Это уравнение можно перестроить так, чтобы все члены находились в левой части, а затем выполнить z -преобразование: ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \left(1-\alpha z^{-K}\right)Y(z)=X(z)}$

Таким образом, передаточная функция имеет вид:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1}{1-\alpha z^{-K}}}={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

Частотная характеристика

Реакция величины обратной связи для различных положительных значений α и K = 2 в дискретном времени

Реакция величины обратной связи для различных отрицательных значений α и K = 2 в дискретном времени

Подставив в выражение z -области гребенчатого фильтра обратной связи : ${\displaystyle z=e^{j\omega }}$

${\displaystyle H\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{1-\alpha e^{-j\omega K}}}\,,}$

величина отклика становится:

${\displaystyle \left|H\left(e^{j\omega }\right)\right|={\frac {1}{\sqrt {\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha \cos(\omega K)}}}\,.}$

Опять же, ответ является периодическим, как показывают графики. Фильтр гребенчатой ​​обратной связи имеет некоторые общие свойства с формой прямой связи:

• Реакция периодически падает до локального минимума и поднимается до локального максимума.
• Максимумы для положительных значений совпадают с минимумами для отрицательных значений и наоборот. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ,}$
• Для положительных значений первый максимум возникает при 0 и повторяется с четными кратностями частоты задержки после этого: ${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=0,{\frac {1}{K}},{\frac {2}{K}},{\frac {3}{K}}\cdots \\\omega &=0,{\frac {2\pi }{K}},{\frac {4\pi }{K}},{\frac {6\pi }{K}}\cdots \end{aligned}}}$

Однако есть и некоторые важные различия, поскольку амплитудный отклик имеет член в знаменателе :

• Уровни максимумов и минимумов больше не равноудалены от 1. Максимумы имеют амплитуду ⁠1/1 − α⁠ .
• Фильтр устойчив только в том случае, если | α | строго меньше 1. Как видно из графиков, с увеличением | α | амплитуда максимумов растет все быстрее.

Импульсный ответ

Фильтр гребенчатой ​​обратной связи представляет собой простой тип фильтра с бесконечной импульсной характеристикой . ^[4] Если реакция стабильна, она просто состоит из повторяющейся серии импульсов, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Интерпретация полюса и нуля

Снова рассмотрим передаточную функцию z -области гребенчатого фильтра обратной связи:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{K}}{z^{K}-\alpha }}}$

На этот раз числитель равен нулю при z ^K = 0 , что дает K нулей при z = 0. Знаменатель равен нулю, когда z ^K = α . Это имеет K решений, равномерно распределенных по окружности в комплексной плоскости ; это полюса передаточной функции. Это приводит к графику полюсов и нулей, подобному показанному ниже.

Непрерывное внедрение во времени

Гребенчатые фильтры также могут быть реализованы в непрерывном времени , которое может быть выражено в области Лапласа как функция комплексного параметра частотной области, аналогичного области z. Аналоговые схемы используют некоторую форму аналоговой линии задержки для элемента задержки. Реализации с непрерывным временем разделяют все свойства соответствующих реализаций с дискретным временем. ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$

Форма прямой связи

Форму прямой связи можно описать уравнением:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha x(t-\tau )}$

где τ — задержка (измеряется в секундах). Она имеет следующую передаточную функцию:

${\displaystyle H(s)=1+\alpha e^{-s\tau }}$

Форма прямой связи состоит из бесконечного числа нулей, расположенных вдоль оси jω ( что соответствует области Фурье ).

Форма обратной связи

Форма обратной связи имеет следующее уравнение:

${\displaystyle y(t)=x(t)+\alpha y(t-\tau )}$

и следующую передаточную функцию:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1-\alpha e^{-s\tau }}}}$

Форма обратной связи состоит из бесконечного числа полюсов, расположенных вдоль оси jω.

Смотрите также

• гребень Дирака
• Интерферометр Фабри–Перо

Ссылки

1. Роджер Рассел. "Слух, колонки и гребенчатая фильтрация" . Получено 22.04.2010 .
2. "Acoustic Basics". Acoustic Sciences Corporation. Архивировано из оригинала 2010-05-07.
3. Смит, Дж. О. "Фильтры гребенчатой ​​прямой связи". Архивировано из оригинала 06.06.2011.
4. Смит, Дж. О. "Фильтры гребенчатой ​​обратной связи". Архивировано из оригинала 06.06.2011.

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Фильтры гребенчатого типа на Wikimedia Commons