Кольцо оценки

Понятие в алгебре

В абстрактной алгебре кольцом оценок называется область целостности D, такая что для каждого ненулевого элемента x ее поля дробей F хотя бы один из x или x ⁻¹ принадлежит D.

Если задано поле F , и D является подкольцом F таким , что либо x , либо x ⁻¹ принадлежит D для каждого ненулевого x в F , то D называется кольцом оценки для поля F или местом F . Поскольку F в этом случае действительно является полем дробей D , кольцо оценки для поля является кольцом оценки. Другой способ охарактеризовать кольца оценки поля F состоит в том, что кольца оценки D поля F имеют F в качестве своего поля дробей, и их идеалы полностью упорядочены по включению ; или, что эквивалентно, их главные идеалы полностью упорядочены по включению. В частности, каждое кольцо оценки является локальным кольцом .

Кольца оценки поля — это максимальные элементы множества локальных подколец в поле, частично упорядоченные по доминированию или измельчению , ^[1] где

${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A})}$доминирует, если и . ^[2] ${\displaystyle (B,{\mathfrak {m}}_{B})}$ ${\displaystyle A\supseteq B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}}$

Каждое локальное кольцо в поле K доминируется некоторым кольцом нормирования поля K.

Область целостности, локализация которой в любом простом идеале является кольцом нормирования, называется областью Прюфера .

Определения

Существует несколько эквивалентных определений кольца оценки (см. ниже характеристику в терминах доминирования). Для целостной области D и ее поля дробей K следующие определения эквивалентны:

1. Для каждого ненулевого x в K , по крайней мере один из x или x − ¹ находится в D.
2. Идеалы D полностью упорядочены по включению.
3. Главные идеалы D полностью упорядочены по включению (т.е. элементы D с точностью до единиц полностью упорядочены по делимости ).
4. Существует полностью упорядоченная абелева группа Γ (называемая группой значений ) и оценка ν: K → Γ ∪ {∞} с D = { x ∈ K | ν( x ) ≥ 0 }.

Эквивалентность первых трех определений легко следует. Теорема (Крулла 1939) утверждает, что любое кольцо , удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: возьмем Γ как фактор K × ^/ D × ^{единичной} группы K по единичной группе D и возьмем ν как естественную проекцию. Мы можем превратить Γ в полностью упорядоченную группу , объявив классы остатков элементов D "положительными". ^[a]

Более того, для любой полностью упорядоченной абелевой группы Γ существует кольцо нормирования D с группой нормирования Γ (см. ряд Хана ).

Из того факта, что идеалы кольца оценки полностью упорядочены, можно заключить, что кольцо оценки является локальной областью, и что каждый конечно порождённый идеал кольца оценки является главным (т. е. кольцо оценки является областью Безу ). Фактически, теорема Крулля гласит, что область целостности является кольцом оценки тогда и только тогда, когда она является локальной областью Безу. ^[3] Из этого также следует, что кольцо оценки является нётеровым тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов . В этом случае оно является либо полем, либо имеет ровно один ненулевой простой идеал; в последнем случае оно называется дискретным кольцом оценки . (По соглашению поле не является дискретным кольцом оценки.)

Группа значений называется дискретной, если она изоморфна аддитивной группе целых чисел , а кольцо значений имеет дискретную группу значений тогда и только тогда, когда оно является дискретным кольцом значений . ^[4]

Очень редко, valuation ring может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является доменом. Более распространенный термин для этого типа кольца — unerial ring .

Примеры

• Любое поле является кольцом оценки. Например, поле рациональных функций на алгебраическом многообразии . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$
• Простым не-примером является область целостности, поскольку обратная область обобщения равна . ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ ${\displaystyle f/g\in \mathbb {C} (X)}$ ${\displaystyle g/f\not \in \mathbb {C} [X]}$
• Поле степенных рядов :

${\displaystyle \mathbb {F} ((X))=\left\{f(X)=\!\sum _{i>-\infty }^{\infty }a_{i}X^{i}\,:\ a_{i}\in \mathbb {F} \right\}}$

имеет оценку . Подкольцо также является кольцом оценки. ${\displaystyle v(f)=\inf \nolimits _{a_{n}\neq 0}n}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [[X]]}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)},}$локализация целых чисел в простом идеале ( p ), состоящая из отношений, где числитель — любое целое число, а знаменатель не делится на p . Поле дробей — это поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• Кольцо мероморфных функций на всей комплексной плоскости , которые имеют ряд Маклорена ( разложение в ряд Тейлора в нуле), является кольцом нормирования. Поле дробей — это функции, мероморфные на всей плоскости. Если f не имеет ряда Маклорена, то 1/ f имеет.
• Любое кольцо целых p -адических чисел для заданного простого числа p является локальным кольцом с полем дробей p -адических чисел . Целочисленное замыкание целых p -адических чисел также является локальным кольцом с полем дробей ( алгебраическое замыкание p - адических чисел). Оба и являются кольцами оценки. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\text{cl}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\text{cl}}}$
• Пусть k — упорядоченное поле . Элемент поля k называется конечным, если он лежит между двумя целыми числами n < x < m ; в противном случае он называется бесконечным. Множество D конечных элементов поля k является кольцом нормирования. Множество элементов x, таких что x ∈ D и x ⁻¹ ∉ D, является множеством бесконечно малых элементов; а элемент x, такой что x ∉ D и x ⁻¹ ∈ D, называется бесконечным.
• Кольцо F конечных элементов гипердействительного поля * R (упорядоченное поле, содержащее действительные числа ) является кольцом нормирования * R . F состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, что эквивалентно определению гипердействительного числа x такого, что − n < x < n для некоторого стандартного целого числа n . Поле вычетов , конечных гипердействительных чисел по модулю идеала бесконечно малых гипердействительных чисел, изоморфно действительным числам.
• Обычный геометрический пример — алгебраические плоские кривые . Рассмотрим кольцо многочленов и неприводимый многочлен в этом кольце. Тогда кольцо — это кольцо полиномиальных функций на кривой . Выберем точку так, что и она является регулярной точкой на кривой; т. е. локальное кольцо R в точке является регулярным локальным кольцом размерности Крулля один или кольцом дискретного нормирования . ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)}$ ${\displaystyle \{(x,y):f(x,y)=0\}}$ ${\displaystyle P=(P_{x},P_{y})\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle f(P)=0}$
• Например, рассмотрим включение . Все это подкольца в поле ограниченных снизу степенных рядов . ${\displaystyle (\mathbb {C} [[X^{2}]],(X^{2}))\hookrightarrow (\mathbb {C} [[X]],(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$

Доминирование и интегральное закрытие

Единицы , или обратимые элементы, кольца оценок — это элементы x в D, такие, что x −  ¹ также является членом D. Другие элементы D , называемые неединицами, не имеют обратных в D , и они образуют идеал M. Этот идеал является максимальным среди (полностью упорядоченных) идеалов D. Поскольку M является максимальным идеалом , фактор - кольцо D / M является полем, называемым полем вычетов D.

В общем случае мы говорим, что локальное кольцо доминирует локальное кольцо, если и ; другими словами, включение является локальным кольцевым гомоморфизмом . Каждое локальное кольцо в поле K доминируется некоторым кольцом оценки K . Действительно, множество, состоящее из всех подколец R из K , содержащих A и , непусто и индуктивно; таким образом, имеет максимальный элемент по лемме Цорна . Мы утверждаем, что R является кольцом оценки. R является локальном кольцом с максимальным идеалом , содержащим по максимальности. Опять же по максимальности оно также целозамкнуто. Теперь, если , то по максимальности, и таким образом мы можем записать: ${\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})}$ ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})}$ ${\displaystyle S\supseteq R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle R\subseteq S}$ ${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle 1\not \in {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R}$ ${\displaystyle x\not \in R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R[x]=R[x]}$

${\displaystyle 1=r_{0}+r_{1}x+\cdots +r_{n}x^{n},\quad r_{i}\in {\mathfrak {p}}R}$.

Так как является единичным элементом, это означает, что является целым над R ; таким образом, принадлежит R . Это доказывает, что R является кольцом оценок. ( R доминирует над A, поскольку его максимальный идеал содержит по построению.) ${\displaystyle 1-r_{0}}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Локальное кольцо R в поле K является кольцом оценки тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K, частично упорядоченных по доминированию. Это легко следует из вышесказанного. ^[b]

Пусть A — подкольцо поля K и гомоморфизм колец в алгебраически замкнутое поле k . Тогда f расширяется до гомоморфизма колец , D — некоторое кольцо нормирования поля K, содержащее A. (Доказательство: Пусть — максимальное расширение, которое, очевидно, существует по лемме Цорна. По максимальности R — локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащее ядро ​​f . Если S — локальное кольцо, доминирующее над R , то S алгебраично над R ; в противном случае содержит кольцо многочленов , на которое расширяется g , противоречие с максимальностью. Отсюда следует, что является алгебраическим расширением поля . Таким образом, расширяет g ; следовательно, S = R. ) ${\displaystyle f:A\to k}$ ${\displaystyle g:D\to k}$ ${\displaystyle g:R\to k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle S/{\mathfrak {m}}_{S}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle S\to S/{\mathfrak {m}}_{S}\hookrightarrow k}$

Если подкольцо R поля K содержит кольцо оценки D поля K , то, проверяя Определение 1, R также является кольцом оценки K . В частности, R локально и его максимальный идеал стягивается к некоторому простому идеалу D , скажем, . Тогда поскольку доминирует , которое является кольцом оценки, поскольку идеалы полностью упорядочены. Это наблюдение сводится к следующему: ^[7] существует биективное соответствие множество всех подколец K , содержащих D . В частности, D целозамкнуто, ^{[8] [c]} и размерность Крулля D равна числу собственных подколец K , содержащих D . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R=D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto D_{\mathfrak {p}},\operatorname {Spec} (D)\to }$

Фактически, целочисленное замыкание области целостности A в поле дробей K из A является пересечением всех колец оценки K , содержащих A . ^[9] Действительно, целочисленное замыкание содержится в пересечении, поскольку кольца оценки являются целочисленно замкнутыми. Обратно, пусть x принадлежит K , но не является целым над A . Поскольку идеал не является , ^[d] он содержится в максимальном идеале . Тогда существует кольцо оценки R , которое доминирует над локализацией в . Поскольку , . ${\displaystyle x^{-1}A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A[x^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}}$ ${\displaystyle x\not \in R}$

Доминирование используется в алгебраической геометрии . Пусть X — алгебраическое многообразие над полем k . Тогда мы говорим, что кольцо оценки R в имеет «центр x на X », если доминирует над локальным кольцом структурного пучка в точке x . ^[10] ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x,X}}$

Идеалы в кольцах оценки

Мы можем описать идеалы в кольце ценностей посредством его группы ценностей.

Пусть Γ — полностью упорядоченная абелева группа . Подмножество Δ группы Γ называется сегментом , если оно непусто и для любого α из Δ любой элемент между −α и α также принадлежит Δ (включая конечные точки). Подгруппа группы Γ называется изолированной подгруппой, если она является сегментом и является собственной подгруппой.

Пусть D — кольцо нормирования с нормированием v и группой нормирования Γ. Для любого подмножества A из D пусть будет дополнением объединения и в . Если I — собственный идеал, то — сегмент из . Фактически, отображение определяет обращающую включение биекцию между множеством собственных идеалов D и множеством сегментов из . ^[11] При этом соответствии ненулевые простые идеалы из D взаимно однозначно соответствуют изолированным подгруппам из Γ. ${\displaystyle \Gamma _{A}}$ ${\displaystyle v(A-0)}$ ${\displaystyle -v(A-0)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle I\mapsto \Gamma _{I}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Пример: Кольцо p -адических целых чисел является кольцом нормирования с группой значений . Нулевая подгруппа соответствует единственному максимальному идеалу , а вся группа — нулевому идеалу . Максимальный идеал является единственной изолированной подгруппой . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Множество изолированных подгрупп полностью упорядочено по включению. Высота или ранг r (Γ) группы Γ определяется как мощность множества изолированных подгрупп группы Γ. Поскольку ненулевые простые идеалы полностью упорядочены и соответствуют изолированным подгруппам группы Γ, высота группы Γ равна размерности Крулля кольца нормирования D, связанного с Γ.

Наиболее важным частным случаем является высота один, что эквивалентно тому, что Γ является подгруппой действительных чисел при сложении (или, что эквивалентно, положительных действительных чисел при умножении). Кольцо оценки с оценкой высоты один имеет соответствующее абсолютное значение , определяющее ультраметрическое место . Частным случаем этого являются дискретные кольца оценки, упомянутые ранее. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Рациональный ранг rr (Γ) определяется как ранг группы значений как абелевой группы,

${\displaystyle \mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\Gamma \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} ).}$

Места

Общее определение

Место поля K — это кольцевой гомоморфизм p из кольца нормирования D поля K в некоторое поле , такой что для любого , . Образ места — это поле, называемое полем вычетов поля p . Например, каноническое отображение — это место. ${\displaystyle x\not \in D}$ ${\displaystyle p(1/x)=0}$ ${\displaystyle D\to D/{\mathfrak {m}}_{D}}$

Пример

Пусть A — дедекиндова область и простой идеал. Тогда каноническая карта — это место. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$

Специализация мест

Мы говорим, что место p специализируется на месте p ′ , обозначаемом , если кольцо оценки p содержит кольцо оценки p ' . В алгебраической геометрии мы говорим, что простой идеал специализируется на , если . Эти два понятия совпадают: тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий p , специализируется на простом идеале, соответствующем p ′ в некотором кольце оценки (напомним, что если — кольца оценки одного и того же поля, то D соответствует простому идеалу .) ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle D\supseteq D'}$ ${\displaystyle D'}$

Пример

Например, в функциональном поле некоторого алгебраического многообразия каждый простой идеал, содержащийся в максимальном идеале, дает специализацию . ${\displaystyle \mathbb {F} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\rightsquigarrow {\mathfrak {m}}}$

Замечания

Можно показать: если , то для некоторого места q поля вычетов p . (Наблюдение — это кольцо оценки и пусть q — соответствующее место; остальное — механическое.) Если D — кольцо оценки p , то его размерность Крулля — это мощность специализаций, отличных от p до p . Таким образом, для любого места p с кольцом оценки D поля K над полем k , мы имеем: ${\displaystyle p\rightsquigarrow p'}$ ${\displaystyle p'=q\circ p|_{D'}}$ ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle p(D')}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K}$.

Если p — место, а A — подкольцо кольца нормирования p , то называется центром p в A. ${\displaystyle \operatorname {ker} (p)\cap A}$

Места в бесконечности

Для поля функций на аффинном многообразии существуют оценки, которые не связаны ни с одним из простых чисел . Эти оценки называются местами на бесконечности .[1] Например, аффинная прямая имеет поле функций . Место, связанное с локализацией ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k(x)}$

${\displaystyle k\left[{\frac {1}{x}}\right]}$

в максимальном идеале

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\left({\frac {1}{x}}\right)}$

это место в бесконечности.

Примечания

1. Точнее, Γ полностью упорядочен, если определить тогда и только тогда, когда [ x ] и [ y ] — классы эквивалентности в Γ. см. Efrat (2006), стр. 39 ${\displaystyle [x]\geq [y]}$ ${\displaystyle xy^{-1}\in D}$
2. Доказательство: если R — максимальный элемент, то он доминируется кольцом оценки; таким образом, он сам должен быть кольцом оценки. Наоборот, пусть R — кольцо оценки, а S — локальное кольцо, которое доминирует над R , но не над R . Существует x , который находится в S , но не в R . Тогда находится в R и фактически в максимальном идеале R . Но тогда , что абсурдно. Следовательно, не может быть такого S . ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{S}}$
3. Чтобы более наглядно увидеть, что кольца оценки являются целозамкнутыми, предположим, что x ⁿ  +  a ₁ x ^{n −1}  + ... +  a ₀  = 0. Тогда деление на x ^{n −1} дает нам x = − a ₁  − ... −  a ₀ x ^{− n +1} . Если бы x не было в D , то x ⁻¹ было бы в D , и это выразило бы x как конечную сумму элементов в D , так что x было бы в D , противоречие.
4. В общем случае является целым по A тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle xA[x]=A[x].}$

Цитаты

1. Хартшорн 1977, Теорема I.6.1A.
2. Эфрат 2006, стр. 55.
3. Кон 1968, Предложение 1.5.
4. Эфрат 2006, стр. 43.
5. Роль колец оценки в алгебраической геометрии
6. Существует ли риманова поверхность, соответствующая каждому расширению поля? Нужны ли какие-либо другие гипотезы?
7. Зариски и Сэмюэл 1975, Гл. VI, Теорема 3.
8. Эфрат 2006, стр. 38.
9. Мацумура 1989, Теорема 10.4.
10. Хартсхорн 1977, Глава II. Упражнение 4.5.
11. Зариски и Сэмюэл 1975, Гл. VI, Теорема 15.

Источники

• Бурбаки, Николас (1972). Коммутативная алгебра . Элементы математики (первое изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-020100644-5.
• Cohn, PM (1968), «Кольца Безу и их подкольца» (PDF) , Proc. Cambridge Philos. Soc. , 64 (2): 251–264, Bibcode : 1968PCPS...64..251C, doi : 10.1017/s0305004100042791, ISSN  0008-1981, MR  0222065, S2CID  123667384, Zbl  0157.08401
• Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и теория Милнора K , Математические обзоры и монографии, т. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-4041-X, ЗБЛ  1103.12002
• Фукс, Ласло; Сальче, Луиджи (2001), Модули над не-нётеровыми областями , Математические обзоры и монографии, т. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1963-0, MR  1794715, Zbl  0973.13001
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Крулль, Вольфганг (1939), «Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VI. Der allgemeine Diskriminantensatz. Unverzweigte Ringerweiterungen», Mathematische Zeitschrift , 45 (1): 1–19, doi : 10.1007/BF01580269, ISSN  0025- 5874, МР  1545800, S2CID  121374449, Збл  0020.34003
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 8, Перевод с японского Майлза Рида (второе издание), ISBN 0-521-36764-6, ЗБЛ  0666.13002
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Том II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, МР  0389876