Снижение точности (навигация)

Распространение ошибки с различной топологией

Снижение точности ( DOP ) или геометрическое снижение точности ( GDOP ) — термин, используемый в спутниковой навигации и геоматике для описания распространения ошибок как математического эффекта геометрии навигационного спутника на точность позиционных измерений.

Понимание снижения точности на примере. В A кто-то измерил расстояние до двух ориентиров и нанес их точку на пересечение двух окружностей с измеренным радиусом. В B измерение имеет некоторые пределы погрешности, и их истинное местоположение будет находиться где угодно в зеленой области. В C погрешность измерения та же, но ошибка их положения значительно выросла из-за расположения ориентиров.

Плохой оператор против хорошего оператора

Введение

Концепция снижения точности (DOP) возникла у пользователей навигационной системы Loran-C . ^[1] Идея геометрического DOP заключается в том, чтобы установить, как ошибки в измерении повлияют на оценку конечного состояния. Это можно определить как: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {GDOP} ={\frac {\Delta ({\text{output location}})}{\Delta ({\text{measured data}})}}}$

Концептуально вы можете геометрически представить ошибки измерения, приводящие к изменению термина. В идеале небольшие изменения в измеренных данных не приведут к большим изменениям в местоположении выходных данных. Противоположностью этому идеалу является ситуация, когда решение очень чувствительно к ошибкам измерения. Интерпретация этой формулы показана на рисунке справа, где показаны два возможных сценария с приемлемым и плохим GDOP. ${\displaystyle \Delta ({\text{measured data}})}$

С широким внедрением спутниковых навигационных систем этот термин стал использоваться гораздо шире. Пренебрегая ионосферными ^[3] и тропосферными ^[4] эффектами, сигнал от навигационных спутников имеет фиксированную точность. Поэтому относительная геометрия спутника-приемника играет важную роль в определении точности расчетных положений и времени. Из-за относительной геометрии любого данного спутника к приемнику точность псевдодальности спутника преобразуется в соответствующий компонент в каждом из четырех измерений положения, измеряемого приемником (т. е. , , , и ). Точность нескольких спутников в поле зрения приемника объединяется в соответствии с относительным положением спутников для определения уровня точности в каждом измерении приемника. Когда видимые навигационные спутники находятся близко друг к другу в небе, геометрия считается слабой, а значение DOP высоким; когда они находятся далеко друг от друга, геометрия является сильной, а значение DOP низким. Рассмотрим два перекрывающихся кольца или кольца с разными центрами. Если они перекрываются под прямым углом, то наибольшая степень перекрытия намного меньше, чем если бы они перекрывались почти параллельно. Таким образом, низкое значение DOP представляет лучшую позиционную точность из-за большего углового разделения между спутниками, используемыми для расчета положения единицы. Другими факторами, которые могут увеличить эффективный DOP, являются препятствия, такие как близлежащие горы или здания. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$

DOP можно выразить в виде ряда отдельных измерений:

HDOP

Горизонтальное снижение точности

ВДОП

Вертикальное снижение точности

ПДОП

Позиционирование (3D) снижение точности

ТДОП

Временное снижение точности

ГДОП

Геометрическое снижение точности

Эти значения математически вытекают из положений используемых спутников. Приемники сигналов позволяют отображать эти положения ( skyplot ), а также значения DOP.

Термин может также применяться к другим системам определения местоположения, которые используют несколько географически разнесенных сайтов. Это может происходить в электронных контрмерах ( электронная война ) при вычислении местоположения вражеских излучателей ( радиолокационных глушителей и устройств радиосвязи). Использование такого метода интерферометрии может обеспечить определенную геометрическую компоновку, где есть степени свободы, которые не могут быть учтены из-за неадекватных конфигураций.

Влияние геометрии спутников на погрешность определения местоположения называется геометрическим разбавлением точности (GDOP) и приблизительно интерпретируется как отношение погрешности определения местоположения к погрешности определения дальности. Представьте себе, что квадратная пирамида образована линиями, соединяющими четыре спутника, с приемником на вершине пирамиды. Чем больше объем пирамиды, тем лучше (ниже) значение GDOP; чем меньше ее объем, тем хуже (выше) будет значение GDOP. Аналогично, чем больше количество спутников, тем лучше значение GDOP.

Интерпретация

Коэффициенты DOP являются функциями диагональных элементов ковариационной матрицы параметров, выраженных либо в глобальной, либо в локальной геодезической системе координат.

Вычисление

В качестве первого шага в вычислении DOP ^[5] рассмотрим единичные векторы от приемника к спутнику : ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {x_{i}-x}{R_{i}}},{\frac {y_{i}-y}{R_{i}}},{\frac {z_{i}-z}{R_{i}}}\right),&R_{i}&={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}\end{aligned}}}$

где обозначают положение приемника и обозначают положение спутника i. Сформулируйте матрицу A, которая (для 4 остаточных уравнений измерения псевдодальности) имеет вид: ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}-x}{R_{1}}}&{\frac {y_{1}-y}{R_{1}}}&{\frac {z_{1}-z}{R_{1}}}&1\\{\frac {x_{2}-x}{R_{2}}}&{\frac {y_{2}-y}{R_{2}}}&{\frac {z_{2}-z}{R_{2}}}&1\\{\frac {x_{3}-x}{R_{3}}}&{\frac {y_{3}-y}{R_{3}}}&{\frac {z_{3}-z}{R_{3}}}&1\\{\frac {x_{4}-x}{R_{4}}}&{\frac {y_{4}-y}{R_{4}}}&{\frac {z_{4}-z}{R_{4}}}&1\end{bmatrix}}}$

Первые три элемента каждой строки A являются компонентами единичного вектора от приемника до указанного спутника. Последний элемент каждой строки относится к частной производной псевдодальности относительно смещения часов приемника. Сформулируйте матрицу Q как ковариационную матрицу , полученную из нормальной матрицы наименьших квадратов :

${\displaystyle Q=\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}}$

В общем:

${\displaystyle Q=\left(J_{\mathsf {x}}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}J_{x}\right)^{-1}}$

где — якобиан остаточных уравнений измерения датчика относительно неизвестных, ; — якобиан остаточных уравнений измерения датчика относительно измеренных величин , а — корреляционная матрица для шума в измеренных величинах. ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)=0}$ ${\displaystyle {\underline {x}}}$ ${\displaystyle J_{d}}$ ${\displaystyle {\underline {d}}}$ ${\displaystyle C_{d}}$

Для предыдущего случая 4-диапазонных измерений остаточные уравнения: , , , , , , , и шумы измерений для разных значений предполагались независимыми, что делает . ${\displaystyle {\underline {x}}=(x,y,z,\tau )^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle {\underline {d}}=\left(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3},\tau _{4}\right)^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \tau =ct}$ ${\displaystyle \tau _{i}=ct_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}=|\tau _{i}-\tau |={\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$ ${\displaystyle f_{i}\left({\underline {x}},{\underline {d}}\right)={\sqrt {(x_{i}-x)^{2}+(y_{i}-y)^{2}+(z_{i}-z)^{2}}}-{\sqrt {(\tau _{i}-\tau )^{2}}}}$ ${\displaystyle J_{x}=A}$ ${\displaystyle J_{d}=-I}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle C_{d}=I}$

Эта формула для Q возникает из применения наилучшей линейной несмещенной оценки к линеаризованной версии остаточных уравнений измерения датчика относительно текущего решения , за исключением случая BLUE, где матрица ковариации шума, а не матрица корреляции шума, используемая в DOP, и причина, по которой DOP делает эту замену, заключается в получении относительной погрешности. Когда матрица ковариации шума, представляет собой оценку матрицы ковариации шума в неизвестных из-за шума в измеряемых величинах. Это оценка, полученная с помощью метода количественной оценки неопределенности второго момента первого порядка (FOSM), который был передовым в 1980-х годах. Для того чтобы теория FOSM была строго применима, либо распределения входного шума должны быть гауссовыми, либо стандартные отклонения шума измерения должны быть малыми относительно скорости изменения выходного сигнала вблизи решения. В этом контексте обычно удовлетворяется второй критерий. ${\displaystyle \Delta {\underline {x}}=-Q*\left(J_{x}^{\mathsf {T}}\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}f\right)}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle C_{d}}$ ${\displaystyle Q}$

Это вычисление (т.е. для 4 остаточных уравнений времени прибытия/измерения дальности) соответствует [6], где весовая матрица упрощается до единичной матрицы. ${\displaystyle P=\left(J_{d}C_{d}J_{d}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}}$

Обратите внимание, что P упрощается только до единичной матрицы, поскольку все уравнения остатков измерений датчиков являются уравнениями времени прибытия (псевдодальности). В других случаях, например, при попытке определить местоположение кого-либо, передающего сигналы на международной частоте бедствия , не будет упрощаться до единичной матрицы, и в этом случае будет компонент «частотного DOP» или FDOP либо в дополнение к компоненту TDOP, либо вместо него. (Относительно «вместо компонента TDOP»: поскольку часы на устаревших спутниках Международной программы Коспас-Сарсат LEO гораздо менее точны, чем часы GPS, отбрасывание их измерений времени фактически увеличит точность решения геолокации.) ${\displaystyle P}$

Элементы обозначаются как: ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\sigma _{x}^{2}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}&\sigma _{xt}\\\sigma _{xy}&\sigma _{y}^{2}&\sigma _{yz}&\sigma _{yt}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{z}^{2}&\sigma _{zt}\\\sigma _{xt}&\sigma _{yt}&\sigma _{zt}&\sigma _{t}^{2}\end{bmatrix}}}$

PDOP, TDOP и GDOP определяются по формуле: ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\sigma _{x}^{2}+\sigma _{y}^{2}+\sigma _{z}^{2}}}\\\operatorname {TDOP} &={\sqrt {\sigma _{t}^{2}}}\\\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {PDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {tr} Q}}\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что GDOP — это квадратный корень следа матрицы . ${\displaystyle Q}$

Горизонтальное и вертикальное снижение точности,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\sigma _{n}^{2}+\sigma _{e}^{2}}}\\\operatorname {VDOP} &={\sqrt {\sigma _{u}^{2}}}\end{aligned}}}$,

оба зависят от используемой системы координат. Чтобы соответствовать локальной системе координат восток-север-вверх ,

ЭДОП^2 xxx х НДОП^2 хх хх ВДОП^2 х xxx ТДОП^2

и полученные разведения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {GDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}+\operatorname {TDOP} ^{2}}}\\\operatorname {HDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}}}\\\operatorname {PDOP} &={\sqrt {\operatorname {EDOP} ^{2}+\operatorname {NDOP} ^{2}+\operatorname {VDOP} ^{2}}}\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Вероятная круговая ошибка
• Расчет позиционирования GNSS

Ссылки

1. Ричард Б. Лэнгли (май 1999 г.). "Dilution of Precision" (PDF) . GPS World . Архивировано (PDF) из оригинала 2011-10-04 . Получено 2011-10-12 .
2. Дудек, Грегори ; Дженкин, Майкл (2000). Вычислительные принципы мобильной робототехники . Cambridge University Press . ISBN 0-521-56876-5.
3. Пол Кинтнер, Корнелльский университет; Тодд Хамфрис; Техасский университет в Остине; Джоанна Хинкс; Корнелльский университет (июль–август 2009 г.). «GNSS и ионосферные мерцания: как пережить следующий солнечный максимум». Inside GNSS . Архивировано из оригинала 2011-11-06 . Получено 2011-10-12 .
4. "Ошибки GPS (учебник Trimble)". Архивировано из оригинала 2016-03-07 . Получено 2016-02-08 .
5. Isik, Oguz Kagan; Hong, Juhyeon; Petrunin, Ivan; Tsourdos, Antonios (25 августа 2020 г.). «Анализ целостности для навигации БПЛА на основе GPS в городской среде». Robotics . 9 (3): 66. doi : 10.3390/robotics9030066 .
6. Раздел 1.4.9 Принципов спутникового позиционирования.

Дальнейшее чтение

• Факторы ДОФ
• вручную рассчитать GDOP
• ОШИБКИ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ПОЛОЖЕНИЯ HDOP И GPS

• Статья о DOP и программе Trimble: Определение влияния геометрии локальных спутников GPS на точность определения местоположения.
• Заметки и GIF- изображение по ручному расчету GDOP: Geographer's Craft
• Ошибки GPS и оценка точности вашего приемника: веб-страница Сэма Уормли о точности GPS
• Точность, ошибки и достоверность GPS: Radio-Electronics.com Архивировано 22.02.2014 на Wayback Machine