Ошибка аппроксимации

Математическая концепция

График (синий) с его линейной аппроксимацией (красный) при a = 0. Ошибка аппроксимации — это зазор между кривыми, и она увеличивается для значений x, удаленных от 0. ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle P_{1}(x)=1+x}$

Ошибка аппроксимации значения данных — это расхождение между точным значением и некоторым приближением к нему. Эта ошибка может быть выражена как абсолютная ошибка (числовая величина расхождения) или как относительная ошибка (абсолютная ошибка, деленная на значение данных).

Ошибка аппроксимации может возникнуть по разным причинам, среди которых точность вычислительной машины или ошибка измерения (например, длина листа бумаги составляет 4,53 см, но линейка позволяет оценить ее только с точностью до 0,1 см, поэтому вы измеряете ее как 4,5 см).

В математической области численного анализа численная устойчивость алгоритма показывает , в какой степени ошибки на входе алгоритма приведут к большим ошибкам на выходе; численно устойчивые алгоритмы не приводят к значительным ошибкам на выходе, когда входные данные неправильно сформированы, и наоборот. ^[1]

Формальное определение

При некотором значении v мы говорим, что v _approx приближает v с абсолютной погрешностью ε >0, если ^{[2] [3]}

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \varepsilon }$

где вертикальные черты обозначают абсолютное значение .

Мы говорим, что v _approx приближает v с относительной погрешностью η >0, если

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \eta \cdot v}$.

Если v ≠ 0, то

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|}$.

Процентная погрешность (выражение относительной погрешности) равна ^[3]

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

Граница погрешности — это верхний предел относительного или абсолютного размера погрешности аппроксимации. ^[4]

Примеры

Лучшие рациональные аппроксимации для π (зеленый круг), e (синий ромб), ϕ (розовый продолговатый), (√3)/2 (серый шестиугольник), 1/√2 (красный восьмиугольник) и 1/√3 (оранжевый треугольник), вычисленные из их непрерывных дробных расширений, изображенные в виде наклонов y / x с ошибками относительно их истинных значений (черные штрихи)  

• в
• т
• е

Например, если точное значение равно 50, а приближенное — 49,9, то абсолютная погрешность составляет 0,1, а относительная погрешность составляет 0,1/50 = 0,002 = 0,2%. В качестве практического примера, при измерении 6-мл стакана полученное значение составило 5 мл. Правильное показание — 6 мл, это означает, что процентная погрешность в этой конкретной ситуации составляет, округленно, 16,7%.

Относительная погрешность часто используется для сравнения приближений чисел, сильно различающихся по размеру; например, приближение числа 1000 с абсолютной погрешностью 3 в большинстве случаев намного хуже, чем приближение числа 1 000 000 с абсолютной погрешностью 3; в первом случае относительная погрешность составляет 0,003, тогда как во втором — всего 0,000003.

Следует помнить о двух особенностях относительной погрешности. Во-первых, относительная погрешность не определена, когда истинное значение равно нулю, как оно указано в знаменателе (см. ниже). Во-вторых, относительная погрешность имеет смысл только при измерении по шкале отношений (т. е. шкале, которая имеет истинный значимый ноль), в противном случае она чувствительна к единицам измерения. Например, когда абсолютная погрешность измерения температуры , заданная по шкале Цельсия , составляет 1 °C, а истинное значение равно 2 °C, относительная погрешность составляет 0,5. Но если точно такое же приближение сделать со шкалой Кельвина , абсолютная погрешность в 1 К с тем же истинным значением 275,15 К = 2 °C дает относительную погрешность 3,63 × 10⁻³ .

Сравнение

Утверждения об относительных ошибках чувствительны к сложению констант, но не к умножению на константы. Для абсолютных ошибок верно обратное: чувствительны к умножению на константы, но не к сложению констант. ^{[5] : 34}

Полиномиальная аппроксимация действительных чисел

Мы говорим, что действительное значение v полиномиально вычислимо с абсолютной ошибкой по входным данным, если для каждого рационального числа ε > 0 можно вычислить рациональное число v _approx , которое аппроксимирует v с абсолютной ошибкой ε за время, полиномиальное по размеру входных данных и размеру кодирования ε (которое равно O(log(1/ ε )). Аналогично, v полиномиально вычислимо с относительной ошибкой , если для каждого рационального числа η > 0 можно вычислить рациональное число v _approx , которое аппроксимирует v с относительной ошибкой η за время, полиномиальное по размеру входных данных и размеру кодирования η .

Если v полиномиально вычислимо с относительной ошибкой (некоторым алгоритмом, называемым REL), то оно также полиномиально вычислимо с абсолютной ошибкой. Доказательство . Пусть ε >0 будет желаемой абсолютной ошибкой. Сначала используем REL с относительной ошибкой η= 1/2; найдем рациональное число r ₁ такое, что | v - r ₁ | ≤ | v |/2, и, следовательно, |v| ≤ 2 | r ₁ |. Если r ₁ =0, то v =0, и мы закончили. Поскольку REL является полиномом, длина кодирования r ₁ является полиномом на входе. Теперь снова запустим REL с относительной ошибкой η=ε/ (2 |r ₁ |). Это дает рациональное число r ₂ , которое удовлетворяет | v - r ₂ | ≤ ε|v | / (2 r ₁ ) ≤ ε , поэтому оно имеет абсолютную ошибку ε, как и требовалось. ^{[5] : 34}

Обратная импликация обычно неверна. Но если предположить, что некоторая положительная нижняя граница |v| может быть вычислена за полиномиальное время, например | v | > b > 0, и v полиномиально вычислима с абсолютной ошибкой (неким алгоритмом, называемым ABS), то она также полиномиально вычислима с относительной ошибкой, поскольку мы можем просто вызвать ABS с абсолютной ошибкой ε = η b.

Алгоритм, который для каждого рационального числа η >0 вычисляет рациональное число v , _{приблизительно} приближающее v с относительной погрешностью η , за время, полиномиальное от размера входных данных и 1/ η (а не log(1/ η )), называется FPTAS .

Инструменты

В большинстве индикаторных приборов точность гарантируется до определенного процента от полной шкалы показаний. Пределы этих отклонений от указанных значений известны как предельные погрешности или гарантированные погрешности. ^[6]

Обобщения

Определения можно распространить на случай, когда и являются n -мерными векторами , заменив абсолютное значение на n -норму . ^[7] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{\text{approx}}}$

Смотрите также

• Принятое и экспериментальное значение
• Номер состояния
• Ошибки и остатки в статистике
• Экспериментальный анализ неопределенности
• Машинный эпсилон
• Ошибка измерения
• Неопределенность измерения
• Распространение неопределенности
• Ошибка квантования
• Относительная разница
• Ошибка округления
• Неопределенность

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Численная устойчивость". mathworld.wolfram.com . Получено 2023-06-11 .
2. Weisstein, Eric W. "Absolute Error". mathworld.wolfram.com . Получено 2023-06-11 .
3. "Абсолютная и относительная погрешность | Исчисление II". courses.lumenlearning.com . Получено 11.06.2023 .
4. «Приближение и границы погрешности». www.math.wpi.edu . Получено 2023-06-11 .
5. Гретшель, Мартин ; Ловас, Ласло ; Шрийвер, Александр (1993), Геометрические алгоритмы и комбинаторная оптимизация, Алгоритмы и комбинаторика, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, Берлин, номер документа : 10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, г-н  1261419
6. Хелфрик, Альберт Д. (2005) Современные электронные приборы и методы измерения . стр. 16. ISBN 81-297-0731-4 
7. Голуб, Джин ; Чарльз Ф. Ван Лоан (1996). Матричные вычисления – Третье издание . Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса. стр. 53. ISBN 0-8018-5413-X.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Процентная ошибка». Математический мир .