Ошибка отслеживания

Мера инвестиционного риска

В финансах ошибка отслеживания или активный риск — это мера риска в инвестиционном портфеле , которая возникает из-за активных управленческих решений, принимаемых управляющим портфелем ; она показывает, насколько близко портфель следует индексу, с которым он сравнивается. Лучшей мерой является стандартное отклонение разницы между доходностью портфеля и индекса.

Многие портфели управляются по эталону, обычно индексу. Некоторые портфели, в частности индексные фонды , должны точно воспроизводить, до торговли и других расходов, доходность индекса, в то время как другие « активно управляют » портфелем, отклоняясь от индекса, чтобы генерировать активную доходность . Ошибка отслеживания измеряет отклонение от эталона: индексный фонд имеет близкую к нулю ошибку отслеживания, в то время как активно управляемый портфель обычно имеет более высокую ошибку отслеживания. Таким образом, ошибка отслеживания не включает в себя какой-либо риск (доходность), который является просто функцией движения рынка. В дополнение к риску (доходности) от конкретного выбора акций или отрасли и фактора «бета», он также может включать в себя риск (доходность) от решений о времени выхода на рынок .

Деление активной доходности портфеля на ошибку отслеживания портфеля дает коэффициент информации , который является показателем эффективности, скорректированным с учетом риска.

Определение

Если ошибка отслеживания измеряется исторически, она называется «реализованной» или «ex post» ошибкой отслеживания. Если модель используется для прогнозирования ошибки отслеживания, она называется «ex ante» ошибкой отслеживания. Ошибка отслеживания ex-post более полезна для отчетности об эффективности, тогда как ошибка отслеживания ex-ante обычно используется управляющими портфелями для контроля риска. Существуют различные типы моделей ошибок отслеживания ex-ante, от простых моделей акций, которые используют бету в качестве основного детерминанта, до более сложных многофакторных моделей с фиксированным доходом . В факторной модели портфеля несистематический риск (т. е. стандартное отклонение остатков) называется «ошибкой отслеживания» в области инвестиций. Последний способ вычисления ошибки отслеживания дополняет формулы ниже, но результаты могут отличаться (иногда в 2 раза).

Формулы

Формула ошибки отслеживания ex post представляет собой стандартное отклонение активных доходов, определяемое по формуле:

${\displaystyle TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b})}}}$

где - активная доходность, т. е. разница между доходностью портфеля и доходностью эталона ^[1] , а - вектор весов активного портфеля относительно эталона. Задача оптимизации максимизации доходности, с учетом ошибки отслеживания и линейных ограничений, может быть решена с помощью программирования конуса второго порядка : ${\displaystyle r_{p}-r_{b}}$ ${\displaystyle (w_{p}-w_{b})}$ $${\displaystyle \max _{w}\;\mu ^{T}(w-w_{b}),\quad {\text{s.t.}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega ^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d}$$

Интерпретация

При допущении нормальности доходности активный риск в x процентов будет означать, что приблизительно 2/3 активной доходности портфеля (одно стандартное отклонение от среднего) можно ожидать, что они будут находиться в диапазоне от +x до -x процентов от средней избыточной доходности, а около 95% активной доходности портфеля (два стандартных отклонения от среднего) можно ожидать, что они будут находиться в диапазоне от +2x до -2x процентов от средней избыточной доходности.

Примеры

• Ожидается, что индексные фонды будут иметь минимальные ошибки отслеживания.
• Обратные биржевые фонды призваны действовать как обратная сторона индекса или другого эталона и, таким образом, отражать ошибки отслеживания относительно коротких позиций в базовом индексе или эталоне.

Создание индексного фонда

Индексные фонды, как ожидается, минимизируют ошибку отслеживания относительно индекса, который они пытаются воспроизвести, и эта проблема может быть решена с помощью стандартных методов оптимизации. Для начала, определим , что будет: где — вектор активных весов для каждого актива относительно эталонного индекса, а — ковариационная матрица для активов в индексе. Хотя создание индексного фонда может включать в себя удержание всех инвестируемых активов в индексе, иногда лучше инвестировать только в подмножество активов. Эти соображения приводят к следующей задаче квадратичного программирования со смешанным целым числом (MIQP) : где — логическое условие того, включен ли актив в индексный фонд, и определяется как: ${\displaystyle \omega ^{2}}$ $${\displaystyle \omega ^{2}=(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})}$$ ${\displaystyle w-w_{b}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{w}&\quad \omega ^{2}\\{\text{s.t.}}&\quad w_{j}\leq y_{j},\quad \sum _{j=1}^{N}y_{j}\leq K\\&\quad \ell _{j}y_{j}\leq w_{j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y_{j}}$ $${\displaystyle y_{j}={\begin{cases}1,\quad &w_{j}>0\\0,\quad &{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Ссылки

1. Корнуэжольс, Жерар; Тютюнджю, Реха (2007). Методы оптимизации в финансах . Математика, финансы и риск. Cambridge University Press. С. 178–180. ISBN 978-0521861700.

Внешние ссылки

• Ошибка отслеживания - YouTube
• Ошибка отслеживания: скрытая стоимость пассивного инвестирования
• Ошибка отслеживания
• Что такое ошибка отслеживания?