Палиндромное число

Число, которое остается тем же, если поменять местами его цифры

Палиндромное число ( также известное как числовой палиндром или числовой палиндром ) — это число (например, 16461), которое остается неизменным при перестановке его цифр. Другими словами, оно имеет зеркальную симметрию относительно вертикальной оси. Термин палиндром происходит от слова палиндром , которое относится к слову (например, ротор или гоночный автомобиль ), написание которого не меняется при перестановке его букв. Первые 30 палиндромных чисел (в десятичной системе ):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, ... (последовательность A002113 в OEIS ).

Палиндромные числа получают наибольшее внимание в области развлекательной математики . Типичная задача требует чисел, которые обладают определенным свойством и являются палиндромными. Например:

• Палиндромные простые числа — 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, ... (последовательность A002385 в OEIS ).
• Палиндромные квадратные числа : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, ... (последовательность A002779 в OEIS ).

Очевидно, что в любой системе счисления существует бесконечно много палиндромных чисел, поскольку в любой системе счисления бесконечная последовательность чисел, записанная (в этой системе) как 101, 1001, 10001, 100001 и т. д., состоит исключительно из палиндромных чисел.

Формальное определение

Хотя палиндромные числа чаще всего рассматриваются в десятичной системе, понятие палиндромности может быть применено к натуральным числам в любой системе счисления . Рассмотрим число n  > 0 в системе счисления с основанием b  ≥ 2, где оно записывается в стандартной нотации с k +1 цифрами a _i как:

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}}$

с, как обычно, 0 ≤  a _i  <  b для всех i и a _k  ≠ 0. Тогда n является палиндромом тогда и только тогда, когда a _i  =  a _{k − i} для всех i . Ноль записывается как 0 в любой системе счисления и также является палиндромом по определению.

Десятичные палиндромные числа

Все числа с одной цифрой являются палиндромами, поэтому в десятичной системе счисления существует десять палиндромов с одной цифрой:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Существует 9 палиндромных чисел, состоящих из двух цифр:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Все палиндромные числа с четным числом цифр делятся на 11. ^[1 ]

Существует 90 палиндромных чисел из трех цифр (используя правило произведения : 9 вариантов для первой цифры, которая определяет и третью цифру, умножаются на 10 вариантов для второй цифры):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Аналогично существует 90 палиндромных чисел с четырьмя цифрами (снова 9 вариантов первой цифры, умноженных на десять вариантов второй цифры. Остальные две цифры определяются выбором первых двух):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

таким образом, существует 199 палиндромных чисел, меньших 10 ⁴ .

Существует 1099 палиндромных чисел, меньших 10 ⁵ , а для других показателей 10 ⁿ имеем: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, ... (последовательность A070199 в OEIS ). Количество палиндромных чисел, которые имеют некоторые другие свойства, перечислено ниже:

Совершенные способности

Существует много палиндромных совершенных степеней n ^k , где n — натуральное число, а k равно 2, 3 или 4.

• Палиндромные квадраты : 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (последовательность A002779 в OEIS )
• Палиндромные кубы : 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (последовательность A002781 в OEIS )
• Палиндромные четвертые степени : 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (последовательность A186080 в OEIS )

Первые девять членов последовательности 1 ² , 11 ² , 111 ² , 1111 ² , ... образуют палиндромы 1, 121, 12321, 1234321, ... (последовательность A002477 в OEIS )

Единственное известное непалиндромное число, куб которого является палиндромом, — это 2201, и существует гипотеза, что корень четвертой степени всех палиндромов является палиндромом с 100000...000001 (10 ⁿ + 1).

Густавус Симмонс предположил, что не существует палиндромов вида n ^k для k > 4 (и n > 1). ^[3]

Другие базы

Палиндромные числа можно рассматривать в системах счисления, отличных от десятичной . Например, двоичные палиндромные числа — это числа с двоичным представлением:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (последовательность A057148 в OEIS )

или в десятичной системе:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (последовательность A006995 в OEIS )

Простые числа Ферма и простые числа Мерсенна образуют подмножество бинарных палиндромных простых чисел.

Любое число является палиндромным по всем основаниям с (тривиально, так как тогда это однозначное число), а также по основанию (потому что тогда это ). Даже исключая случаи, когда число меньше основания, большинство чисел являются палиндромными по более чем одному основанию. Например, , . Число никогда не является палиндромным по основанию , если . Более того, простое число никогда не является палиндромным по основанию , если . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b>n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 11_{n-1}}$ ${\displaystyle 1221_{4}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}}$ ${\displaystyle 1991_{10}=7C7_{16}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n/2\leq b\leq n-2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}\leq b\leq p-2}$

Число, которое не является палиндромом во всех основаниях b в диапазоне 2 ≤  b  ≤  n  − 2, можно назвать строго непалиндромным числом . Например, число 6 записывается как «110» в основании 2, «20» в основании 3 и «12» в основании 4, ни одно из которых не является палиндромом. Все строго непалиндромные числа, большие 6, являются простыми. Действительно, если является составным, то либо для некоторого , в этом случае n является палиндромом «aa» в основании , либо оно является полным квадратом , в этом случае n является палиндромом «121» в основании (за исключением особого случая ). ^{[4] [5]} ${\displaystyle n>6}$ ${\displaystyle n=ab}$ ${\displaystyle 2\leq a<b}$ ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle n=a^{2}}$ ${\displaystyle a-1}$ ${\displaystyle n=9=1001_{2}}$

Первые несколько строго непалиндромных чисел (последовательность A016038 в OEIS ):

, 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 11 , 19 , 47 , 53 , 79 , 103 , 137 , 139 , 149 , 163 , 167 , 179 , 223 , 263 , 269 , 283 , 293 , 3 11, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, ...

Антипалиндромные числа

Если цифры натурального числа не только должны быть переставлены в обратном порядке, но и вычтены из для получения исходной последовательности снова, то число называется антипалиндромным . Формально, при обычном разложении натурального числа на его цифры по основанию , число является антипалиндромным тогда и только тогда . ^[6] ${\displaystyle b-1}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a_{i}=b-1-a_{k-i}}$

процесс Лишрел

Непалиндромные числа могут быть соединены с палиндромными с помощью ряда операций. Сначала непалиндромное число переворачивается, а результат добавляется к исходному числу. Если результат не является палиндромным числом, это повторяется до тех пор, пока не получится палиндромное число. Такое число называется «отложенным палиндромом».

Неизвестно, можно ли таким образом связать все непалиндромные числа с палиндромными числами. Хотя не доказано, что ни одно число не является непарным, многие, по-видимому, таковыми не являются. Например, 196 не образует палиндром даже после 700 000 000 итераций. Любое число, которое никогда не становится палиндромным таким образом, называется числом Лишрел .

24 января 2017 года число 1,999,291,987,030,606,810 было опубликовано в OEIS как A281509 и объявлено «Самым большим известным самым отложенным палиндромом». Последовательность из 125 261-шаговых самых отложенных палиндромов, предшествующих 1,999,291,987,030,606,810 и ранее не сообщавшихся, была опубликована отдельно как A281508.

Сумма обратных величин

Сумма обратных величин палиндромных чисел представляет собой сходящийся ряд, значение которого приблизительно равно 3,37028... (последовательность A118031 в OEIS ).

числа Шехерезады

Числа Шехерезады — это набор чисел, определенных Бакминстером Фуллером в его книге «Синергетика» . ^[7] Фуллер не дает формального определения этому термину, но из примеров, которые он приводит, можно понять, что это те числа, которые содержат множитель изначального числа n # , где n ≥13 и является наибольшим простым множителем числа. Фуллер назвал эти числа числами Шехерезады , потому что они должны иметь множитель 1001. Шехерезада — рассказчица « Тысячи и одной ночи» , рассказывающая новую историю каждую ночь, чтобы отсрочить свою казнь. Поскольку n должно быть не менее 13, изначальное число должно быть не менее 1·2·3·5·7·11·13, а 7×11×13 = 1001. Фуллер также называет степени числа 1001 числами Шехерезады. Наименьший первообраз, содержащий число Шехерезады, равен 13# = 30 030.

Фуллер указал, что некоторые из этих чисел являются палиндромными по группам цифр. Например, 17# = 510,510 показывает симметрию групп из трех цифр. Фуллер назвал такие числа Шехерезадой Возвышенно Запоминающиеся Всеобъемлющие Дивиденды или числа SSRCD. Фуллер отмечает, что 1001, возведенное в степень, не только дает возвышенно Запоминающиеся числа, которые являются палиндромными по трехзначным группам, но и значения групп являются биномиальными коэффициентами . Например,

${\displaystyle (1001)^{6}=1,006,015,020,015,006,001}$

Эта последовательность дает сбой в (1001) ¹³ , поскольку в некоторых группах есть переносная цифра , взятая в группу слева. Фуллер предлагает записывать эти перетоки на отдельной строке. Если это сделать, используя больше линий перетока по мере необходимости, симметрия сохраняется бесконечно в любой степени. ^[8] Многие другие числа Шехерезады показывают схожие симметрии, если выражены таким образом. ^[9]

Суммы палиндромов

В 2018 году была опубликована статья, демонстрирующая, что каждое положительное целое число можно записать в виде суммы трех палиндромных чисел в любой системе счисления с основанием 5 или выше. ^[10]

Примечания

1. "The Prime Glossary: ​​палиндромный простой". PrimePages . Получено 11 июля 2023 г.
2. (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример — 19 цифр — 900075181570009.
3. Мюррей С. Кламкин (1990), Проблемы прикладной математики: выборки из обзора SIAM , стр. 520.
4. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A016038 (строго непалиндромные числа)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
5. Гай, Ричард К. (1989). «Конвеевские RATS и другие перевороты». The American Mathematical Monthly . 96 (5): 425–428. doi :10.2307/2325149. JSTOR  2325149.
6. Дворакова, Любомира; Крумль, Станислав; Рызак, Дэвид (16 августа 2020 г.). «Антипалиндромные числа». arXiv : 2008.06864 [math.CO].
7. Р. Бакминстер Фуллер, совместно с Э. Дж. Эпплвайтом, Синергетика: исследования геометрии мышления. Архивировано 27 февраля 2016 г. в Wayback Machine , Macmillan, 1982 ISBN 0-02-065320-4 . 
8. Фуллер, стр. 773-774 Архивировано 05.03.2016 на Wayback Machine
9. Фуллер, стр. 777-780.
10. Cilleruelo, Javier; Luca, Florian; Baxter, Lewis (2016-02-19). «Каждое положительное целое число является суммой трех палиндромов». Mathematics of Computation . arXiv : 1602.06208 . Архивировано из оригинала 2021-02-12 . Получено 2021-04-28 .(arXiv preprint Архивировано 2019-02-08 на Wayback Machine )

Ссылки

• Малкольм Э. Лайнс: Число для ваших мыслей: факты и предположения о числе от Евклида до новейших компьютеров : CRC Press 1986, ISBN 0-85274-495-1 , S. 61 (Ограниченная онлайн-версия (Google Books)) 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Палиндромное число». MathWorld .
• Джейсон Дусетт - 196 Palindrome Quest / Самое отложенное число-палиндром
• 196 и другие числа Lychrel
• Об общих палиндромных числах на MathPages
• Палиндромные числа до 100 000 от Ask Dr. Math
• П. Де Гест, Палиндромные кубы
• Ютака Нишияма , Числовые палиндромы и задача 196, IJPAM, т. 80, № 3, 375–384, 2012.