Параболическое уравнение в частных производных

Класс линейных уравнений в частных производных второго порядка

Параболическое уравнение в частных производных — это тип уравнения в частных производных (PDE). Параболические PDE используются для описания широкого спектра зависящих от времени явлений, в частности, в инженерных науках , квантовой механике и финансовой математике . Примерами служат уравнение теплопроводности , зависящее от времени уравнение Шредингера и уравнение Блэка–Шоулза .

Определение

Чтобы определить простейший вид параболического УЧП, рассмотрим действительную функцию двух независимых действительных переменных и . УЧП второго порядка, линейное, с постоянным коэффициентом, для принимает вид ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

где нижние индексы обозначают частные производные первого и второго порядка по и . Уравнение в частных производных классифицируется как параболическое, если коэффициенты главной части (т.е. члены, содержащие вторые производные ) удовлетворяют условию ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

Обычно представляет одномерное положение и представляет время, а уравнение в частных производных решается при заданных начальных и граничных условиях . Уравнения с называются эллиптическими, а с — гиперболическими . Название «параболический» используется, поскольку предположение о коэффициентах такое же, как и условие для уравнения аналитической геометрии, определяющего плоскую параболу . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B^{2}-AC<0}$ ${\displaystyle B^{2}-AC>0}$ ${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

Основным примером параболического уравнения в частных производных является одномерное уравнение теплопроводности

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

где — температура в определенном положении вдоль тонкого стержня в момент времени , а — положительная константа, называемая коэффициентом температуропроводности . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \alpha }$

Уравнение теплопроводности, грубо говоря, говорит, что температура в заданное время и в заданной точке повышается или понижается со скоростью, пропорциональной разнице между температурой в этой точке и средней температурой вблизи этой точки. Величина измеряет, насколько далека температура от удовлетворения свойства среднего значения гармонических функций . ${\displaystyle u_{xx}}$

Концепция параболического уравнения в частных производных может быть обобщена несколькими способами. Например, поток тепла через материальное тело регулируется трехмерным уравнением теплопроводности

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

где

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},}$

обозначает оператор Лапласа , действующий на . Это уравнение является прототипом многомерного параболического уравнения в частных производных. ^[2] ${\displaystyle u}$

Отмечая, что это эллиптический оператор, можно предложить более широкое определение параболического уравнения в частных производных: ${\displaystyle -\Delta }$

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

где — эллиптический оператор второго порядка (подразумевается, что должен быть положительным ; случай, когда рассматривается ниже). ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle u_{t}=+Lu}$

Система уравнений в частных производных для вектора может быть также параболической. Например, такая система скрыта в уравнении вида ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

если матричная функция имеет ядро ​​размерности 1. ${\displaystyle a(x)}$

Решение

При широких предположениях начальная/граничная задача для линейного параболического уравнения в частных производных имеет решение для всех времен. Решение , как функция для фиксированного времени , в общем случае более гладкое, чем начальные данные . ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$

Для нелинейного параболического уравнения в частных производных решение задачи начального/краевого значения может взорваться в сингулярности в течение конечного времени. Может быть трудно определить, существует ли решение для всего времени, или понять сингулярности, которые возникают. Такие интересные вопросы возникают при решении гипотезы Пуанкаре через поток Риччи . ^{[ необходима цитата ]}

Обратное параболическое уравнение

Иногда встречается так называемое обратное параболическое уравнение в частных производных , которое имеет вид (обратите внимание на отсутствие знака минус). ${\displaystyle u_{t}=Lu}$

Начальная задача для обратного уравнения теплопроводности,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

эквивалентно задаче на конечное значение для обычного уравнения теплопроводности,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

Подобно задаче о конечном значении для параболического уравнения в частных производных, задача о начальном значении для обратного параболического уравнения в частных производных обычно не является корректно поставленной (решения часто растут неограниченно за конечное время или даже не существуют). Тем не менее, эти задачи важны для изучения отражения особенностей решений различных других уравнений в частных производных. ^[3]

Смотрите также

• Эллиптическое уравнение в частных производных
• Гиперболическое уравнение в частных производных

Примечания

1. Заудерер 2006, стр. 124.
2. Заудерер 2006, стр. 139.
3. Тейлор 1975.

Ссылки

• Тейлор, Майкл Э. (1975). «Отражение особенностей решений систем дифференциальных уравнений». Сообщения по чистой и прикладной математике . 28 (4): 457–478. CiteSeerX  10.1.1.697.9255 . doi :10.1002/cpa.3160280403. ISSN  0010-3640.
• Заудерер, Эрих (2006). Уравнения с частными производными прикладной математики . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-69073-3. OCLC  70158521.

Дальнейшее чтение

• Пертам, Бенуа (2015), Параболические уравнения в биологии: рост, реакция, движение и диффузия , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
• Эванс, Лоуренс К. (2010) [1998], Уравнения с частными производными , Graduate Studies in Mathematics , т. 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, г-н  2597943
• «Параболическое уравнение в частных производных», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Параболическое уравнение в частных производных, численные методы», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]