Параболическая алгебра Ли

В алгебре параболическая алгебра Ли — это подалгебра полупростой алгебры Ли, удовлетворяющая одному из следующих двух условий: ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$содержит максимальную разрешимую подалгебру ( подалгебру Бореля ) ; ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• ортогональное дополнение относительно формы Киллинга в является нильрадикалом . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Эти условия эквивалентны над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики , таким как комплексные числа . Если поле не является алгебраически замкнутым, то первое условие заменяется предположением, что ${\displaystyle \mathbb {F} }$

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$содержит подалгебру Бореля ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$

где — алгебраическое замыкание . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Примеры

Для общей линейной алгебры Ли параболическая подалгебра является стабилизатором частичного флага , т.е. последовательности вложенных линейных подпространств. Для полного флага стабилизатор дает борелевскую подалгебру. Для одного линейного подпространства получается максимальная параболическая подалгебра , а пространством возможных выборов является грассманиан . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {F} )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}\subset \mathbb {F} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,n)}$

В общем случае для сложной простой алгебры Ли параболические подалгебры находятся во взаимно однозначном соответствии с подмножествами простых корней , т.е. подмножествами узлов диаграммы Дынкина . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Смотрите также

• Обобщенный вариант флага
• Параболическая подгруппа группы отражений

Библиография

• Бастон, Роберт Дж.; Иствуд, Майкл Г. (2016) [1989], Преобразование Пенроуза: его взаимодействие с теорией представления, Довер, ISBN 9780486816623
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Гротендик, Александр (1957), «Классификация голоморфных волокон в сфере Римана», Amer. Дж. Математика. , 79 (1): 121–138, номер документа : 10.2307/2372388, JSTOR  2372388..
• Хамфрис, Дж. (1972), Линейные алгебраические группы , Springer, ISBN 978-0-387-90108-4