Парадоксы материальной импликации — это группа истинных формул, включающих материальные условные предложения , переводы которых на естественный язык интуитивно ложны, когда условное предложение переводится как «если ... то ...». Материальная условная формула истинна, если только не является истинной и ложной. Если бы условные предложения естественного языка понимались таким же образом, это означало бы, что предложение «Если бы нацисты выиграли Вторую мировую войну, все были бы счастливы» является бессмысленно истинным . Учитывая, что такие проблемные последствия вытекают из, казалось бы, правильного предположения о логике, их называют парадоксами . Они демонстрируют несоответствие между классической логикой и надежными интуициями о значении и рассуждениях . [1]
Как наиболее известный из парадоксов и формально наиболее простой, парадокс вывода является наилучшим введением.
В естественном языке возникает пример парадокса вывода:
И
Поэтому
Это вытекает из принципа взрыва , закона классической логики, гласящего, что несовместимые предпосылки всегда делают аргумент действительным; то есть несовместимые предпосылки подразумевают любой вывод вообще. Это кажется парадоксальным, потому что, хотя вышеизложенное является логически действительным аргументом, оно не является обоснованным (не все его предпосылки верны).
В классической логике действительность определяется следующим образом:
Например, допустимый аргумент может выглядеть так:
В этом примере нет возможной ситуации, в которой посылки истинны, а заключение ложно. Поскольку контрпримера нет , аргумент действителен.
Но можно построить аргумент, в котором посылки несовместимы . Это удовлетворило бы тесту на допустимость аргумента, поскольку не было бы возможной ситуации, в которой все посылки истинны , и, следовательно, не было бы возможной ситуации, в которой все посылки истинны, а заключение ложно .
Например, аргумент с противоречивыми посылками может выглядеть так:
Поскольку не существует возможной ситуации, когда обе посылки могут быть истинными, то, безусловно, не существует возможной ситуации, когда посылки могут быть истинными, а заключение ложным. Таким образом, аргумент действителен, каким бы ни было заключение; несовместимые посылки подразумевают все заключения.
Классические формулы парадокса тесно связаны с устранением конъюнкции , которое может быть выведено из формул парадокса, например, из (1) путем импорта . Кроме того, существуют серьезные проблемы с попыткой использовать материальную импликацию в качестве представления английского "if ... then ...". Например, следующие выводы являются допустимыми:
но сопоставление их с английскими предложениями с использованием «if» приводит к парадоксам.
Первое можно прочитать так: «Если Джон в Лондоне, то он в Англии, а если он в Париже, то он во Франции. Следовательно, верно, что либо (a) если Джон в Лондоне, то он во Франции, либо (b) если он в Париже, то он в Англии». Используя материальную импликацию, если Джон не в Лондоне, то (a) истинно; тогда как если он в Лондоне, то, поскольку он не в Париже, (b) истинно. В любом случае, вывод о том, что по крайней мере один из (a) или (b) истинен, является действительным.
Но это не соответствует тому, как "if ... then ..." используется в естественном языке: наиболее вероятный сценарий, в котором можно было бы сказать "If John is in London then he is in England", — это если кто-то не знает , где находится Джон, но тем не менее знает, что если он находится в Лондоне, то он находится в Англии. При такой интерпретации обе посылки истинны, но оба предложения заключения ложны.
Второй пример можно прочитать как «Если оба переключателя A и B замкнуты, то свет горит. Следовательно, либо верно, что если переключатель A замкнут, то свет горит, либо что если переключатель B замкнут, то свет горит». Здесь наиболее вероятной естественно-языковой интерпретацией утверждений «если ... то ...» будет « всякий раз, когда переключатель A замкнут, то свет горит» и « всякий раз, когда переключатель B замкнут, то свет горит». Опять же, при такой интерпретации оба предложения заключения могут быть ложными (например, в последовательной цепи, где свет загорается только тогда, когда оба переключателя замкнуты).
