Теорема Вариньона

Середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм.

Площадь( EFGH ) = (1/2)Площадь( ABCD )

В евклидовой геометрии теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырёхугольника образуют параллелограмм , называемый параллелограммом Вариньона . Он назван в честь Пьера Вариньона , чьё доказательство было опубликовано посмертно в 1731 году. ^[1]

Теорема

Середины сторон произвольного четырехугольника образуют параллелограмм. Если четырехугольник выпуклый или вогнутый (не сложный ), то площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.

Если ввести понятие ориентированных площадей для n -угольников , то это равенство площадей справедливо и для сложных четырехугольников. ^[2]

Параллелограмм Вариньона существует даже для косого четырехугольника и является плоским независимо от того, плоский четырехугольник или нет. Теорема может быть обобщена на многоугольник средней точки произвольного многоугольника.

Доказательство

Ссылаясь на диаграмму выше, треугольники ADC и HDG подобны по критерию сторона-угол-сторона, поэтому углы DAC и DHG равны, делая HG параллельным AC . Точно так же EF параллелен AC , поэтому HG и EF параллельны друг другу; то же самое справедливо для HE и GF .

Теорему Вариньона можно также доказать как теорему аффинной геометрии, организованную как линейная алгебра с линейными комбинациями, ограниченными коэффициентами, сумма которых равна 1, также называемыми аффинными или барицентрическими координатами . Доказательство применимо даже к скошенным четырехугольникам в пространствах любой размерности.

Любые три точки E , F , G дополняются до параллелограмма (лежащего в плоскости, содержащей E , F , и  G ) взятием его четвертой вершины как E  −  F  +  G . В построении параллелограмма Вариньона это точка ( A  +  B )/2 − ( B  +  C )/2 + ( C  +  D )/2 = ( A  +  D )/2. Но это точка H на рисунке, откуда EFGH образует параллелограмм.

Короче говоря, центр тяжести четырех точек A , B , C , D является серединой каждой из двух диагоналей EG и FH треугольника EFGH , что показывает, что середины совпадают.

Из первого доказательства видно, что сумма диагоналей равна периметру образованного параллелограмма. Также мы можем использовать векторы, равные 1/2 длины каждой стороны, чтобы сначала определить площадь четырехугольника, а затем найти площади четырех треугольников, деленные на каждую сторону внутреннего параллелограмма.

Доказательство теоремы Вариньона без слов :

1. Произвольный четырехугольник и его диагонали.
2. Основания подобных треугольников параллельны синей диагонали.
3. То же самое касается красной диагонали.
4. _{Пары оснований образуют параллелограмм с площадью ,} равной половине четырехугольника, Aq , так как сумма площадей четырех больших треугольников, Al _, равна 2Aq (каждая из двух пар восстанавливает четырехугольник), в то время как площадь малых треугольников, _As , _равна четверти Al (половина линейных _{размеров дает площадь четверти ), а} площадь параллелограмма равна Aq минус As .

Параллелограмм Вариньона

Характеристики

Плоский параллелограмм Вариньона также обладает следующими свойствами:

• Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
• Сторона параллелограмма Вариньона равна половине диагонали исходного четырехугольника, которому она параллельна.
• Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это справедливо для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников, при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он составлен. ^[2]
• Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника .
• Диагонали параллелограмма Вариньона являются бимедианами исходного четырехугольника.
• Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, пересекаются и делятся пополам точкой пересечения. ^{[3] : стр.125}

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c, равна

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}$

где p и q — длины диагоналей. ^[4] Длина бимедианы, соединяющей середины сторон b и d , равна

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}$

Следовательно ^{[3] : стр.126}

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Это также является следствием закона параллелограмма, примененного в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедиан также могут быть выражены через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольнике в приведенных выше формулах. Откуда ^[5]

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

и

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Две противоположные стороны в этих формулах — это не те две стороны, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойственная связь между бимедианами и диагоналями: ^[6]

• Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
• Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Особые случаи

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда две диагонали четырехугольника имеют одинаковую длину, то есть если четырехугольник является равнодиагональным четырехугольником . ^[7]

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда диагонали четырехугольника перпендикулярны , то есть, если четырехугольник является ортодиагональным четырехугольником . ^{[6] : стр. 14  [7] : стр. 169}

Для самопересекающегося четырехугольника параллелограмм Вариньона может выродиться до четырех коллинеарных точек, образуя отрезок прямой, пройденный дважды. Это происходит всякий раз, когда многоугольник образуется путем замены двух параллельных сторон трапеции двумя диагоналями трапеции, например, в антипараллелограмме . ^[8]

Смотрите также

• Построение перпендикуляра к биссектрисе четырехугольника , иной способ образования другого четырехугольника из данного четырехугольника
• Теорема Морли о трисекторах , родственная теорема о треугольниках

Примечания

1. Питер Н. Оливер: Пьер Вариньон и теорема о параллелограмме. Учитель математики, Band 94, № 4, апрель 2001 г., стр. 316-319
2. Coxeter, HSM и Greitzer, SL «Четырехугольник; теорема Вариньона» §3.1 в Geometry Revisited. Вашингтон, округ Колумбия: Math. Assoc. Amer., стр. 52–54, 1967.
3. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
4. Матееску Константин, Ответ на неравенство диагонали
5. Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164.
6. Josefsson, Martin (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25.
7. de Villiers, Michael (2009), Некоторые приключения в евклидовой геометрии, Динамическое обучение математике, стр. 58, ISBN 9780557102952.
8. Muirhead, RF (февраль 1901 г.), «Геометрия равнобедренной трапеции и контрпараллелограмма с приложениями к геометрии эллипса», Труды Эдинбургского математического общества , 20 : 70–72, doi : 10.1017/s0013091500032892

Ссылки и дополнительная литература

• HSM Coxeter, SL Greitzer: Geometry Revisited . MAA, Вашингтон, 1967, стр. 52-54.
• Питер Н. Оливер: Следствия теоремы Вариньона о параллелограмме. Учитель математики, Band 94, № 5, май 2001 г., стр. 406-408

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Вариньона". MathWorld .
• Параллелограмм Вариньона в компендиуме геометрии
• Обобщение теоремы Вариньона на 2n-угольники и на 3D в Dynamic Geometry Sketches, интерактивные динамические геометрические эскизы.
• Параллелограмм Вариньона на cut-the-knot-org