Угол параллельности

Угол в некоторых прямоугольных треугольниках на гиперболической плоскости

Угол параллельности в гиперболической геометрии

В гиперболической геометрии угол параллельности — это угол при вершине непрямого угла прямоугольного гиперболического треугольника, имеющего две асимптотически параллельные стороны. Угол зависит от длины отрезка a между прямым углом и вершиной угла параллельности. ${\displaystyle \Pi (a)}$

Дана точка, не лежащая на прямой, опустите перпендикуляр к прямой из этой точки. Пусть a — длина этого перпендикулярного отрезка, а — наименьший угол, такой, что прямая, проведенная через точку, не пересекает данную прямую. Поскольку две стороны асимптотически параллельны, ${\displaystyle \Pi (a)}$

${\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi \quad {\text{ and }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

Существует пять эквивалентных выражений, которые относятся к и : ${\displaystyle \Pi (a)}$

${\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\cosh a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \cos \Pi (a)=\tanh a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\sinh a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}\ ,}$

${\displaystyle \tan \left({\tfrac {1}{2}}\Pi (a)\right)=e^{-a},}$

${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} (a),}$

где sinh, cosh, tanh, sech и csch — гиперболические функции , а gd — функция Гудермана .

Строительство

Янош Бойяи открыл конструкцию, которая дает асимптотическую параллель s прямой r, проходящей через точку A, не лежащую на r . ^[1] Опустим перпендикуляр из A на B на r . Выберем любую точку C на r , отличную от B. Восстановим перпендикуляр t к r в точке C. Опустим перпендикуляр из A на D на t . Тогда длина DA будет длиннее CB , но короче CA. Начертим окружность вокруг C с радиусом, равным DA . Она пересечет отрезок AB в точке E. Тогда угол BEC не зависит от длины BC , а зависит только от AB ; это угол параллельности. Построим s через A под углом BEC к AB .

${\displaystyle \sin BEC={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {CE}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sinh {DA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\sin {ACD}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}}{\cos {ACB}\sinh {CA}}}={\frac {\sinh {BC}\tanh {CA}}{\tanh {CB}\sinh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CA}}}={\frac {\cosh {BC}}{\cosh {CB}\cosh {AB}}}={\frac {1}{\cosh {AB}}}\,.}$

Формулы, используемые здесь, см. в разделе Тригонометрия прямоугольных треугольников .

История

Угол параллелизма был разработан в 1840 году в немецком издании «Geometrische Untersuruchungen zur Theory der Parallellinien» Николая Лобачевского .

Эта публикация стала широко известна на английском языке после того, как техасский профессор Дж. Б. Холстед сделал ее перевод в 1891 году. ( Геометрические исследования по теории параллелей )

Следующие отрывки определяют эту ключевую концепцию гиперболической геометрии:

Угол HAD между параллельной HA и перпендикулярной AD называется параллельным углом (углом параллельности), который мы здесь обозначим через Π(p) для AD = p . ^{[2] : 13  [3]}

Демонстрация

Угол параллельности, Φ , формулируется как: (a) Угол между осью x и линией, идущей от x , центра Q , к y , точке пересечения с осью y Q, и (b) Угол между касательной к Q в точке y и осью y.
Эта диаграмма с желтым идеальным треугольником похожа на ту, что можно найти в книге Смогоржевского. ^[4]

В модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости (см. Гиперболические движения ) можно установить связь Φ с a с помощью евклидовой геометрии . Пусть Q будет полуокружностью с диаметром на оси x , которая проходит через точки (1,0) и (0, y ), где y > 1. Поскольку Q касается единичной полуокружности с центром в начале координат, две полуокружности представляют собой параллельные гиперболические прямые . Ось y пересекает обе полуокружности, образуя прямой угол с единичной полуокружностью и переменный угол Φ с Q. Угол в центре Q, стягиваемый радиусом к (0,  y ), также равен Φ, поскольку стороны двух углов перпендикулярны, левая сторона к левой стороне и правая сторона к правой стороне. Полуокружность Q имеет центр в точке ( x , 0), x < 0, поэтому ее радиус равен 1 −  x . Таким образом, квадрат радиуса Q равен

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(1-x)^{2},}$

следовательно

${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(1-y^{2}).}$

Метрика модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии параметризует расстояние на луче {(0,  y ) : y > 0 } с логарифмической мерой . Пусть гиперболическое расстояние от (0,  y ) до (0, 1) равно a , так что: log  y − log 1 = a , так что y = e ^{a ,} где e — основание натурального логарифма . Тогда связь между Φ и a может быть выведена из треугольника {( x , 0), (0, 0), (0,  y )}, например:

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{-x}}={\frac {2y}{y^{2}-1}}={\frac {2e^{a}}{e^{2a}-1}}={\frac {1}{\sinh a}}.}$

Ссылки

1. «Неевклидова геометрия» Роберто Бонолы, стр. 104, Dover Publications.
2. Николай Лобачевский (1840) переводчик GB Halsted (1891) Геометрические исследования по теории параллельных линий
3. Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Несокращенный и неизмененный переиздание 1-го английского перевода 1912 г. изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-60027-0.
4. А.С. Смогоржевский (1982) Геометрия Лобачевского , §12 Основные формулы гиперболической геометрии, рисунок 37, стр. 60, Издательство «Мир» , Москва

• Марвин Дж. Гринберг (1974) Евклидова и неевклидова геометрии , стр. 211–213, WH Freeman & Company .
• Робин Хартшорн (1997) Companion to Euclid , стр. 319, 325, Американское математическое общество , ISBN 0821807978 . 
• Джереми Грей (1989) Идеи пространства: евклидовы, неевклидовы и релятивистские , 2-е издание, Clarendon Press , Оксфорд (см. страницы 113–118).
• Бела Керекьярто (1966) Les Fondements de la Géométry , Tome Deux, §97.6 Угол параллелизма гиперболической геометрии, стр. 411,2, Akademiai Kiado, Будапешт.