Формула Эйлера – Родригеса

В математике и механике формула Эйлера -Родригеса описывает вращение вектора в трех измерениях. Он основан на формуле вращения Родригеса , но использует другую параметризацию.

Вращение описывается четырьмя параметрами Эйлера , предложенными Леонардом Эйлером . Формула Родригеса (названа в честь Олинде Родригеса ), метод расчета положения повернутой точки, используется в некоторых программных приложениях, таких как авиасимуляторы и компьютерные игры .

Определение

Вращение вокруг начала координат представлено четырьмя действительными числами: a ,  b ,  c ,  d такими, что

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Когда применяется вращение, точка в позиции x → поворачивается в новое положение, ^[1]

${\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.}$

Векторная формулировка

Параметр a можно назвать скалярным параметром, а ω → = ( ​​b, c, d ) векторным параметром. В стандартной векторной записи формула вращения Родригеса принимает компактный вид

${\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)}$

Симметрия

Параметры ( a ,  b ,  c ,  d ) и (- a , - b , - c , - d ) описывают одно и то же вращение. Помимо этой симметрии, каждый набор из четырех параметров описывает уникальное вращение в трехмерном пространстве.

Состав ротаций

Композиция двух ротаций сама по себе является ротацией. Пусть ( a ₁ ,  b ₁ ,  c ₁ ,  d ₁ ) и ( a ₂ ,  b ₂ ,  c ₂ ,  d ₂ ) — параметры Эйлера двух вращений. Параметры составного вращения (вращение 2 после вращения 1) следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b&=a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_{1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}}$

Проверить, что a ² + b ² + c ² + d ² = 1 , несложно, хотя и утомительно . (По сути, это четырехквадратное тождество Эйлера , также используемое Родригесом.)

Угол поворота и ось вращения

Любое центральное вращение в трех измерениях однозначно определяется его осью вращения (представленной единичным вектором k → = ( ​​k _x , k _y , k _z ) ) и углом поворота φ . Параметры Эйлера для этого вращения вычисляются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c&=k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что если φ увеличивается на полный поворот на 360 градусов, аргументы синуса и косинуса увеличиваются только на 180 градусов. Результирующие параметры противоположны исходным значениям (− a , − b , − c , − d ) ; они представляют одно и то же вращение.

В частности, тождественное преобразование (нулевое вращение, φ = 0 ) соответствует значениям параметров ( a , b , c , d ) = (±1, 0, 0, 0) . Вращение на 180 градусов вокруг любой оси приводит к a = 0 .

Связь с кватернионами

Параметры Эйлера можно рассматривать как коэффициенты кватерниона ; скалярный параметр a — действительная часть, параметры вектора b , c , d — мнимые части. Таким образом, мы имеем кватернион

${\displaystyle q=a+bi+cj+dk,}$

который является кватернионом единичной длины (или версора ), поскольку

${\displaystyle \left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.}$

Самое главное, что приведенные выше уравнения композиции вращений являются именно уравнениями умножения кватернионов . Другими словами, группа единичных кватернионов с умножением по модулю отрицательного знака изоморфна группе вращений с композицией. ${\displaystyle q=q_{2}\,q_{1}}$

Связь со спин-матрицами SU(2)

Группа Ли SU(2) может использоваться для представления трехмерных вращений в комплексных матрицах 2 × 2 . SU(2)-матрица, соответствующая вращению, в терминах ее эйлеровых параметров имеет вид

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}\ a-di&-c-bi\\c-bi&a+di\end{pmatrix}}.}$

которую можно записать в виде суммы

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-ib\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}-ic\ {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}-id\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&=a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z},\end{aligned}}}$

где σi _— спиновые матрицы Паули .

Вращение определяется как , что можно подтвердить путем умножения, что дает формулу Эйлера-Родригеса, как указано выше. ${\displaystyle X^{\prime }\equiv (x_{1}^{\prime }\sigma _{x}+x_{2}^{\prime }\sigma _{y}+x_{3}^{\prime }\sigma _{z})=U\;X\;U^{\dagger }=(a\,I-ib\,\sigma _{x}-ic\,\sigma _{y}-id\,\sigma _{z})(x_{1}\sigma _{x}+x_{2}\sigma _{y}+x_{3}\sigma _{z})(a\,I+ib\,\sigma _{x}+ic\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z})}$

Таким образом, параметры Эйлера — это действительные и мнимые координаты в матрице SU(2), соответствующие элементу спиновой группы Spin(3), который посредством двойного накрытия отображается на вращение в ортогональной группе SO(3). Это реализуется как единственное трехмерное неприводимое представление группы Ли SU(2) ≈ Spin(3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Параметры Кэли – Клейна

Элементы матрицы известны как параметры Кэли-Клейна в честь математиков Артура Кэли и Феликса Кляйна , ^[a] ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a-di&\beta &=-c-bi\\\gamma &=c-bi&\delta &=\ a+di\end{aligned}}}$

Тогда через эти параметры можно записать и формулу Эйлера–Родригеса ^{[2] [6] [a]}

${\displaystyle {\vec {x}}'={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&{\frac {1}{2}}i(\gamma ^{2}-\alpha ^{2}+\delta ^{2}-\beta ^{2})&\gamma \delta -\alpha \beta \\{\frac {1}{2}}i(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}-\beta ^{2}-\delta ^{2})&{\frac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\gamma ^{2}+\beta ^{2}+\delta ^{2})&-i(\alpha \beta +\gamma \delta )\\\beta \delta -\alpha \gamma &i(\alpha \gamma +\beta \delta )&\alpha \delta +\beta \gamma \end{pmatrix}}{\vec {x}}.}$

Кляйн и Зоммерфельд широко использовали эти параметры в связи с преобразованиями Мёбиуса и взаимными отношениями при обсуждении динамики гироскопа. ^{[3] [7]}

Смотрите также

• Формализмы вращения в трех измерениях
• Кватернионы и пространственное вращение
• Версор
• Спиноры в трех измерениях
• ТАК(4)
• Группа 3D-вращения
• Модель Бельтрами – Клейна (модель Кэли – Клейна)
• Метрика Кэли – Клейна

Примечания

1. Goldstein (1980) ^[2] рассматривает здесь пассивную ( контравариантную , или «псевдоним») трансформацию, а не активную (ковариантную, или «алиби») трансформацию. Таким образом,
   его матрица соответствует транспонированию матрицы Эйлера-Родригеса, приведенной в начале этой статьи, или, что то же самое, матрице Эйлера-Родригеса для активного вращения, а не . Принимая это во внимание, видно, что его , , и в уравнении 4-67 (стр.153) равны , , и здесь. Однако его , , , и , элементы его матрицы , соответствуют здесь элементам матрицы , а не матрице . Это дает его параметризацию ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U^{\dagger }}$ ${\displaystyle U}$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\;\;a+di&\beta &=c+bi\\\gamma &=-c+bi&\delta &=a-di\end{aligned}}}$

   В результате, хотя его формула (4-64) посимвольно идентична приведенной здесь матрице преобразования, использование его определений для , , , и дает его матрицу , тогда как определения, основанные на приведенной выше матрице, приводят к ( активная) матрица Эйлера – Родригеса представлена ​​здесь. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

   Пеннестри и др. (2016) ^[3] аналогичным образом определяют их , , , и в терминах пассивной матрицы, а не активной матрицы . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$

   Параметризация здесь соответствует той, которая использовалась, например, в Sakurai and Napolitano (2020), ^[4], с. 165, и Альтманн (1986), ^[5] уравнение. 5 р. 113 / экн. 9 с. 117.

Рекомендации

1. например, Феликс Кляйн (1897), Математическая теория вершины , Нью-Йорк: Скрибнер. стр.4
2. Гольдштейн, Х. (1980), «Параметры Кэли-Клейна и связанные с ними величины». §4-5 Классической механики , 2-е изд. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 153
3. Э. Пеннестри, П. П. Валентини, Г. Фильолини, Дж. Анхелес (2016), «Двойные параметры Кэли-Клейна и преобразование Мёбиуса: теория и приложения», Mechanism and Machine Theory 106 (январь): 50-67. doi :10.1016/j.mechmachtheory.2016.08.008. pdf доступен через ResearchGate
4. Сакурай, Джей Джей ; Наполитано, Джим (2020). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж. ISBN 978-1-108-47322-4. ОСЛК  1202949320.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
5. Альтманн, С. (1986), Вращения, кватернионы и двойные группы . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-855372-2 
6. Вайсштейн, Эрик В. , Параметры Кэли-Кляйна, MathWorld . Доступ 10 мая 2024 г.
7. Феликс Кляйн и Арнольд Зоммерфельд , Über die Theorie des Kreisels , том 1. (Тойбнер, 1897). Переведено (2008) как: Теория вершины , том 1. Бостон: Биркхаузер. ISBN 0817647201 

• Картан, Эли (1981). Теория спиноров . Дувр. ISBN 0-486-64070-1.
• Гамильтон, WR (1899). Элементы кватернионов . Издательство Кембриджского университета.
• Хауг, Э.Дж. (1984). Компьютерный анализ и оптимизация динамики механических систем . Спрингер-Верлаг.
• Гарса, Эдуардо; Пачеко Кинтанилья, Мэн (июнь 2011 г.). «Бенджамин Олинде Родригес, математика и филантропия, и ваше влияние на мексиканскую физику» (PDF) . Revista Mexicana de Física (на испанском языке): 109–113. Архивировано из оригинала (pdf) 23 апреля 2012 г.
• Шустер, Малкольм Д. (1993). «Обзор представлений об отношениях» (PDF) . Журнал астронавтических наук . 41 (4): 439–517.
• Дай, Цзянь С. (октябрь 2015 г.). «Варианты формулы Эйлера-Родригеса, сопряжение кватернионов и внутренние связи». Теория механизма и машин . 92 : 144–152. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 .