Формула Эйлера – Родригеса

В математике и механике формула Эйлера -Родригеса описывает вращение вектора в трех измерениях. Он основан на формуле вращения Родригеса , но использует другую параметризацию.

Вращение описывается четырьмя параметрами Эйлера , предложенными Леонардом Эйлером . Формула Родригеса (названа в честь Олинде Родригеса ), метод расчета положения повернутой точки, используется в некоторых программных приложениях, таких как авиасимуляторы и компьютерные игры .

Определение

Вращение вокруг начала координат представлено четырьмя действительными числами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ такими, что

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.

Когда применяется вращение, точка в позиции $x \to$ поворачивается в новое положение.

{\vec {x}}'={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd +ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2( cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}{\vec {x}}.

Векторная формулировка

Параметр $a$ можно назвать скалярным параметром, а $ω \to = (b, c, d)$ векторным параметром . В стандартной векторной записи формула вращения Родригеса принимает компактный вид

${\vec {x}}'={\vec {x}}+2a({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})+2\left({\vec {\ омега }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {x}})\right)$

Симметрия

Параметры $(a, b, c, d)$ и $(- a, - b, - c, - d)$ описывают одно и то же вращение. Помимо этой симметрии, каждый набор из четырех параметров описывает уникальное вращение в трехмерном пространстве.

Состав ротаций

Композиция двух ротаций сама по себе является ротацией. Пусть $(a 1, b 1, c 1, d 1)$ и $(a 2, b 2, c 2, d 2)$ — параметры Эйлера двух вращений. Параметры составного вращения (вращение 2 после вращения 1) следующие:

{\begin{aligned}a&=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2};\\b& =a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}-c_{1}d_{2}+d_{1}c_{2};\\c&=a_{1}c_{2}+ c_{1}a_{2}-d_{1}b_{2}+b_{1}d_{2};\\d&=a_{1}d_{2}+d_{1}a_{2}-b_ {1}c_{2}+c_{1}b_{2}.\end{aligned}}

Проверить, что $a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1$ , несложно, хотя и утомительно . (По сути, это четырехквадратное тождество Эйлера , также используемое Родригесом.)

Угол поворота и ось вращения

Любое центральное вращение в трех измерениях однозначно определяется его осью вращения (представленной единичным вектором $k \to = (k x, k y, k z)$ ) и углом поворота $φ$ . Параметры Эйлера для этого вращения вычисляются следующим образом:

{\begin{aligned}a&=\cos {\frac {\varphi }{2}};\\b&=k_{x}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\c& =k_{y}\sin {\frac {\varphi }{2}};\\d&=k_{z}\sin {\frac {\varphi }{2}}.\end{aligned}}

Обратите внимание, что если $φ$ увеличивается на полный поворот на 360 градусов, аргументы синуса и косинуса увеличиваются только на 180 градусов. Результирующие параметры противоположны исходным значениям $(- a, - b, - c, - d)$ ; они представляют одно и то же вращение.

В частности, тождественное преобразование (нулевое вращение, $φ = 0$ ) соответствует значениям параметров $(a, b, c, d) = (\pm1, 0, 0, 0)$ . Вращение на 180 градусов вокруг любой оси приводит к $a = 0$ .

Связь с кватернионами

Параметры Эйлера можно рассматривать как коэффициенты кватерниона ; скалярный параметр $a$ — действительная часть, параметры вектора $b$ , $c$ , $d$ — мнимые части. Таким образом, мы имеем кватернион

q=a+bi+cj+dk,

который является кватернионом единичной длины (или версора ), поскольку

\left\|q\right\|^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1.

Самое главное, что приведенные выше уравнения композиции вращений являются именно уравнениями умножения кватернионов. Другими словами, группа единичных кватернионов с умножением по модулю отрицательного знака изоморфна группе вращений с композицией.

Связь со спин-матрицами SU(2)

Группа Ли SU(2) может использоваться для представления трехмерных вращений в комплексных матрицах 2 × 2 . SU(2)-матрица, соответствующая вращению, в терминах ее эйлеровых параметров имеет вид

U={\begin{pmatrix}\ \ \,a+di&b+ci\\-b+ci&a-di\end{pmatrix}}.

Альтернативно это можно записать как сумму

{\begin{aligned}U&=a\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+b\ {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}+ c\ {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}+d\ {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}\\&=a\,I+ic\ ,\sigma _{x}+ib\,\sigma _{y}+id\,\sigma _{z},\end{aligned}}

где $σi —$ спиновые матрицы Паули . Таким образом, параметры Эйлера — это действительные и мнимые координаты в матрице SU(2), соответствующие элементу спиновой группы Spin(3), который посредством двойного накрытия отображается на вращение в ортогональной группе SO(3). Это реализуется как единственное трехмерное неприводимое представление группы Ли SU(2) ≈ Spin(3). $\mathbb {R} ^{3}$